Шансы на выигрыш в данном гейме. GWC – Game Winning Chance – шансы выиграть данный гейм. Оценивается в %% или в долях единицы. ХГ2 и Логосай умеют это делать очень точно. Опытные игроки умеют оценивать шансы «на глазок» достаточно хорошо – на опыте и интуиции. Но даже у них есть некая погрешность подсчета шансов. Что им делать с этой погрешностью и что делать с оценкой шансов малоопытным игрокам – обсудим в другом разделе книги. Хотя и понятно, что над умением правильно оценивать шансы надо долго и упорно работать, нарабатывая практику и совершенствуя это свое умение. Мы будем в дальнейшем исходить из того, что игроки это умеют, пусть даже с некоторой погрешностью.
Владение кубом. Оно дает некоторое преимущество тому, кто владеет этим кубом. Т.е. владеет правом повернуть куб удвоения. В литературе можно найти попытки оценить владение кубом конкретно в %% MWC. Мы же будем исходить из того, что игрок должен полагаться на свои оценки шансов, но по совокупности неточности такой оценки и с учетом фактора владения кубом, можно просто добавлять 2-3% к MDP. С практической точки зрения для игроков, не достигших еще топ уровня, этой коррекции вполне достаточно.
Возможность маневров обоих игроков в матче с помощью куба удвоения. Или проще говоря – учет редаблов. Иногда отдельно от влияния редаблов, самостоятельным фактором считают фактор «живой/мертвый» куб. В нашем случае, мы объединим эти факторы в один – влияние редабла. И попробуем решить сложную задачу – учтем влияние редабла количественно. Так, чтобы потом отдельно по этому фактору не пришлось проводить дополнительные коррекции.
Количество марсов. Так на профессиональном сленге обозначается процент выигрышей марсом в данной конкретной позиции.
Есть, на самом деле, еще два фактора, которые мы анализировать и обсуждать не будем. Но для полноты картины назовем
«Сила игры» соперников. Соотношение сил влияет на величину MDP и DP. Кроме того, слабости соперника опытный игрок может использовать для «психологической игры» с кубом. Если поймать соперника на ошибке в решениях по кубу, это даст огромное преимущество в игре. Но это большая и отдельная тема, выходящая далеко за пределы этой книги.
В манигейме один-на-один (face to face money play) на решение по кубу еще будет влиять рейк. Но это нам не интересно и этот аспект мы рассматривать не будем.
Первые два наиболее важных фактора – позицию на доске и ситуацию в матче мы рассмотрели очень подробно. Вывели формулу, связывающую эти два фактора, познакомились с понятием эквити и узнали, что есть ориентиры MDP и DP.
Влияние владения кубом сводится к небольшой корректировке MDP, а изучение влияния силы соперника на игру выходит далеко за пределы целей, поставленных в данной книге.
Зато учет редаблов и марсов мы изучим очень подробно и постараемся глубоко заглянуть в «математическую сущность» этого влияния.
Учет влияния редабла
Общепринято влияние редаблов учитывать по простой схеме: вычислить MWC для поворота куба на 4, использовать его в сравнениях с MWC в случае паса, тейка и продолжения игры без куба. Есть еще сложные и трудно реализуемые на практике формулы Яновского для связи показателей игры с живым кубом и с мертвым кубом. Т.е. используются некие корректировки по кубу на некую степень «живости» куба. Как минимум, живому игроку в практической игре это мало что дает. Кроме того, это все же, не точный, а полуэмпирический подход к решению вопроса учета редабла.
Автор, в рамках данной книги, предлагает иной подход.
Ниже – описание подхода строго по шагам:
Мы ограничиваем наше рассмотрение МЕТ 15 на 15 Казароса для коротких нард и 13 на 13 Логосая для длинных нард. В это игровое пространство попадают все соревнования, кроме, возможно, чемпионатов мира. Выход за пределы этих таблиц в турнирной практике – очень большая редкость.
В рамках этих МЕТ считаем MDP и DP (MDP отдельно, DP отдельно) и в эти таблицы вписываем их значения вместо значений MWC. Строго по формулам, описанным выше, на основе подсчета прибыли и убытка куба.
