Didáctica de la Matemática
Bruno D’Amore
Prólogo de Colette Laborde con una carta de Guy Brousseau
Presentación de Luis Rico Romero
Traducción de Ángel Balderas Puga
Revisión de Martha Isabel Fandiño Pinilla
Primer Premio en el 2000
Concurso Nacional de Pedagogía de Italia
“Lo stilo d’oro”
Primer premio en el 2000
Concurso Nacional de Pedagogía de Italia
“Lo stilo d’oro”
Colección D i d á c t i c a s
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Didáctica de la Matemática
Autor:
© Bruno D´Amore
Universidad de Bologna –Italia–
Prólogo de Colette Laborde con una carta de Guy Brousseau
Presentación de Luis Rico Romero
Traducción de Ángel Balderas Puga
Revisión de Martha Isabel Fandiño Pinilla
Libro ISBN: 978-958-20-0860-1
Primera edición en Italiano: 1999. Elementi di Didattica della Matematica
(Ed. Pitagora, Bologna –Italia–)
Primera edición en Español: 2006. Didáctica de la Matemática
(Cooperativa Editorial Magisterio, Bogotá –Colombia–)
La traducción de esta obra ha sido financiada por el SEPS
–Segretariato Europeo per le Pubblicazioni Scientifiche–
Via Val d’Aposa 7 - 40123 Bologna - Italia
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© COOPERATIVA EDITORIAL MAGISTERIO
Bogotá, D.C. Colombia
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Dirección General
Alfredo Ayarza Bastidas
Dirección Editorial
José Vicente Joven N.
Composición
Arte Joven
Bogotá, D.C. Colombia
Para Martha
inteligente intérprete de los pensamientos más complejos
cómplice inagotable de las epistemologías más bizarras
dueña inesperada de mis sueños
Una vida sin investigaciones
no es digna de ser vivida por el hombre
Platón,
Apología de Sócrates, 38a 5-6
Contenido
Didáctica de la Matemática
Prólogo
Carta
Presentación
Prefacio
¿Enseñar a enseñar?
Las problemáticas del aprendizaje y las investigaciones
Este libro
Las citas
El lector ideal
Agradecimientos
Nota a la edición en español
Capítulo 1
Introducción a la didáctica de la matemática
1.1. El sustantivo didáctica
1.2. Los contenidos de la didáctica
1.3. La didáctica de la matemática como arte
1.4. Dos modos diferentes de entender la didáctica de la matemática: didáctica A y didáctica B
1.5. Didáctica A, como divulgación de las ideas
1.6. Otros ejemplos de didáctica A
1.7. Límites de la didáctica A
1.8. El “caso” de la versión escolar (ingenua) de la teoría elemental de conjuntos y las primeras investigaciones sobre la didáctica de la aritmética
Capítulo 2
Didáctica de la matemática como epistemología del aprendizaje matemático
2.1. Límites de la presente reseña
2.2. Aún más sobre la terminología. ¿Por qué buscar una teoría?
2.3. Hacia una teoría de la didáctica de la matemática
2.4. Otras interpretaciones de la didáctica de la matemática
2.5. Ulteriores posiciones actuales en la investigación en didáctica de la matemática
2.6. Educación matemática y didáctica de la matemática: recientes desarrollos interpretativos
Capítulo 3
El contrato didáctico
3.1. Nacimiento de los estudios sobre el contrato didáctico
3.2. Ejemplos
3.3. Más ejemplos y reflexiones acerca del contrato didáctico
3.4. Un ulterior ejemplo
3.5. Diferentes acercamientos a la idea de contrato didáctico
3.6. El contrato experimental
Capítulo 4
Conflictos. Misconcepciones Modelos intuitivos. Modelos parásitos
4.1. Algunos ejemplos para introducir las problemáticas
4.2. Ejemplos con multiplicación y división
4.3. Ejemplos con suma y resta
4.4. Conflictos “internos” y conflictos “sociocognitivos”
Capítulo 5
Imágenes, modelos y esquemas
5.1. Imágenes y modelos: terminología
5.2. Una propuesta de terminología
5.3. Una investigación para buscar un acercamiento a los modelos mentales de los estudiantes. Modelos “externos”
5.4. Modelos adecuados y modelos formados
5.5. Modelos normativos y modelos descriptivos
5.6. Aún sobre modelos mentales: una interpretación cognitivista
5.7. Imágenes, representaciones mentales y modelos: aún otra interpretación
5.8. Frame y script
5.9. Modelos en el sentido de esquemas
5.10. Mención de la teoría de los conceptos figurales
Capítulo 6
Conceptos. Obstáculos
6.1. Terminología
6.2. Los conceptos en la enseñanza
6.3. El papel del lenguaje en el aprendizaje y en la formulación de los conceptos
6.4. Las definiciones de concepto y de esquema dadas por Vergnaud
6.5. Introducción a los obstáculos
6.6. Obstáculos y errores
Capítulo 7
El triángulo: maestro, estudiante, saber. Transposición didáctica. Teoría de las situaciones didácticas
7.1. El triángulo: maestro, estudiante, saber
7.2. Transposición didáctica
