Loe raamatut: «Didáctica de la matemática», lehekülg 7

Después de su nacimiento, el TME ha tenido numerosos encuentros oficiales, por ejemplo en Bielefeld (Alemania) en 1985, en Amberes (Bélgica) en 1988, en Oaxtepec (México) en 1990, en Paderno del Grappa (Italia) en 1991... En el curso de estas reuniones, se ha profundizado cada vez más el papel de la especificidad y se pasó de temas “sociales” (papeles, modelos, conceptos...) a temas específicos (por ejemplo perspectivas del punto de vista vigotskiano en el aprendizaje).

Esta última frase nos lleva necesariamente a hablar de un aspecto extremadamente importante al interior de nuestra disciplina: sus profundas relaciones con el campo de la psicología.

Desde este punto de vista podemos distinguir tres grandes corrientes de teorías y modelos relativos a la instrucción: interacción cognitiva, interacción social e interacción contextual.

La interacción cognitiva, en la que podríamos situar las teorías de J. Piaget, de J.S. Bruner y de D.P. Ausubel, podría caracterizarse por la idea que la instrucción es sobre todo un pasaje de informaciones; el objetivo es entonces el de crear situaciones óptimas para el pasaje privilegiado y principal, el que va del maestro al estudiante. El objetivo es el de hacer que al estudiante lleguen informaciones lo más correctas posibles.

La interacción social da importancia principal al papel de los sujetos que interactúan, estudiantes y maestros; la instrucción es el producto de esta interacción; en esta corriente podríamos poner a Lev Semionovich Vigotsky [1896-1934] y a Alberto Bandura.

La interacción contextual da relevancia no sólo a los sujetos, sino también al contexto en el que se da la interacción misma; en esta corriente se pueden poner los trabajos de B.F. Skinner, R.M. Gagné y L.J. Cronbach.

Pasaje de informaciones, interacción entre sujetos, interacción de los sujetos con el contexto... De selección en este campo no es posible no ocuparse, al menos de manera preliminar, sea en el momento de aceptar una u otra de las teorías del aprendizaje o en el afrontar la caracterización que cada uno de nosotros quiere dar a la propia acción en campo didáctico, o en el papel de docente, o en el de investigador.

Es obvio entonces que fue masiva la adhesión de los investigadores en didáctica de la matemática cuando se propuso la idea de formar un grupo de estudio sobre la psicología de la educación matemática (PME) que hoy tiene reuniones propias en todo el mundo. Entre los investigadores que han dado mayor impulso a este grupo, quiero aquí recordar sólo a Efraim Fischbein [1920-1998] y a Gérard Vergnaud.

El Grupo PME ha sobrepasado la problemática psicológica inicial; el debate acerca de la investigación ha evidenciado la necesidad de tomar en cuenta ulteriores problemáticas como, citando a Balacheff (1990a,b):

• la especificidad del conocimiento matemático; lo que tiene como consecuencia el estudio de los procesos cognitivos de los estudiantes en vez de lo que generalmente se indican como sus capacidades o los resultados logrados (esto es, desde mi punto de vista, uno de los puntos cruciales que distinguen, como ya dije antes, a la moderna investigación en didáctica de la matemática);

• la dimensión social del aprendizaje de la matemática al interior de un contexto específico.

Una tendencia en este sentido había sido ya preconizada por el mismo Fischbein (1990a) cuando, en un artículo que es en realidad una Introducción, afirmaba que la psicología de la educación matemática debe convertirse en la educación matemática en general, como cuerpo de conocimiento específico.

Pero en esta famosa Introducción existen también otras afirmaciones “fuertes” que vale la pena conocer.