Вычисляем точно такие же таблицы MDP и DP (MDP отдельно, DP отдельно), но предположив, что значение на кубе не двойка, а 4/8/16. Это еще по три таблицы на MDP и DP. Итого у нас есть 4 преобразованных таблицы MDP и DP для значений куба 2/4/8/16. Как уже выше упоминалось, значение куба 32 на нашем пространстве 15 на 15 и 13 на 13 не имеет смысла и по правилам игры поставлено на доску быть не может. Подробно схема вычислений MDP и DP была описана выше. Основная формула – убыток, деленный на сумму убытка и прибыли.
Из полученных 4 значений MDP и DP выбираем одно, – для каждого счета отдельно – с учетом всех возможных взаимодействий по кубам между игроками.
Подробная схема этого выбора дана в Приложении №1.
В итоге мы получаем гибридную таблицу для MDP и для DP, в которые заложен точный учет влияния всех возможных редаблов.
В гибридных таблицах (их по одной для MDP и для DP) заменяем вычисленные значения на приведенные: для MDP все значения уменьшаем на 50 (все значения в таблицах в процентах, а не в долях), а для DP уменьшаем все значения на 25.
Полученные таким образом итоговые таблицы MDP и DP можно использовать для практической игры.
Эти таблицы MDP и DP обладают следующими преимуществами:
– Количество чисел для запоминания на порядок меньше, чем в исходных таблицах Казароса и Логосая;
– Каждый игрок может их адаптировать под свой уровень игры. Можно в таблице поставить себе «виртуальный фильтр» 5% – запомнить все, что больше 5% в итоговой таблице. А все, что меньше – не запоминать, считая их нулями). Этих чисел для DP меньше 20! А может поставить (лично для себя) фильтр 3% тогда чисел для запоминания станет 30;
– Таблицы дают хорошие, понятные и простые в использовании ориентиры для практической игры. Достаточно оценить шансы на выигрыш в гейме и сравнить с ориентиром. Это можно делать очень быстро и такой подход годится даже для темповой игры.
– В них уже учтено влияние редаблов.
Глава IV. Преобразование таблиц эквити матча (МЕТ)
Как преобразовать таблицы.
В литературе можно найти как минимум 6 разных формул для заучивания таблиц (МЕТ). От разных авторов. Есть еще модификации и уточнения. Одним словом, большие усилия направлены на то, чтобы выучить/запомнить МЕТ.
В то же время, основная ценность МЕТ заключается в том, чтобы помочь принять правильное решение по кубу удвоения.
В этой книге предлагается совсем не учить таблицы, а учить и запоминать непосредственно величины MDP и DP. Именно поэтому, этим двум понятиям уделено столько внимания в предыдущих главах.
Для решения поставленной задачи использован метод «преобразования МЕТ».
Как известно, решений по кубу может быть всего 2:
– поставить или не поставить куб (или перевернуть, если он у игрока)
– сказать пас или принять куб соперника, когда тот выставил его.
В этом направлении и будем проводить преобразования МЕТ.
Берем хорошо известную стандартную МЕТ 15*15 Казароса для ХГ2.
Для каждой позиции (в каждой клетке, соответствующей какому-то счету) подсчитываем минимальный шанс для удвоения при данном счете (MDP – Minimum Doubling Point) и записываем в эту позицию (клетку). При этом учитываем, что при 1 AWAY у соперника будет или Кроуфорд или автодабл. А при 1 AWAY игрока, он удваивать не может.
Как и исходник Казароса, такая таблица плохо воспринимается «на глаз».
Напомним, что в чистой теории манигейма, куб ставится, когда шансов больше 50%, а дроп пойнт (DP) – точка паса (или точка тейка, что в этом случае одно и то же) – 25%.
На самом деле и эти значения «чисто теоретические». С учетом других факторов, влияющих на исход манигейма, эти числа становятся чуть больше. Но для нас в данный момент тонкости манигейма не важны. Нам нужны лишь два базовых числа 50 и 25.
Далее, делаем следующее преобразование: вычитаем из всех значений таблицы 50 (%). Т.е. в преобразованной таблице у нас будут не сами значения MDP, а их отклонение от стандартных «базовых» 50% Назовем это «остатки». Далее везде и для MDP и DP мы будем изучать остатки, а не значения этих величин.
Для лучшего зрительного восприятия, сделаем цветовую дифференциацию по интервалам значений остатков.
На этой схеме построены все таблицы в этой книге.