7.3. La teoría de las situaciones didácticas
Capítulo 8
Matemática, didáctica de la matemática y lenguajes
8.1. Matemática y lenguaje: una premisa
8.2. Lenguaje y lenguajes
8.3. El lenguaje de la matemática en el aula
8.4. Lengua común y lenguaje de la matemática en oposición entre ellos
8.5. Otros “lenguajes” para la matemática. Pasaje entre registros diferentes
Capítulo 9
Ejercicios, problemas, situaciones problemáticas
9.1. Terminología
9.2. Matemáticos, psicólogos, maestros y ... niños intervienen sobre “problemas”
9.3. La actividad de resolución de problemas
Apéndice
Problemas de rutina y situaciones “insólitas”. El “caso” del volumen de la pirámide
Capítulo 10
Estilo cognitivo y perfiles pedagógicos
10.1. Cognición y conocimiento
10.2. Perfiles pedagógicos, estilos cognitivos
10.3. Reorganización cognitiva
Capítulo 11
Intuición y demostración
11.1. Intuición: ¿qué es?
11.2. Comencemos a hablar de demostración. ¿Demostración de qué?
11.3. Una muy breve panorámica sobre algunas investigaciones sobre el demostrar
11.4. Argumentar y demostrar
11.5. Argumentar, explicar, demostrar, etc., en didáctica de la matemática
Capítulo 12
Campos conceptuales, campos de experiencia, campos semánticos
12.1. Campos conceptuales
12.2. Campos de experiencia
12.3. Campos semánticos
Capítulo 13
Relaciones entre didáctica general y didáctica de la matemática. Una posible conciliación de puntos de vista 382
13.1. Introducción
13.2. Problemas de existencia o de legitimidad
13.3. Problemas de epistemología
13.4. Problemas de formación
Apostillas
Apostilla 1
Apostilla 2
Bibliografía
El autor
Prólogo
Precisamente ahora que este siglo termina, me pareció en verdad muy oportuna la idea de publicar una obra acerca de la didáctica de la matemática. Me parece absolutamente pertinente hacer el punto de la situación sobre una disciplina que ha conocido una evolución profunda, incluso revoluciones, en estos últimos cincuenta años, como dice justamente el autor de esta obra. Cierto, la empresa se dificulta si no se limita a querer detenerse en una sola perspectiva teórica y se busca en cambio abrazar y articular los diferentes cuadros teóricos que se han desarrollado en los diferentes países para construir una presentación coherente. Se convierte incluso en un desafío si se desea dirigirla a un público que no se reduzca a la sola comunidad internacional de los expertos sino a la más vasta comunidad de los formadores de maestros e incluso de los maestros mismos.
Bruno D’Amore aceptó el reto, a pesar de estar plenamente consciente de las dificultades y de los riesgos que comportaba. Y tuvo razón dado que ha tenido pleno éxito. Como en sus precedentes obras, él ha podido sacar provecho de sus extraordinarios talentos de expositor y de su gran cultura, tanto para mantener un tono atento, como para atraer la curiosidad del lector y ofrecer siempre de cualquier modo un contenido rico y profundo.
Él propone, en efecto, una síntesis completa, documentada y un estado del arte avanzado en el dominio que constituye la didáctica de la matemática. Es un viaje en el tiempo y en el espacio, aquel que realiza la obra, por medio de referencias históricas y actuales, auténticamente internacionales, no sólo en didáctica de la matemática sino también más allá, en psicología, en las ciencias cognitivas, en sociología…
Una de las cualidades de la obra está en el hecho que permite incluso al lector no experto entrar rápidamente en las diferentes problemáticas del dominio, de escoger los diferentes cuadros teóricos que han sido desarrollados, de tener conocimiento de un consiguiente conjunto de resultados que la didáctica de la matemática ha aportado, sobre un vasto campo. La didáctica no es más lo que era al inicio del siglo pasado, un conjunto de métodos de enseñanza de la matemática, sino que busca comprender mejor y modelizar los procesos de aprendizaje y enseñanza en sus aspectos específicos de las nociones matemáticas en juego; busca identificar las relaciones entre enseñanza y aprendizaje; toma en cuenta la dimensión epistemológica de los conceptos matemáticos y de la transformación de los contenidos del saber con fines de enseñanza; integra las características sociales ligadas a toda enseñanza, las reglas implícitas que administran las interacciones entre maestros y aprendices. Es a este vasto dominio que se liga esta obra que, además, dedica capítulos específicos a aspectos cruciales en la enseñanza de la matemática como el de la demostración, el de las representaciones y el de los registros expresivos.