Podría parecer que la adopción de cuestiones, conceptos, teorías y métodos tomados del campo de la psicología (general) y adoptados al campo de la educación matemática, podría dar frutos positivos y resultados interesantes. Pero la verificación empírica ha demostrado ampliamente que las cosas no son así. ¿Cómo explicarse esto? Fischbein sugiere que se debe al hecho que la psicología no es una disciplina deductiva; esta falla de pasaje de lo general a lo particular se tiene también en aquellos campos de la psicología (general) fuertemente entrelazados con el dominio de la educación matemática (por ejemplo: los estudios conducidos por psicólogos sobre la resolución de problemas, sobre la memoria, sobre las estrategias de razonamiento, creatividad, representación, imaginación, etcétera). Eso implica que tales argumentos no puedan constituir una fuente de problemáticas de investigación en el campo de la didáctica de la matemática. Por ejemplo, aún suponiendo que exista una cierta realidad en la teoría de los estadios lineales de Piaget y en sus ideas sobre el desarrollo de los conceptos matemáticos (número, espacio, caso, función, etcétera), no es posible, siempre según Fischbein, “trasladar” tales ideas a los currículos.

Aunque no sea un argumento cerrado en sí mismo, las problemáticas de carácter psicológico de la didáctica de la matemática son específicas y normalmente ningún psicólogo encontrará estos problemas en el curso de su carrera profesional. Si un psicólogo se interesa de problemas relativos a cuestiones de psicología del aprendizaje de la matemática, de hecho deja su campo precedente para pasar a éste último. En otras palabras, incluso los conceptos psicológicos usuales se vuelven otra cosa, adquieren nuevos significados si se utilizan en ámbito matemático o en el ámbito de la educación matemática. En otras palabras o existe colaboración entre los expertos de los dos sectores, pero permane­ciendo cada uno en su campo, o existe un cambio de frente si un es­tu­dioso de un sector se ilusiona de poder entrar en el otro impu­nemente.

Existen además teorías del aprendizaje por lo que es obvio que se busquen ahí ulteriores aportaciones al estudio del aprendizaje matemático37.

También en este caso, las teorias son diferentes, dado que cada una tiene especificidades propias.

En la instrucción basada sobre principios conductistas [descrita ampliamente por mí en la primera parte de D’Amore (1993a)] se tiende a dividir el curriculum en partes, cada una de las cuales se ve como tema de aprendizaje en sí mismo; al aprendizaje se llega por medio de refuerzos apropiados; el primer paso de todo segmento curricular consiste en temas y conceptos de base, sobre los cuales fundar después el conocimiento. En el caso de la instrucción fundada en la epistemología genética de Piaget, las capacidades generales formales basadas en operaciones lógicas que preceden a las aritméticas basadas directamente en los números no han proporcionado ayudas adecuadas para hacer adquirir al niño las habilidades básicas (como más o menos ya lo dije en el capítulo precedente).

Una teoría del aprendizaje matemático se basa en estudios cognitivos: el asunto básico es que el estudiante construye, en modo activo, su propio conocimiento interactuando con el ambiente y organizando sus construcciones mentales. La instrucción influencia lo que el estudiante aprende, pero no determina tal aprendizaje. Es decir, el estudiante no se limita a recibir pasivamente el conocimiento, sino que lo re-elabora constantemente en modo autónomo. Esta línea, que se podría adscribir al “constructivismo”, era la más seguida en los años 80, según Vergnaud (1990a), por quien se ocupaba de teorías del aprendizaje.

El punto de vista constructivista requiere la asunción de dos “axiomas” (Kilpatrick, 1987a):

• el conocimiento no se recibe de manera pasiva, sino que se construye activamente por el sujeto que aprende;

• conocer es un proceso de adaptación gracias al cual el sujeto que aprende organiza su propio dominio de experiencias.

A bien ver, existen (al menos) tres posiciones de base:

• constructivismo simple, llamado ingenuo: el de aquellos que aceptan sólo el primer axioma;

• constructivismo radical: el de aquellos que aceptan ambos axiomas;

• constructivismo social: el de aquellos que exaltan el papel central del conflicto cognitivo (del cual hablaré mucho, más adelante) en la construcción del saber objetivo.