Результаты расчетов MDP можно увидеть в таблице:
Для расчетов DP из значений исходной MET вычитаем 25 и тоже делаем точно такую же цветовую дифференциацию по интервалам значений.
Результаты расчетов DP можно увидеть в таблице:
На самом деле, решение по кубу состоит из двух основных компонентов: теоретического и практического. MDP и DP – являются объективными теоретическими факторами и не зависят от позиции на доске. Потому, что вычисляются на основе довольно точных таблиц Казароса и Логосая, в которых находятся табличные значения MWC.
MDP и DP дают ориентиры или реперные точки для принятия решений по кубу. Простыми словами: надо знать MDP и DP, как теоретические значения, для каждого счета и уметь сравнить их с GWC – шансами на выигрыш в данной конкретной позиции. И эти шансы надо уметь определять, как можно точнее.
Редаблы. Как они влияют на принятие решений по кубу.
Редабл – это изменение числа на кубе игроком, который в данный момент владеет кубом.
Изначально, до того, как задействован куб:
Ойн дает 1 очко, марс дает 2 очка, в коротких нардах кокс дает 3 очка.
Дабл – это удвоение этих изначальных значений.
Дабл – это первое действие с кубом. В начале игры куб не задействован и никому не принадлежит. Дабл может объявить любой из игроков, участвующих в игре. А редабл – только тот, у кого находится куб.
Эта особенность редабла существенно влияет на игру через принятие решений по кубу. Этот фактор называется «владение кубом». Как вы понимаете, владеть кубом можно только тогда, когда он уже ранее был выставлен кем-то из игроков и принят его соперником. Поэтому понятия «редабл» и «владение кубом» связаны друг с другом.
Итак: редабл может сильно изменить игру, потому что кубом теперь владеет только один игрок и в этом его преимущество над соперником. «Владение кубом» позволяет воспользоваться тем моментом в игре, когда удачный бросок или удачные броски игрока или наоборот – неудачный бросок или неудачные броски соперника, изменили шансы на выигрыш в гейме. В какой-то момент изменение шансов может оказаться таким, что уже игроку, ранее принявшему куб соперника, теперь выгодно самому удвоить игру. А вот у игрока, не владеющего кубом, такой возможности нет.
Такое воздействие, влияние на игру редаблов, через «владение кубом», надо всегда учитывать при принятии решений по кубу. Особенно драматично влияние «владения кубом» в конце игры, во время «гонки» и, особенно, на выбросе шашек.
Это влияние редаблов на изменяющихся шансах в игре. Мы не будем углубляться в это явление и рассмотрим только рекомендации, как его учесть.
Владение кубом – тонкий момент игры. И полное понимание его придет с опытом. Но для начала, когда вы плохо ориентируетесь, «как с этим быть», просто добавляйте 2-5% MWC в ваши ориентиры принятия решений по кубу. 5% – для самых начинающих. Чем у вас больше опыта, тем больше можете смещать оценку «владения кубом» в сторону уменьшения.
С другой стороны, фактор «владения кубом» не следует переоценивать. Он действует ситуативно и случайно в каждой конкретной игре. А, как постоянный фактор, сказывается только «на дистанции», в статистической оценке.
Вторым, не менее важным фактором, влияющим на игру через принятие решений по кубу, является то, что редабл изменяет структуру «прибыли» и «убытка» куба. А они в свою очередь, меняют ориентиры в игре. Вспомним формулу «убыток, деленный на убыток плюс прибыль» и сразу станет ясно, что редабл смещает точку равновесия в действиях «удваивать или нет» и «пас или тейк».
Обратите внимание:
В отличие от фактора «владения кубом», редабл влияет на ориентиры в игре, т.е. на MDP и DP при не изменившихся шансах.
Один пример для лучшего понимания.
Счет 2Away – 5 Away. Считаем точку постановки куба, исходя из прибыли и убытка удвоения, получаем 39,01%. Если вы поставите куб, даже с огромным запасом, имея 66% на выигрыш, вы сильно ошибетесь. Потому, что, если мы возьмем этот же счет и посчитаем, исходя из учетверения, получаем 74,29%. При этом, понятно, что, зная это, соперник примет куб и следующим же ходом его повернет на 4 и уже он, при тех же шансах в гейме, будет в более выгодной ситуации по кубу.
Чтобы избежать таких ошибок, сделаем то, что описано выше – посчитаем, как повлияют редаблы (все: 4/8/16) на наши ориентиры в игре. А мы их выбрали два самых главных – MDP и DP.