El autor de esta obra nos invita a un viaje magnífico, el de la investigación de la comprensión de los complejos fenómenos en juego en la enseñanza y en el aprendizaje de la matemática. Ciertos autores eligen un tren de alta velocidad, ofreciendo así al lector la posibilidad de cerrar la obra, una vez terminada su lectura, suspirando de placer por haber podido tan rápidamente penetrar el conocimiento en el campo, de haber podido saborear las cuestiones importantes y los aspectos cruciales, y finalmente de saber lo que “se necesita” saber. Otros autores prefieren los pequeños trenes rurales que no desprecian las desviaciones, para que el viajero pueda observar a placer todos los matices del paisaje y gozarlos. Esta obra presenta la ventaja de permitir un viaje a dos velocidades: una lectura global del vasto dominio que cubre, una lectura precisa y profunda gracias a los comentarios sobre las referencias, en particular en las numerosas notas a pié de página. También los ejemplos de investigación pueden ser recorridos a dos velocidades, dado que el autor buscó siempre proporcionar las hipótesis y los resultados globales y discutir después los aspectos precisos en modo más detallado.
No es por lo tanto un simple viaje en la didáctica de la matemática que nos ofrece Bruno D’Amore a través de su obra, sino una multiplicidad de idas y regresos, todos diferentes y en grado de suscitar descubrimientos continuamente renovados. Precisamente por esto, nos ofrece una obra viva, útil y durable para muchos años. Una obra para el siglo XXI.
Colette Laborde
Carta
Querido Bruno D’Amore
Hace ya algún tiempo que recibí su bellísima obra “Elementos de Didáctica de la Matemática” y le ruego que acepte mis disculpas por haber tardado tanto en agradecerle.
Me prometí examinarlo con bastante detalle dado que el libro merece verdaderamente el interés y la atención de todos los estudiosos de didáctica. Pero no tuve la posibilidad, por motivos de tiempo, de hacerlo inmediatamente.
Usted ha hecho un trabajo notable que cubre un gran abanico de disciplinas y de investigaciones.
Verdaderamente lo felicito por haber sabido hacer una síntesis tan amplia, tan bien documentada y tan bien dirigida a las motivaciones de los investigadores y de los maestros. Es un instrumento de trabajo notable en particular para la formación de los maestros. Nosotros quisiéramos disponer de un libro así aquí. Espero que usted prepare algunas traducciones, al menos en francés.
En este momento no estoy en grado de discutir por escrito, con detalle, la presentación que usted hace de mis trabajos. Lo que leí me parece fiel. Pero sobre todo he observado bien que usted trata estas cuestiones de una manera seria, con inteligencia y con respeto. Lo importante es que usted hace progresar la reflexión. Sin duda hallaremos argumentos para discutir entre nosotros, dado que usted no sólo expresa las ideas de los trabajos existentes, sino que también expresa sus propias ideas. Lo que me parece muy bien dado que las considero interesantes. Espero que dentro de poco tengamos la oportunidad de intercambiar puntos de vista, a viva voz.
La tarea de dar una primera obra de síntesis sobre la didáctica de la matemática era una tarea importante pero difícil y delicada, y más que el público interesado a su empresa supera el grupo de investigadores y de los maestros especializados. Usted la cumplió de manera brillante.
Otro mérito de su obra es que constituye una base indispensable para avanzar hacia el estudio de la didáctica de las diferentes nociones matemáticas: el número, el álgebra, la geometría, la estadística, etc. Y la especificidad de esta parte de la didáctica necesita de la creación de la mayor parte de los conceptos que usted reúne aquí tan armoniosamente. Espero por lo tanto que estos “Elementos” –el título lleva consigo mismo una bonita ambición– sean completados rápidamente en este sentido.
