100 великих парадоксов

Ахиллес и черепаха

Суть этой апории Зенона сходна с «Дихотомией».

Быстроногому Ахиллесу надо догнать черепаху, которая находится на расстоянии 10 000 стоп от него (стопа – примерно треть метра). Он бежит в десять раз быстрее, чем ползёт черепаха.

Но прежде чем взять старт, Ахиллес погружается в рассуждения: «Пока я пробегу десять тысяч стоп, отделяющих меня от черепахи, она продвинется на тысячу стоп. Пока я преодолею эту тысячу стоп, она проползёт сто стоп. Я преодолею и это расстояние, но она продвинется ещё дальше. Так будет продолжаться без конца: как только я достигну места, где она недавно находилась, она окажется впереди. Я буду постоянно сближаться с ней, но догнать не смогу. На то, чтобы её догнать, потребуется бесконечно много времени».

После такого безнадёжного вывода Ахиллес вынужден был сослаться на свою заболевшую ахиллесову пяту и отказаться от бега за черепахой, дабы не опозориться на глазах почтенных древних греков.

Безусловно, решись он взять старт, не размышляя, то вскоре догнал бы черепаху, если б только она не находилась где-то в неоткрытом в ту пору Новом Свете или если бы он не подвернул ногу. Но он предпочёл теорию практике.

Из этого исходил и Зенон. Судя по всему, он имел в виду не реальное движение тел, а мыслимое при определённых заранее заданных условиях. В противном случае получается, что речь идёт не о парадоксе, а о глупой задачке, которую не следует принимать всерьёз.

Примерно так высказался французский математик Поль Леви: «Как можно воображать себе, что время остановится из-за того, что некий философ занимается перечислением членов бесконечного ряда. Признаюсь, я никогда не понимал, как люди, в других отношениях весьма разумные, могут оказаться смущёнными подобными парадоксами.

Мой теперешний ответ есть тот самый, который я дал, когда мне было 11 лет, старшему, рассказавшему мне этот парадокс. Я резюмировал тогда такой немногословной формулой: “Этот грек был идиотом”. Я знаю теперь, что нужно выражать свои мысли в более вежливой форме и что, возможно, Зенон излагал свои парадоксы только для того, чтобы проверить разумность своих учеников. Но моё удивление перед умами, смущаемыми сходящимся рядом, осталось тем же».

Приятно сознавать себя умнее древнегреческого философа. Но Зенон, безусловно, понимал: реальный человек, если ему нужно догнать черепаху, побежит быстрее, чем она ползёт, и не станет каждый раз намечать себе цель там, где недавно находилась черепаха.

Из Интернета я узнал, что для решения проблем, поставленных в апориях Зенона, некоторые авторы привлекают квантовую механику. Они считают рассуждения Зенона верными, ибо бесконечное деление времени и пространства невозможно из-за соотношения неопределённости, согласно которому есть «неделимая» доля энергии – квант. (Остаётся неопределённым вопрос о том, существует ли минимальный квант пространства и времени.)

Ахиллес и черепаха

Остаётся только удивляться наивности таких авторов (Поль Леви, наверное, выразился бы в данном случае грубей). Хотя не исключено, что у них тонкий квантовый юмор.

Зенон предложил именно апории, которые заводят мысль в тупик и не могут иметь рационального решения. Они призваны показать, помимо всего прочего, трудности познания реального мира посредством математических упражнений.

По словам Бертрана Рассела: «Анализу апорий Зенона посвящена колоссальная литература; особенно большое внимание им уделялось в последние сто лет, когда математики стали усматривать в них предвосхищение парадоксов современной теории множеств».

На практике Ахиллес при желании перегонит черепаху, которая находится в пределах досягаемости. Но при некоторых условиях ему это не удастся. Почему?

Ответ прост: Ахиллес поставлен в такие условия, при которых он не догонит черепаху. Ему предложено постоянно замедлять своё движение, а с уменьшением расстояния становиться всё тоньше и меньше, до ничтожных размеров. Так получается, если отрешиться от математических абстракций и представить себе реальную картину бега.

Чтобы показать важность корректной постановки задачи, можно предложить апорию «Ахиллес и Гермес».

Есть аксиома: расстояние между двумя неподвижными телами остаётся неизменным. Немного изменим её: тела неподвижны, если расстояние между ними остаётся постоянным.

Итак, новая ситуация. Ахиллесу предложили догнать черепаху, которая находится в тысяче шагов от него. Когда он добежал до того места, где была черепаха, она оказалась в той же тысяче шагов от него. Это Гермес, бог торговли, воровства и хитрости, переносил её с той же скоростью, с которой бежал быстроногий Ахиллес. Так продолжалось впредь: как ни старался Ахиллес, расстояние между ним и черепахой оставалось неизменным.