Непосредственный учет всех редаблов.
Для расчетов автором предложен и реализован несложный алгоритм прямого расчета редаблов.
Очень коротко: мы считаем значения MDP и DP отдельно для каждого значения куба: 2, 4, 8 и 16. После этого из 4 значений выбираем одно. То, которое позволяет избежать последствий любых редаблов при первоначальном решении удвоить куб или при первом решении принять чужой куб или нет.
В описании алгоритма много подробностей логики расчетов и выбора значений, в соответствии с полной схемой последствий всех возможных редаблов. Те, кому все это не интересно, могут пропустить этот чисто технический текст и продолжить чтение, не заглядывая в Приложение №1, где алгоритм изложен очень подробно.
Все, таким образом вычисленные, таблицы, в которых полностью учтен фактор редаблов, приведены ниже. Вспомните, что термин «остатки» означает, что значения MDP выражены в процентах и уменьшены на 50, а DP выражены в процентах и уменьшены на 25.
Еще одно пояснение перед тем, как вы посмотрите таблицы. Гибрид – это таблица, учитывающая все возможные в игре редаблы в разных сочетаниях и дающие рекомендованные значения ориентиров MDP и DP такими, которые не приведут к неправильным решениям по кубу, т.к. полностью учитывают возможные негативные последствия редаблов.
Короткие нарды:
Длинные нарды:
Минимальный дабл пойнт. В игре – если шансы выше – уже можно ставить куб. Если меньше – ставить куб не выгодно.
Дроп пойнт (при каких шансах пас и тейк равноценные). В игре – если шансы меньше ориентира – пас, больше – тейк.
Учет влияния марсов.
Наряду с влиянием редаблов на решения по кубу, марсы также являются существенным фактором, который обязательно надо уметь оценивать и по нему корректировать свои решения.
Почему марсы так важны?
Начнем с того, что речь идет о количественной характеристике, а не просто о марсах.
Профессиональные игроки пользуются термином «количество марсов». На самом деле это просто процент вероятности выиграть или проиграть марсом – chances of gammon (шансы на марс, если буквально перевести).
Теперь можно разобраться, почему процент марсов (в дальнейшем будем пользоваться устоявшимся термином «количество марсов») влияет на принимаемые решения.
Для этого надо просто вспомнить основы – из чего получаются все решения по кубу. Это все те же – прибыль и убытки куба. Очевидно, что, когда у нас есть марсы, расчет изменяется и прибыль куба станет другой.
Разберем это подробно путем сравнения двух разных подходов к одной и той же позиции. Вспомним, что GWC – это набор величин вероятностей выиграть и проиграть данную конкретную позицию. И возьмем конкретный пример:
Счет 0-1 до 7 (в пользу черных). Или корректнее для нас: 7Away – 6 Away. GWC (отображен в виде таблички на доске): выигрыш 62,9%, (в т.ч. с марсом 25,7%), проигрыш 37,1% (в т.ч. с марсом 3,4%).
Давайте смотреть прибыли и убытки куба для двух случаев – без учета марсов и с учетом марсов. Без учета марсов – обычная схема расчета, ранее подробно описанная в этой книге.
Схема расчета прибыли куба с учетом марсов такая: из 62,9% выигрышей 25,7% марсом. Тогда выигрышей ойном 62,9 – 25,7 = 37,2%. Доля марсов в выигрышах равна 25,7 : 62,9 = 0,409. Доля ойнов в выигрышах 0,591. Ойны приносят 7,4% прибыли, марсы 16,1%. С учетом долей общая прибыль составит 7,4 · 0,591 + 16,1 · 0,409 = 10,95. Все остальные расчеты ведутся точно так же.
Теперь посмотрим результаты с учетом марсов и без учета и сравним их.
Как видим, большое количество марсов существенно меняет прибыль и убыток и, соответственно – MDP.
Мы не будем рассматривать отдельно примеры на расчет DP. Там картина такая же. Желающие могут проверить и убедиться в этом самостоятельно.
Мы рассмотрели пример с очень большим процентом марсов (25,7%). Для полноты картины давайте посмотрим еще один пример с меньшим количеством марсов.
Возьмем похожую по шансам позицию, в которой марсов намного меньше.
Как видите, марсы существенно влияют на MDPчерез прибыли и убытки.