El término “constructivismo” es hoy usado en un abanico dramática­mente amplio de interpretaciones. Sólo para tener las primeras informa­ciones, se puede ver Von Glaserfeld (1992) y Duval (1996-1997a). Una interesante visión que conjuga constructivismo y complejidad, a partir del trabajo sociológico de Niklas Luhmann, se halla en Ontiveros Quiroz (1996, 1997).

Un modo aún diferente de ver el problema de las teorías del aprendizaje es el así llamado recurso al modelo de la computadora, según el cual el funcionamiento de la mente se puede equiparar al de una computadora. El aprendizaje es entonces llamado proceso informático: se hace la hipótesis que cerebro y mente se hallan vinculados en manera tal como lo están una computadora con un programa y se comporten como tales, por ejemplo en modo absolutamente secuencial.

Lo explica muy bien Godino en el artículo que ya cité precedentemente (1991): “La cognición se logra con un mecanismo de procesamiento central controlado por un algún tipo de sistema ejecutivo que ayuda a la cognición a ser consciente de lo que está haciendo. Los modelos de la mente se comparan con los modelos de computadoras conectadas a un servidor central capaz de almacenar y de seguir secuencialmente programas escritos en un lenguaje de alto nivel. En estos modelos, la mente se considera como esencialmente unitaria y las estructuras y operaciones mentales se consideran como invariantes para los distintos contenidos; se piensa que un mecanismo único se halla en la base de las capacidades de resolución de una cierta clase de problemas”.

¿Qué implica esta metáfora, como la llama Kilpatrick (1985), desde un punto de vista metodológico? Los científicos cognitivistas que aceptan este punto de vista hacen observaciones sobre cómo los individuos resuelven problemas, si existe o no regularidad y periodicidad en sus comportamientos individuales específicos: cuando las hallan, las evidencian y las proponen como modelos de comportamiento general a los estudiantes en dificultad. Es decir, construyen “modelos de proceso” en lo que respecta a la comprensión y a la ejecución; tales modelos se transforman en programas de computadora y se ponen a funcionar para simular el comportamiento de un solucionador humano. Naturalmente no se necesita caer en el engaño de tomar esta metáfora como demasiado significativa o incluso como la realidad del funcionamiento cognitivo38.

Debe entonces decirse inmediatamente que, precisamente gracias al proliferar de este tipo de estudios, se pusieron en evidencia otros puntos de vista de los procesos de aprendizaje y de resolución de problemas, que ven el papel del solucionador más central y activo y que dan mucha más importancia a la interacción social en el aula.

En particular, sobre todo a obra de la ya recordada Escuela francesa, se ha desarrollado una concepción “fundamental” de la didáctica que tiene características diferentes: el aprendizaje es un hecho total, la didáctica tiene paradigmas de investigación propios, tiene una posición integradora entre los métodos cuantitativos y los cualitativos.

En otras palabras, el proceso de enseñanza-aprendizaje se ve como global; los modelos que fueron desarrollados comprenden las dimensiones epistemológicas, sociales y cognitivas y toman en cuenta las interacciones entre el saber, los estudiantes y el maestro al interior del contexto clase39.

Creo que pueden ponerse como fundamento de lo que estoy tratando de decir dos célebres preguntas que se puso Colette Laborde (1989):

• ¿cómo podemos caracterizar las condiciones que deben imple­mentarse en la enseñanza para facilitar un aprendizaje que reúna ciertas características fijadas a priori?

• ¿qué elementos debe poseer la descripción de un proceso de enseñanza para asegurar que pueda ser reproducido desde el punto de vista del aprendizaje que induce en los estudiantes?

Nótese lo que sigue: a simple vista, las preguntas parecen relativas al proceso de enseñanza; pero el control implícito se haya en lo opuesto y por lo tanto toda la atención se centra en los procesos de aprendizaje (a partir de los cuales se tienen después obviamente reflejos acerca del proceso de enseñanza).

Con estas últimas consideraciones hemos abandonado el punto de vista general, las teorías generales del aprendizaje, para llegar a situaciones mucho más específicas, cercanas a la didáctica de la matemática. Pasamos entonces decididamente a nuestra disciplina específica, delineando el punto de vista sistémico.