В таком случае, если исходить из принципа, который взят за основу, он и она оставались неподвижными. Ведь расстояние между ними не менялось. Выходит, нет разницы – неподвижны два тела или движутся в одном направлении с одинаковой скоростью.

Вот и вспомнишь: «Движенья нет, сказал мудрец брадатый…»

Правда, во время бега Ахиллес тратил значительно больше энергии, чем в покое; значит, было движение. Но ведь есть бег на месте…

Общий вывод прост: наш исходный посыл и наши условия мысленного опыта были некорректны. Неверная постановка проблемы заводит мысль в тупик, исключает рациональное решение и вступает в противоречие с опытом и здравым смыслом.

При рассуждениях о движении двух тел принципиальное значение имеет взятая точка отсчёта и метод фиксации перемещений. Например, следствием теории относительности считается парадокс близнецов. Один близнец улетает с Земли, достигает близко к световой скорости, а через некоторое время возвращается на родную планету. Согласно теории, он испытает замедление времени и вернётся более молодым, чем его брат.

Но по той же теории за точку отсчёта можно взять ракету, и формулы останутся теми же, но на этот раз уже землянин при встрече должен быть моложе брата-астронавта. Получается парадокс парадокса близнецов.

Астронавт, в отличие от землянина, испытает огромные перегрузки, что плохо скажется на его здоровье. Выходит, логичней взять точкой отсчёта ракету, раз уж есть свобода выбора.

Впрочем, о парадоксе близнецов мы ещё поговорим.

Стрела

Апории «Ахиллес и черепаха» и «Дихотомия» исходят из гипотезы непрерывности пространства и времени, которые бесконечно делимы.

Николя Бурбаки (псевдоним группы французских математиков ХХ века) сделал вывод: «Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный ещё ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса – как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера».

Третья апория Зенона – «Стрела» – предполагает другой вариант: время и пространство делимы на элементарные дискретные моменты времени и точки пространства. Однако и в этом случае, как выясняется, нельзя обойтись без противоречий.

Стрела – третья апория Зенона

Летящую стрелу есть все основания считать неподвижной. Ведь в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится. Но если она покоится в каждый момент времени, то она так же неподвижна и в сумме этих моментов.

Напомню: Зенона не надо было убеждать в существовании движения, прохаживаясь перед ним. Он и сам мог с таким же успехом ходить, рассуждая о том, что летящая стрела неподвижна. Для него было важно показать, что в нашем понимании сути движения есть противоречия.

Из Интернета: «В студенческие годы я написал курсовую по апориям Зенона. В ней я утверждал, что апории возникают потому, что движение субстанциально, а покой частный и побочный случай, парадоксальная форма движения, а поэтому при помощи покоя осмыслить движение невозможно. Получил “неуд”. Как вы думаете – заслуженно, или я был прав?»

Мне кажется, умный студент был прав. Хотя бы отчасти.

Движение не может быть частным случаем всеобщего покоя. Ибо покой исключает какое-либо движение.

Состояние покоя – частный предельный или даже исходный момент движения. В этом случае скорость тела равна нулю, только и всего.

Впрочем, и тут не обходится без парадокса. Неподвижное тело относительно одного объекта может находиться в движении относительно другого объекта. Предположим, стрела летит равномерно прямолинейно в космическом пространстве, не испытывая сопротивления. Где-то в стороне движется ракета с космонавтом. Как узнать, летит стрела или покоится?

Раз уж она оказалась в космосе, значит, каким-то образом преодолела земное (лунное) притяжение или была сброшена с космического корабля. В любом случае, она находилась в движении, а теперь продолжает его. Но узнать её скорость нельзя, не зная, когда и где начался её полёт; формально можно считать, что она неподвижна.

Если иметь точки отсчёта в пространстве и времени, то нетрудно будет вычислить скорость стрелы. Без этих сведений остаётся неопределённость: допустимо считать стрелу или летящей, или неподвижной.

В современном варианте эта апория выглядит так. Скоростной киносъёмкой запечатлён полёт стрелы. Прокручивая кадры с обычной скоростью, мы увидим её медленное движение. А на каждом отдельном кадре она будет неподвижной.

Минимальна порция энергии – квант. Если есть подобные «кванты» пространства и времени, то скорость летящей стрелы в каждый квант пространства и времени равна нулю. Сумма таких моментов тоже будет равна нулю. Значит, стрела не движется, хотя известно, что она летит.