Вычисления бывают эмпирические и аналитические.
Эмпирические – это формулы и зависимости, таблицы и другие данные, полученные опытным путем, на основании статистической обработки и корреляционных соотношений или, например, путем численного моделирования, в т.ч. с использованием нейронных сетей. Так, к примеру, были получены данные таблиц Казароса и Логосая – табличные значения MWC для разных счетов в матчах. Они считаются на сегодня достаточно точными, но все равно эмпирическими. А аналитические – это точные зависимости, полученные, например, путем прямых вычислений по точным формулам.
Так вот: МЕТ – данные эмпирические, а MDP и DP – аналитические, т.е. вычисленные точно, по формуле «убыток, деленный на сумму убытка и прибыли». Поэтому точно вычисляя MDP и DP мы можем точно выяснять влияние марсов на принятие решений по кубу. И точность, а также корректность MDP и DP основаны на точности и корректности самих таблиц (MET).
В англоязычной литературе есть данные математического моделирования влияния марсов. Авторы исследований получали таблицу влияния марсового потенциала на зону активной игры3. В дословном переводе Market Window означает «Окно торговли». Вариант перевода не очень благозвучный. Профессиональные игроки, не сильно заморачиваясь переводом чаще всего называют это «маркетом». Это устоявшийся термин. Можно, наверное, использовать его. Но смысл в том, что в этих границах (некоего условного окна) идет активная игра, где каждый игрок высматривает свою возможность поиграть кубом.
Углубляться в тему «маркет» не будем. Только добавим, что термин «макет лузер» (market loser) – это термин, означающий, что игрок упустил в игре момент, когда можно было «поиграть» кубом и соперник теперь уже скажет пас, а не тейк.
Напомню для читателей, что такое зона активной игры или Market Window (окно торговли):
Границей окна торговли слева является точка паса (DP) – Drop Point – вероятность выиграть гейм, при которой и пас и тейк равнозначны. Ее еще называют граничным пасом или граничным тейком. А вот правая граница – это не MDP. Это тоже граница паса и тейка, но для соперника.
Марсы влияют на окно торговли. А конкретно – сужают окно. Или скажем так: марсы сужают маркет. Существуют таблицы, по которым можно определять границы маркета для разных счетов и марсовых потенциалов.
В таблице влияния марсов для разных счетов, например, можно найти вот такие графики:
Так выглядит эта таблица целиком.
Конечно, такую таблицу заучить сложно.
Мы к этому вопросу подойдем с другой стороны и используем тот же прием – преобразование таблиц (МЕТ).
А конкретно: для каждой клетки МЕТ (т.е. для каждого счета в матче) мы вычислим скорректированное на количество марсов значение MDP и DP. И в таблицах запишем новые значения.
Формулы подсчета MDP и DP изменятся, станут сложнее, но для их вычислений вполне достаточно простой обработки в Excel.
Желающие разобраться в этих формулах, могут посмотреть Приложение 2
Отметим здесь важное обстоятельство:
Марсы бывают, чаще всего, взаимные. Т.е. почти всегда есть вероятность, как выиграть марсом, так и проиграть марсом. Но мы не будем усложнять формулы учетом и тех и других марсов. Достаточно принимать во внимание разницу в количестве марсов. Именно эта величина, выраженная в долях единицы и будет величиной x для нашей формулы. Расчеты показывают, что разницы нет почти никакой – делать полный раздельный учет марсов или брать только разницу в процентах марсов на выигрыш и марсов на проигрыш. При этом, понятно, что учитывать разницу марсов намного проще.
Для DP формулы разбирать не будем, чтобы не перегружать громоздкими контентом содержание книги. Любой желающий может написать формулу самостоятельно, если возникнет такое желание.
Теперь можно перейти к расчетам таблиц MDP и DP, учитывающих количество марсов.
Напомним, что в таблицах влияющим фактором указан процент марсов в выигрышах, т.е. в шансах на выигрыш в гейме, какую долю, в %%, составляют выигрыши с марсом.
На самом деле, при взаимных марсах, надо брать разницу в марсах своих и соперника. И то, что получится оценить в долях от шансов на выигрыш вообще.
КОРОТКИЕ НАРДЫ.
Влияние марсов на ориентиры в игре.
В таблицах выше – полная картина:
– исходная таблица с 0% марсов,