Una vez más, lo felicito –pero que digo, le agradezco– por hacer conocer y vivir la didáctica de la matemática, y le deseo un gran éxito a sus elementos.
Con amistad,
Talence (Francia), 08 de octubre de 1999
Guy Brousseau
Lo autorizo a hacer pública esta carta.
Presentación
Este libro trata de didáctica de la matemática. Es decir, es un estudio en el que se habla y reflexiona sobre la educación y sobre las matemáticas. El objeto de esta reflexión lo constituye la didáctica de la matemática, sobre la reflexión teórica y la investigación en este campo, por ello también se habla sobre indagación sistemática y sobre método.
En las sociedades contemporáneas las matemáticas son parte esencial de la formación básica que han de compartir todos sus miembros. Por esto la educación matemática se considera un campo de trabajo que ocupa a un grupo considerable de profesionales, ya que se trata de una actividad social clave para la formación de los ciudadanos en una sociedad democrática avanzada.
El sistema convencional de enseñanza de las matemáticas y sus procesos de aprendizaje son parte relevante de la educación. La educación matemática abarca desde las primeras nociones sobre la cantidad, la forma y la deducción que enseñamos a nuestros niños hasta su culminación en una formación profesional o en estudios superiores.
La educación matemática implica una actividad intelectual intensa de carácter explicativo, que se sostiene sobre el aprecio por la belleza formal, las nociones de prueba y argumentación, y que se expresa mediante una gran variedad de acciones, términos, símbolos, técnicas, actitudes y recursos. Las matemáticas son una construcción humana que se utiliza con fines técnicos para la modelización de nuestro entorno y se aplica en la resolución de problemas prácticos. La educación matemática abarca el dominio de conceptos y procedimientos para comunicar conocimientos y organizar grandes parcelas de la actividad intelectual, científica, económica, cultural y social. Las matemáticas son el lenguaje de la ciencia y dan forma objetiva a multitud de problemas, permitiendo una crítica racional previa a la toma de decisiones.
Desde la perspectiva del especialista, consideramos la educación matemática como un conjunto de ideas, conocimientos, procesos, actitudes y, en general, de actividades implicadas en la construcción, representación, transmisión y valoración del conocimiento matemático que tienen lugar con carácter intencional (Rico, Sierra, Castro, 2000). La educación matemática la llevan a cabo determinados profesionales en unas instituciones y mediante unas tareas; en todos los casos se proponen dar respuesta a problemas y necesidades derivados de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
Los profesionales que trabajan en educación matemática abarcan un amplio abanico de tareas para llevar adelante, en toda su complejidad, la transmisión del conocimiento matemático a los ciudadanos en nuestra sociedad actual. Entre esas tareas tenemos: impartir clases de matemáticas, promover el aprendizaje de los escolares, evaluar el conocimiento de los alumnos, diseñar y evaluar materiales curriculares, escribir libros de texto y otros documentos escolares, formar profesores, gestionar o coordinar los aspectos administrativos de la educación matemática, orientar al profesorado de matemáticas, editar revistas y difundir experiencias educativas, dirigir departamentos o equipos de profesores, colaborar con grupos de investigación e innovación, investigar, y muchas otras que pueden considerarse.
Estas actividades se llevan a cabo en diversas instituciones del sistema educativo; centros de educación infantil y primaria, centros de secundaria, centros universitarios, centros de formación de profesores, departamentos universitarios, centros de investigación, dependencias administrativas, editoriales y otros.
En términos generales los especialistas distinguen tres sentidos distintos en educación matemática, cada uno de los cuales establece un campo diferente de actuación (Rico, Sierra, 2000).
En primer lugar, educación matemática como conjunto de conocimientos, artes, destrezas, lenguajes, convenciones, actitudes y valores, centrados en las matemáticas y que se transmiten por medio del sistema escolar. La educación matemática en este ámbito se refiere al conocimiento matemático como objeto de enseñanza y aprendizaje; la finalidad de la educación matemática se centra aquí en enriquecer y estructurar de manera adecuada los diversos significados de los conceptos matemáticos, superando la aparente exclusividad de su significación formal y deductiva. También se refiere a la organización y planificación necesarias para que estos conocimientos sean transmitidos, aprendidos, utilizados y compartidos socialmente por la totalidad de los ciudadanos.