Апория свидетельствует о решительном противоречии логичных рассуждений и реальности. Приходится признать ошибочность идеи о кванте времени и пространства. Они не состоят из мельчайших неделимых частей, не дискретны (от латинского слова, означающего «делимый»).

Однако предыдущие апории («Ахиллес и черепаха», «Дихотомия») показали, что время и пространство нет оснований считать непрерывными, то есть бесконечно делимыми. Что же получается? Есть два варианта, и оба сомнительны. Получается неопределённость решения. Хотя есть ещё один, наиболее разумный вывод.

Надо признать время и пространство категориями идеальными. То есть мы ими пользуемся произвольно, чаще всего успешно и с пользой, но порой вступая в противоречие с явлениями материального мира.

Что же имел в виду Зенон в апории «Стрела»? Сам он об этом не обмолвился. Есть такие варианты. Он имел в виду проблемы:

• Сходящихся числовых рядов.

• Теории множеств.

• Бесконечной или ограниченной делимости пространства.

• Бесконечной или ограниченной делимости времени.

• Зависимость решения задачи от её формулировки.

Зенон полагал, что на основе апорий можно доказать:

• Отсутствие абсолютного пространства.

• Отсутствие абсолютного времени.

• Как результат – отсутствие абсолютного движения.

Общий вывод может быть всё тем же, что и для других апорий: только корректная постановка проблемы приводит к корректному решению.

Зернышко и мешок проса

Евбулид из Милета жил в IV веке до н. э. Он стремился показать ограниченность познания и чувственного восприятия явлений. Его парадокс: «Зёрнышко проса падает бесшумно. Почему мешок проса падает с шумом?»

Если одно зернышко проса падает без звука, то и сколь угодно большое количество точно таких зёрен должно падать так же, ибо сумма «беззвучности» не может создать звук.

В Интернете предложен вариант решения этой проблемы на основе, как сказано, психоакустики: «Человек слышит звуки в диапазоне частоты от 16 до 20 000 Гц. Всё, что меньше или больше, для него бесшумно.

Громкость звука зависит от эффективного звукового давления, частоты и формы колебаний. Её измеряют в сонах. 1 сон – это громкость непрерывного тона частотой 1 кГц с звуковым давлением 2 МПа. 0 сон – это порог слышимости, 1 – тихая комната, 4 – разговор, 64 – метро, а сон выше 16 384 приведёт к смерти.

Мешок проса

Каждое зерно на самом деле падает с небольшим шумом, который наше ухо не воспринимает. А когда падает много зёрен, звук особым образом складывается, и этот шум уже попадает в воспринимаемый диапазон».

Вопрос можно изменить, поставив вместо зерна пушинку или пылинку. Производят ли они какой-либо звук при падении? Не исключено, что они действительно падают беззвучно. Хотя большое количество пушинок или пылинок, соединённых воедино, упав, произведут шум.

Вряд ли суть данного парадокса Евбулида, отражающего знания и культуру того времени, сводится к проблеме психоакустики. Философ Древней Греции, конечно же, не ставил такую научную проблему. Он предложил парадокс, исходя из возможностей восприятия человека, а не акустического прибора.

Как мне представляется, Евбулид имел в виду переход количества в качество. У суммы предметов появляется новое качество по сравнению с одним таким предметом.

Свои суждения по поводу этого закона выложил в Интернете Исай Давыдов: «Всякий переход количества в качество диалектический материализм называет скачком. Абсурдность такой трактовки скачка станет ясной сразу же после того, как вы посмотрите на любой график синусоиды, который не содержит в себе никаких скачков, хотя количественные изменения аргумента периодически переходят в качественные изменения синусоидальной функции».

На это был резонный ответ: пример не корректный; никакого количественного роста у синусоиды нет, а есть идеальный цикл, который может продолжаться сколь угодно долго.

Гегель, подтверждая переход скачком количества в качество, приводил пример замерзания воды при переходе через нуль градусов по Цельсию. Она из жидкости становится твёрдым телом. При таянии льда – наоборот.

Многократно переводя воду в лёд и обратно, получаем реальный цикличный процесс. В отличие от идеальной математической синусоиды он требует определённых условий, затрат энергии.

То же относится и к парадоксу зёрнышка (пылинки) и мешка зерна (пыли). Отрешаясь от математических или логических абстракций, для реального опыта требуется, в частности, невесомый мешок для зёрен или пыли. Да и нужен ли такой опыт? (Интересен по-своему другой вопрос: почему пакет с килограммом зерна можно забросить значительно дальше, чем одно зёрнышко.)