Guy Brousseau (1989a) define la concepción de la didáctica de la matemática como ciencia, “una ciencia que se interesa a la producción y comunicación de los conocimientos matemáticos, y en lo que esta producción y esta comunicación tienen de específico”, una ciencia que tiene como objetos específicos de estudio:

• las operaciones esenciales de la difusión de los conocimientos, las condiciones de esta difusión y las transformaciones que produce, tanto en los conocimientos como en quien los utilizan;

• las instituciones y las actividades que tienen como objetivo el facilitar estas operaciones.

Es obvio que todos nosotros entramos en juego cuando el objeto explícito son la matemática y entonces se tienen peculiaridades en las que entraré con mucho más detalle más adelante.

Aquí me limito a recordar una vez más que Brousseau (y, más en general, toda la Escuela francesa) considera el fenómeno enseñanza - aprendizaje desde un punto de vista sistémico y no como el estudio separado de cada uno de sus componentes (un poco como sucede hoy en los estudios económicos y sociales).

Tiene entonces sentido describir un sistema didáctico, como hacen Chevallard y Johsua (1982); para estos dos Autores tal sistema se haya formado por tres componentes: maestro, estudiante y saber; pero, naturalmente, existe un mundo externo, la sociedad en general, los padres, los matemáticos, etcétera.

Entre los dos sistemas existe una especie de zona intermedia, la noosfera: ahí se articulan las relaciones entre los dos sistemas, en un todo único, con sus conflictos (Godino, 1993b). La noosfera podría pensarse como “la capa externa que contiene a todas las personas que en la sociedad piensan a los contenidos y a los métodos de la enseñanza” (Godino, 1993b).

En cambio, se habla de medio o ambiente (en francés: milieu) como aquel subsistema con el que tiene que ver directamente el estudiante (materiales, juegos, etcétera). Este milieu se define inicialmente como el conjunto de todo lo que actúa sobre el estudiante o sobre lo que el estudiante actúa (Brousseau, 1977). Se puede pensar en la interacción entre estudiante y milieu, en ausencia de un concreto involucramiento del maestro, como a lo que se define una situación a-didáctica; mientras que si se toma en consideración incluso un sistema educativo explícito (por ejemplo la figura del maestro) entonces se habla de situación didáctica. A veces el milieu se define con base en verdaderos y propios objetos concretos, a veces se agrega una intención para la cual estos objetos fueron elegidos, a veces como algo estable, otras como algo que se desarrolla y se modifica junto con el estudiante. Aunque en la variación de la acepción de este término, debida al proceso de desarrollo de toda la teoría, aparece igualmente clara la función: sirve a definir, al interior del sistema didáctico, la parte ligada a usos específicos a-didácticos, predispuestos sí por el maestro, y por lo tanto con objetivos didácticos, pero sin la presencia necesaria y constante de tales objetivos (por ejemplo, sin la participación directa del maestro). [Una descripción de la evolución del concepto de milieu, se puede rastrear en (Perrin-Glorian, 1994, pp. 128-130). Véase: Margolinas, 1995a; D’Amore, Fandiño, 2002].

En Chevallard (1985) y Chevallard y Johsua (1982), se llega a la conclusión que el sistema didáctico es un objeto preexistente, dotado de una propia necesidad y de un determinismo propio; se caracteriza precisamente en base a las relaciones que establece, como ya se ha dicho, entre estudiante, maestro y saber.

Para proseguir con la ilustración del punto de vista de la Escuela francesa, supongamos de adoptar una perspectiva de matriz piagetiana, es decir postulamos que todo conocimiento se construye gracias a la interacción constante entre sujeto y objeto; el aprendizaje es entonces una jerarquización de estructuras mentales que se basan sobre un substrato, que son los contenidos.

En este sentido, se presenta como problema principal de investigación el estudio de las condiciones en las que se constituye el saber, teniendo como objetivo lograr su optimización, su control y su reproducción en situaciones escolares. Eso comporta que se debe dar importancia al objeto de la interacción entre los dos subsistemas “estudiante” y “saber” y a la gestión de tal interacción por parte del tercer subsistema, el “maestro”.