En segundo lugar, educación matemática como actividad social que tiene lugar en unas instituciones determinadas y que es llevada a cabo por unos profesionales cualificados. En este caso se entiende la educación matemática como la totalidad de acciones y condiciones que hacen posible la enseñanza de las matemáticas. Abarca pues el conjunto de conocimientos, procesos y condiciones que posibilitan las interacciones entre profesores y alumnos en el medio escolar sobre un tópico matemático, es decir, que hacen viable la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. La educación matemática se refiere aquí a la actividad intencional mediante la que se lleva a cabo la construcción, comprensión, transmisión y valoración del conocimiento matemático. En este ámbito, la educación matemática se refiere al análisis y estudio de las condiciones para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Parte importante de este ámbito se refiere al conocimiento y desarrollo profesional de los profesores de matemáticas.
En tercer lugar, educación matemática como disciplina científica; es en este caso cuando nos referimos a la Didáctica de la Matemática. Se entiende aquí disciplina en su sentido académico, como totalidad de marcos teóricos y metodológicos, estructuras conceptuales, análisis históricos y epistemológicos que permiten interpretar, predecir y actuar sobre un campo de fenómenos, en este caso los fenómenos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. La Didáctica de la Matemática se ocupa de indagar metódica y sistemáticamente sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas así como de los planes para la cualificación profesional de los educadores matemáticos. La Didáctica de la Matemática tiene como objeto delimitar y estudiar los problemas que surgen durante los procesos de organización, comunicación, transmisión, construcción y valoración del conocimiento matemático.
La disciplina Didáctica de la Matemática tiene como objetos de estudio propios los dos campos antes mencionados, junto con su propia fundamentación teórica.
En términos generales, por investigación se entiende aquella actividad humana que se propone elaborar de manera sistemática conocimiento fundado sobre algún asunto. A lo largo de la historia del pensamiento se han decantado diversos métodos para la construcción sistemática de conocimiento de manera justificada. El método científico ha mostrado, desde comienzos de la edad moderna, su potencia y fecundidad para dar respuesta fundamentada a aquellas cuestiones que hombres y mujeres se plantean sobre su entorno físico, natural y social. Por método científico se entiende aquel modo ordenado de hacer basado en la observación y análisis sistemático de hechos y relaciones, en la formulación de hipótesis y teorías que interpreten, predigan o permitan actuar sobre tales hechos, y en el contraste y validación de esas hipótesis y teorías.
De manera precisa, se entiende por investigación la actividad de indagación basada en el método científico, sostenida por un marco epistemológico y orientada a la transformación del medio humano.
En este libro, Bruno D’Amore hace distintas aproximaciones a fundamentación teórica y a la investigación en Didáctica de la Matemática, con un planteamiento ordenado y metódico. En unos casos se ocupa de temas estrictamente curriculares, centrados en el contenido matemático, como ocurre con el debate sobre conceptos y objetos matemáticos, el análisis de los registros de presentaciones o con el análisis de las dificultades cognitivas. En otros casos su foco está puesto sobre las tareas del docente y el diseño y gestión de los materiales curriculares, como en la reflexión sobre el triángulo didáctico o sobre la escolarización del saber. También se introduce en la reflexión teórica y epistemológica con los trabajos sobre raíces, vínculos e interés y el dedicado a los obstáculos epistemológicos en la comprensión de un teorema de Cantor.
Este estudio es una revisión de diversos problemas de investigación que surgen de los distintos ámbitos de reflexión en la Didáctica de la Matemática.
El profesor D’Amore viene realizando desde hace años un esfuerzo meritorio por conectar con el mundo hispano parlante de profesores de matemáticas, expertos en educación matemática e investigadores en didáctica de la matemática. En este manual hace una selección de algunas de sus reflexiones y preocupaciones de estos últimos años; en su transcurso se esfuerza por transmitirnos de manera amena y detallada sus indagaciones y conclusiones. Pone a nuestro alcance parte del trabajo realizado por los investigadores italianos en Didáctica de la Matemática, conectado con las aportaciones de otros grupos europeos; todo ello permite ampliar la perspectiva de los trabajos que se vienen realizando en este área en el espacio europeo.
Estamos seguros de que estos estudios tendrán el alcance y difusión que merecen y serán de utilidad para profesores e investigadores.
Rico L., Sierra M., Castro E. (2000). La Didáctica de la Matemática. En: Rico L., Madrid D. (edts.). Fundamentos Didácticos de las Áreas Curriculares. Madrid: Editorial Síntesis.
Rico L., Sierra M. (2000). Didáctica de la Matemática e Investigación. En: Carrillo J., Contreras L.C. (edts.). Matemática española en los albores del siglo XXI. Huelva: Hergué Editores.
Luis Rico Romero
Universidad de Granada