В общем, Евбулид не ставил задачу, которую следует решать опытным путём. Его интересовал принцип перехода количества в качество: от падения одного зёрнышка (пылинки) звук равен нулю, и тогда сумма нулей тоже должна быть нулём, а в реальности это не так.

Рогоносец

Его считают одним из парадоксов Евбулида, хотя это не вполне парадокс, а скорее софизм. И его принадлежность Евбулиду вызывает сомнение: у философа был другой стиль мышления. Хотя, как знать, и философы любят пошутить.

В произведениях античных авторов, например в эпиграммах или комедиях, мне не встречались упоминания о рогоносцах (обманутых мужьях). Скорее всего, этот софизм появился в Средние века: «Что ты не потерял, ты имеешь. Рогов ты не терял. Стало быть, ты рогат».

На первую фразу ответ не может быть отрицательным. На вторую – тоже. Казалось бы, и вывод должен быть таким же.

«Рогов ты не терял…»

На это можно отреагировать так: я не потерял сундук с драгоценностями, я не потерял ключ от своего дворца, я не потерял власть над страной и многое другое, чего никогда не имел.

Тут игра слов и смыслов. Потеря предполагает отсутствие того, что тебе принадлежало. На первую фразу софизма ответ как будто бы ясен: «Да». Вторая фраза с подвохом. На неё возможен положительный ответ в том случае, если имеешь дома рога сайгака (которые у меня есть), лося или оленя.

Подвох в том, что рога предполагаются не реальные, а виртуальные, аллегорические, появившиеся из-за измен жены. Имея в виду реальные и аллегорические рога, можно ответить: «Я не мог потерять рога, потому что их у меня нет и не было».

Этот парадокс более похож на шутливый розыгрыш. Даже странно, что он считается классическим, восходящим к временам Античности.

…Как тут не вспомнить эпиграмму Александра Пушкина. Она, пожалуй, остроумней и парадоксальней, чем сомнительный софизм «Рогоносец»:

 
У Клариссы денег мало,
Ты богат; иди к венцу:
И богатство ей пристало,
И рога тебе к лицу.
 

Лжец

В одной из эпиграмм древнегреческий философ Эпименид писал: «Все критяне лжецы!» Суждение суровое, но справедливое ли? Сам он был критянином, и если сказал правду, то его утверждение ложно, ибо он как житель Крита не солгал, следовательно, не все критяне лгут. Если же он сказал неправду, то нет парадокса; в таком случае он действительно лжец, но таковы не все критяне. Поэтому Евбулид уточнил (и парадокс назвали его именем): «Человек говорит, что он лжёт. Он говорит правду или ложь?»

Если он лжёт, то говорит правду, а если говорит правду, то лжёт. Определённого вывода сделать нельзя. Это уже апория, а не парадокс. Она приводит к тупиковой ситуации.

Согласно преданию, философ Диодор Крон Диалектик поклялся не есть до тех пор, пока не решит парадокса «Лжец». Через несколько дней он умер от истощения. Учёный, грамматик и поэт Филит, уроженец острова Кос, был так увлечён этим парадоксом, что умер от недоедания, бессонницы и уныния (по другой версии, покончил с собой). Эпитафия на его могиле:

 
О странник! Я Филит Косский,
И это Лжец привёл к моей смерти,
И бессонные ночи из-за него.
 

Аристотель предложил такое решение: «Ничто не мешает, чтобы один и тот же вообще-то говорил неправду, а в каком-то отношении и о чём-то говорил правду или чтобы в чём-то он был правдив, а вообще-то неправдив».

Это похоже на анализ более упрощённого варианта парадокса. Предполагается, что лжец не уточняет, когда он говорит неправду: только в данный момент или часто, но не всегда.

Несправедливо оболганные критяне

Математик и философ ХХ века Бертран Рассел писал по поводу парадокса Эпименида: «Это древняя загадка, к которой никто не относился более чем как к шутке, пока не было обнаружено, что этот вопрос имеет отношение к таким важным и практическим задачам, как существование наибольшего кардинального или ординального числа».

Мы не будем пытаться вникать в теорию множеств, а поверим Расселу на слово. Но учтём: он «подкорректировал» высказывание Эпименида, утверждая, что его выражение «все критяне лгуны» имеет смысл, только если в класс «все критяне» философ не включил себя самого.

О таком произвольном допущении не упоминали ни Эпименид, ни его последователи. Оно применимо только к математической теории множеств. Цифры не могут лгать, в отличие от людей. А в парадоксе речь идёт именно о людях.