En tal ámbito podemos finalmente aludir a lo que se entiende por situación didáctica para después retomar el argumento más ampliamente en la sección 7.3. Se trata de un conjunto de relaciones establecidas en modo explícito o implícito entre el maestro, el estudiante (o un grupo de estudiantes) y los elementos del contorno (instrumentos o materiales), teniendo como objetivo el hacer que los estudiantes aprendan, es decir construyan un cierto conocimiento establecido precedentemente. Por lo tanto, las situaciones didácticas son específicas del conocimiento que se quiere hacer lograr.

Ahora, para que el estudiante construya su propio conocimiento, debe ocuparse personalmente de la resolución del problema que se le propuso en la situación didáctica, es decir, debe implicarse en tal actividad. En tal caso es cuando se usa decir que el estudiante ha logrado la devolución de la situación.

Buscaré entrar más en detalle sobre este término tan importante.

La devolución es el proceso o la actividad responsable a través de la cual el maestro obtiene que el estudiante empeñe su propia personal responsabilidad en la resolución de un problema (más en general: en una actividad cognitiva) que se convierte entonces en problema del estudiante, aceptando las consecuencias de esta transferencia momentánea de responsabilidad, en particular en lo que concierne a la incertidumbre que esta asunción genera en la situación.

En origen (Brousseau, 1986) la devolución era definida como “el acto por medio del cual el maestro hace aceptar al estudiante la responsabilidad de una situación de aprendizaje (a-didáctica) o de un problema y acepta él mismo las consecuencias de esta transferencia”.

Esto implica evidentemente que se busque clarificar que cosa entender con situación a-didáctica. Se trata de una idea que asume relevancia al interior del modelo de la teoría de las situaciones didácticas, sobre la que más y más veces deberemos regresar más adelante. Digamos que una situación didáctica sobre un cierto tema relativo al saber posee dos componentes:

• una situación a-didáctica;

• un contrato didáctico.

Se trata de un modelo teórico: si en un ambiente organizado para el aprendizaje de un cierto argumento falta la intención didáctica explícita, se tiene una situación a-didáctica.

A partir de 1970, Brousseau ha proporcionado ejemplos de situaciones a-didácticas (Perrin-Glorian, 1994, 1997) que el mismo Brousseau (1986, p. 50) describe: “La situación a-didáctica final de referencia, la que caracteriza al saber, puede estudiarse de manera teórica, pero en la situación didáctica, tanto para el maestro como para el estudiante, existe una especie de ideal hacia el cual se trata de converger: el maestro sin descanso debe ayudar al estudiante a eliminar lo más posible de la situación todos sus artificios didácticos, para dejarle el conocimiento personal y objetivo”.

La devolución es por lo tanto una situación con base en la cual el estudiante “funciona” de manera científica, y no sólo en respuesta a estímulos externos a la situación, por ejemplo de tipo didáctico (sobre estos puntos regresaremos varias veces con mucho más detalle en los capítulos sucesivos).

En una primera aproximación, la devolución consiste en el hacer entrar al estudiante en un funcionamiento matemático, frente a un problema que se quiere resolver; por un lado el estudiante sabe bien que el problema que se eligió tiene sentido para lograr un aprendizaje, pero para poder lograr tal aprendizaje él debería enfrentar el problema sin ningún componente extra-matemático, en particular sin razones didácticas.

Existen varios obstáculos para la realización de la devolución, obstáculos que Perrin-Glorian (1997) sintetiza:

• falta de estabilidad de los conocimientos previos, tanto en lo que concierne a su utilización como por la capacidad de una eventual puesta en discusión;

• falta de confiabilidad en las técnicas operatorias, lo que implica un alejamiento de la atención del objetivo principal y un alto costo para los procedimientos complejos;

• falta de capacidad en la lectura global de lo pedido en el problema; se le sustituye muchas veces con una lectura selectiva, local, con el objetivo de dar respuestas listas.