Представляется такая ситуация. Пока Эпименид находился на Крите, он был лжецом, как все его земляки, не желая выделяться из общей массы. Покинув родной остров, он с полным основанием мог сказать правду, что все критяне, живущие на Крите, лгуны.

Приходит на ум ситуация с тайными диссидентами, которые, находясь в своей стране, прославляли её государственную систему. Но как только эмигрировали, стали отзываться о ней как об империи зла и лжи. Это похоже на вариант Рассела.

Однако учёный имел в виду множества чисел. Для операций с ними достаточно использовать логику. С людьми не так просто и ясно. Политическому эмигранту выгодно охаивать свою родину. Если прежде он подчёркивал её достоинства, то теперь будет свирепо обличать её недостатки, даже такие, каких у неё нет…

В Интернете приведены пространные рассуждения по поводу парадокса Эпименида, исходящие из разного толкования понятий, входящих в предложение «Все критяне лгуны». Возникают разные варианты. Можно предположить, что речь идёт о данном конкретном моменте, а в прошлом и будущем не все критяне были или будут лгунами.

Другая уловка связана с толкованием понятия «лгун». Так можно назвать человека, который чаще всего лжёт, но в некоторых случаях может сказать правду. Потому что в случае, когда все критяне никогда не говорят правду, а только лгут, есть способ избавить остров от лжецов.

Того, кто всегда, при любых обстоятельствах лжёт, следует спросить: «Вы хотите, чтобы вам отрубили голову?» Он по своему обыкновению солжёт: «Да!» И одним лгуном на свете станет меньше. Этот вопрос можно задавать всем лжецам-критянам, и на острове не останется аборигенов…

Один из авторов Интернета пишет: «Точкой ошибки в рассуждении всегда было то, что Эпименида причисляли к тем, кто лжёт, если все критяне лгут. Но если все остальные критяне и лгут, это не значит, что Эпименид тоже лжёт, как и наоборот. Эпименид не сказал, что все критяне всегда могут только лгать, а это значит, что любой критянин потенциально (как и любой человек вообще) может сказать истину, правду, даже если никогда этого не делал или делал редко».

Подобные толкования уводят далеко от проблемы. Нетрудно и вовсе избавиться от парадокса, потребовав убедительного доказательства утверждения, будто все без исключения критяне лгуны. Выяснится, что такое утверждение голословно, и доказать его в принципе невозможно по разным причинам. Однако это то же, что сказать: в такую игру по таким правилам я не буду играть.

Парадокс Эпименида можно представить в более реальном виде. Отец семейства, состоящего из пяти человек, утверждает: «В нашей семье все лгуны, никому нельзя доверять». Это разумнее всего считать ложью, ибо в семье вполне может быть человек, говорящий правду. И тогда следует поинтересоваться, по какой причине отец семейства сделал такое заявление.

Парадокс лжеца в наиболее упрощённом виде представляется таким. Некто утверждает: «Я всегда лгу». Если он действительно всегда лжёт, значит, он сказал правду, но это противоречит его же словам, что он всегда лжёт. Если же он и на этот раз солгал, выходит, он не всегда лжёт, а порой говорит правду,

Другой вариант: «Я никогда не говорю правду». Путь рассуждений тот же. Если это утверждение верно, значит, и на этот раз он солгал, но тем самым сказал правду, что противоречит его утверждению. Получается замкнутый логический круг. В его пределах сделать непротиворечивый вывод невозможно. Требуются дополнительные уточнения.

Надо иметь в виду, что утверждение потенциального лжеца обращено к конкретному человеку (или к аудитории). Тогда на его заявление можно ответить:

– Да, это правда, вы – лжец, и сами признались в этом, единственный раз именно сейчас сказав правду.

Или другой ответ:

– Нет, вы солгали, потому что в некоторых случаях, но только не сейчас, вы говорите правду.

Оба ответа логичны; не имея возможности выбрать одно из них, рискуешь оказаться в положении «Буриданова осла» (о нём разговор особый). Тогда вновь придётся выйти из пределов нового замкнутого круга и решать, как правильней оценить человека, сделавшего такое двусмысленное заявление.

Этот человек может запутать проблему, добавив после признания во лжи: «Сказав, что я лжец, я сказал неправду». Или так: «Сказав, что я лжец, я сказал правду». Тут есть над чем подумать.

Слова Сальери из «Маленьких трагедий» Пушкина:

 
Все говорят: нет правды на земле.
Но правды нет и выше. Для меня
Так это ясно, как простая гамма.
 

Здесь тот же парадокс лжеца. Если правды нет нигде, то слова Сальери – ложь. Значит, правда есть, хоть и лжецов – не счесть.