El proceso complementario al de la devolución, es entonces la institucionalización de los conocimientos. Con este término se entiende el proceso por medio del cual los estudiantes deben cambiar estatuto a sus conocimientos aún no oficiales, aún no patrimonio definitivo, lo utilizable oficialmente, por ejemplo, para la resolución de problemas o lo pretendido por el maestro como saber poseído en modo oficial. Una de sus funciones es la de “articular los conocimientos que los estudiantes ponen en juego en la resolución de problemas, conocimientos que son el resultado de saberes precedentes” que han fracasado en un intento precedente de adaptar a “una situación nueva y que han hallado una nueva ocasión de uso” (Perrin-Glorian, 1997, p. 54).

La institucionalización de los conocimientos entra en juego, por ejemplo, en la verificación de la resolución de problemas, en el transcurso de un balance de las actividades desarrolladas en clase, lo que significa que “la institucionalización es así un motor de avance del contrato didáctico” (Perrin-Glorian, 1997, p. 56).

La teoría de las situaciones es una teoría del aprendizaje de clara matriz constructivista en la cual el aprendizaje se produce mediante la resolución de problemas40.

Dado que el conocimiento matemático, en su peculiaridad, incluye no sólo conceptos sino también sistemas de representación simbólica, no sólo procesos de desarrollo sino también validaciones de nuevas ideas matemáticas, tenemos que contemplar varios tipos de situaciones:

• situaciones de acción: funcionan sobre el ambiente y favorecen el nacimiento de teorías implícitas que funcionarán en el grupo como modelos protomatemáticos;

• situaciones de formulación: favorecen la adquisición de modelos y lenguajes explícitos; si tienen dimensión social explícita, se habla entonces de situaciones de comunicación;

• situaciones de validación: a los estudiantes se les piden pruebas y por lo tanto explicaciones sobre las teorías utilizadas y también explicitación de los medios que subyacen en los procesos demostrativos;

• situaciones de institucionalización: tienen el objetivo (como hemos visto) de establecer y dar un status oficial a conocimientos aparecidos durante las actividades en el salón. Normalmente tienen relación con conocimientos, símbolos, etcétera, que se deben retener en vista de su utilización en un trabajo sucesivo.

Pero aprender por adaptación al ambiente implica rupturas cognitivas, acomodamiento, modificación de modelos implícitos, lenguajes, sistemas cognitivos. Es también por esto que se ha revelado contraproducente obligar al estudiante a una progresión cognitiva paso a paso; el principio de adaptación puede contrastar el proceso de rechazo de un conocimiento inadecuado que es en cambio necesario al aprendizaje. Ideas que sabemos son transitorias, en espera de su sistematización, resisten por así decirlo a los “ataques” y por lo tanto persisten incluso cuando deberían ser superadas. Estas rupturas son tan necesarias que tienen que ser incluso previstas por el estudio de las situaciones e indirectamente por los comportamientos de los estudiantes (Brousseau, 1976, 1983a).

Brousseau introdujo entonces la idea de obstáculo; tal concepto, se convirtió rápidamente en uno de los fundamentos de la investigación mundial, se ha revelado fructífero, tanto que se halla entre las “palabras” más utilizadas en este momento por la comunidad internacional de los investigadores en didáctica de la matemática, entrando a formar parte del vocabulario común de lo que decía precedentemente en este mismo párrafo. Dado que los capítulos sucesivos se dedicarán explícitamente a las “palabras” de este vocabulario, remito al capítulo 6 para el tratamiento de este tema particular.

Pero en el triángulo del que hemos hecho una rápida referencia hace poco (maestro - estudiante - saber), un lugar de relevancia lo ocupa el saber, argumento que aún no he afrontado aquí. Lo haré inmediatamente, siguiendo a Chevallard (1989).

El argumento principal de estudio de la didáctica de la matemática se haya constituido por los diferentes tipos de sistemas didácticos (formados por los posibles subsistemas teniendo estos elementos: maestro, estudiante, saber) que ya existen o que pueden crearse (por ejemplo activando particulares formas de enseñanza). En estas condiciones el saber no es absoluto porque depende de las instituciones en las que se halla el sujeto. Conocer una cierta teoría matemática es una frase que tiene sentido si se específica cual es la institución a la que nos referimos como nivel de competencia. Es necesario además hacer una distinción entre relación institucional (el saber referido al objeto conceptual considerado como aceptable al interior de una institución) y relación personal (conocimiento del objeto por parte de una dada persona); este último puede o no coincidir con el de la institución a la cual la persona pertenece.

Chevallard se pone entonces las siguientes preguntas:

• ¿cuáles son las condiciones que aseguran el recorrido didáctico de tal elemento del saber y de tal relación institucional y personal con este elemento del saber?

• ¿cuáles son las restricciones que pueden impedir el satisfacer estas condiciones?

He aquí entonces que se entiende como para Chevallard el problema central de la didáctica sea el estudio de la relación institucional con el saber, de sus condiciones y de sus efectos. Desde un punto de vista epistemológico, el estudio de la relación personal termina con el ser secundario, mientras es primario en la práctica.

La relatividad del saber con respecto a la institución en la que se presenta había llevado a Chevallard al concepto de transposición didáctica (Chevallard, 1985). Nos referimos a la adaptación del conocimiento matemático para transformarlo en conocimiento para ser enseñado. Primero nos preocupamos del pasaje del saber matemático al saber por enseñar (este pasaje tiene implicaciones muy ricas; entre todas señalamos la necesaria recontextualización del concepto en examen, del contexto matemático al que pertenece, con base en el saber con el que el maestro se inspira, en el contexto escuela, programa, curriculum, en el que debe estar comprendido). Después, una vez realizada la introducción del concepto, nos apoderamos de él para hacer algo; esta inmersión en el saber enseñado permite la recontextualización del objeto del saber. Pero eso no permitirá de reconstruir el motivo de existencia original de la noción, ni le restituirá todas y sólo las funciones para las que tal noción fue introducida. Y eso, obsérvese bien, no sólo en los primeros niveles de escolaridad.

Siempre de Escuela francesa son otras ideas, fundamentales hoy para entender el funcionamiento de la investigación en didáctica de la matemática, como las de “contrato didáctico” (ya más veces mencionado), “campo conceptual”, “dialéctica instrumento - objeto”, “ingeniería didáctica” y “reproducibilidad”, todas “palabras” del vocabulario que nos ocuparán en capítulos sucesivos41.

Naturalmente, una de las primeras aclaraciones por hacer, antes de enfrentar la investigación en didáctica de la matemática, es la de definir el significado de los objetos matemáticos tal como se usan no sólo por los matemáticos, sino también por los epistemólogos de la matemática. A este tema se han dedicado muchos estudios, necesarios como preliminares a quien quiera dedicarse a la investigación; señalo las reflexiones de Godino y Batanero (1994; 1997) y, más en general, Kitcher (1984), Tymoczko (1986), Speranza (1997), D’Amore (2001b, 2002).

Lo que quería poner en evidencia aquí era sólo la ahora lograda y consolidada existencia de un “núcleo firme” en el sentido de Lakatos, la existencia de paradigmas ahora recurrentes, un nutrido grupo de investigadores en acuerdo sobre temas y peculiaridades de la investigación, una línea de investigación (en el sentido de Bunge), con problemáticas fuertemente originales y un lenguaje ampliamente compartido. Todo eso se requería para el nacimiento de una nueva teoría, visto que las precedentes no estaban en posibilidad de dar respuestas a algunas preguntas específicas.

2.4. Otras interpretaciones de la didáctica de la matemática

Aquel que quiera que su punto de vista no se someta a controles y verificaciones, hará bien a usar frases muy largas, ricas de subordinadas ensambladas unas dentro de otras. Aquel que desea someter a verificación y al control de los lectores sus propios razonamientos, los debe expresar con frases breves, lineales. Entre mejor lo haga, mejor será el resultado.