Века сквозь математику, или Как математики раз за разом мир вертели

8.2

Древняя Индия

Если говорить про наследственность в математике, то современная математика рождается из математики эпохи "Математического взрыва" 17 века в Европе (про который мы, безусловно, поговорим). А математика в Европе начинает возрождаться во время Эпохи Возрождения, и происходит от математики арабской (про которую мы, конечно, тоже поговорим). А вот арабская математика являет собой синтез математики Древней Греции и математики Древней Индии. (А Древний Китай почти на математическую картину не влияет, лишь опосредованно, через культурный обмен с Индией).

Поэтому глава про Индию даже в чем-то важнее главы про Китай. Хотя с источниками опять все очень сложно. Хоть страна и не такая закрытая, как Китай, но зато и бардака тут больше, и все трактаты теряются в веках.

Первые сведения о древнеиндийской математике относятся примерно к 8 веку до нашей эры (то есть, еще до Фалеса). Это – серия религиозно-математических трактатов под названием Сульва-сутра (или, в более современном прочтении – Шульба-сутра).

Что интересно: на некотором уровне уже появляются доказательства! Но уровень строгости доказательств не такой, как в Древней Греции. Обычно это чертеж и надпись "Смотри!" Именно такое доказательство теоремы Пифагора встречается в Сульва-сутрах и считается исторически первым.

Что еще характерно для древнеиндийской математики? Построения! Вообще-то Сульва-сутры писали не с научными математическими целями, а с целями постройки ведийских алтарей. Даже название "Шульва-сутра" переводится "правила веревки", то есть древние индийцы умели строить разные геометрические объекты с помощью веревки. Прямые (натянуть веревку), окружности (закрепить один конец веревки и покрутить), прямые углы и так далее.

Большинство геометрических построений были абсолютно верными, ведь алтари надо было строить, согласно вере, очень точно! Даже небольшие отклонения от идеальной формы могли не просто нарушить святость ритуалов, могли навредить. Что характерно, при разных формах алтари должны были иметь одинаковую площадь. И тут у индусов тоже возникает задача квадратуры круга.

Про число π. Древнеиндийские математики знали, что π≠3. Но единого мнения, чему же оно равно – не было. В разных "Шульвасутрах" встречаются разные задачи, в которых возникают разные значения числа π. Тут и совсем далекое , и очень хорошее , и египетское , и вовсе уж загадочное . Эти приближения встречаются в Сульва-сутре. Но на этом они не останавливались (догадывались, что их приближения не точны) – и искали новые. В частности, встречается и хорошее приближение .

Но самое, конечно, ценное, и незаменимое, что внесли древние индийцы в современную нам математику, которую мы знаем – это запись чисел. Мы с вами уже видели, как мучились со счетом египтяне, и насколько проще было вавилонянам, использующим позиционную запись числа (пусть и 60-ричную). У индийцев возникает 10-тичная позиционная запись числа, кроме того, они вводят цифры (а не палочки). Цифры, известные нам сегодня называются "арабскими", потому что в Европу они пришли в Средние века из арабских стран. Но в арабские страны эти цифры пришли как раз из Индии. Цифры и запись числа – это ой как немало! При удобной записи, и вычисления быстрее, и многие факты становятся просто очевидными. Например, нам с вами достаточно очевидно, что это 2 делить на n. А для древних египтян это была целая теорема!

В Древней Индии в записи чисел была глубокая поэзия. Чтобы запомнить какое-то число, каждую его цифру заменяли словами. Слова были подходящими (например, 1 могли зашифровать словом "луна" или "солнце" или "нос" – потому что Луна одна, Солнце одно, нос у человека один; цифру 2 могли зашифровать словом "глаза" или "руки"; для цифры 3 индусы использовали слово "братья" (потому что у Рамы три брата) или, например, "пламя" (в их вере три пламени) и т.д. Ноль можно зашифровать чем-то типа "дыра" или "пустота" или "темнота" – что-то подобное. На самом деле, тут главное, чтобы тебе и твоим друзьям/ученикам/последователям было понятно, что именно ты имел в виду. И из таких слов сочиняли стихи, чтобы запоминать большие таблицы чисел. Например, чтобы зашифровать "2023" мы с вами могли бы использовать слова: "руки-пустота-крылья-поросята" (а потом для красоты зарифмовать что-то типа "руки пустоту поймали, крылья поросят украли".

/*Между прочим, не такое это простое занятие! Вот попробуйте зашифровать какую-нибудь дату таким образом. Например, дату вашего рождения. Я вот тоже зашифровала некую всем известную дату. Угадаете, какую?*/

Солнце загорожено твоими руками.

Темнота побеждена года временами.

Луна жизнь кошачью освещает.

С сотворения мира бог всех прощает.

Какие книги можно еще почитать.

К главе 8 про Древний Китай и Древнюю Индию.

[24]

Э.И. Березина, Математика Древнего Китая. – М.: Наука, 1980.

/*Вот это отдельная книга по истории математики в Древнем Китае. Мне понравилось читать про Лю Хуэя, в частности подробно описано и то, как он интегрировал.*/

[25]

под ред. А. П. Юшкевича, «История математики с древнейших времен до начала XIX столетия» в 3 томах, т.1. – М.:Наука, 1970.

/*Учебник по истории математики. Уже неоднократно встречался за свою полноту. В нем есть почти все, хотя некоторые исторические датировки за прошедшие 50 лет подверглись уточнению, и лучше информацию из него перепроверять.*/

[26]

В. Прасолов, История математики. —

Книга в процессе написания.

https://vvprasolov.livejournal.com/67259.html

/*Книга по истории математики всей вообще. Пока что книга в процессе написания, постоянно добавляются новые главы. Написана очень хорошо. Про Китай и Индию я рекомендую читать именно в ней.*/

/*Честно признаемся, с книгами отдельно по математике Древнего Китая или Древней Индии – не густо вообще, а ограничиваясь на русскоязычные книги – и подавно.*/

Лекция 9

.

Математика в Средние Века

Во-первых, что же такое Средневековье? Средневековье начинается с распадом Древнего Рима и заканчивается Эпохой Возрождения. Почему же Возрождение, откуда взялся такой странный термин? Дело в том, что в Европе в Средние века было все очень плохо как с наукой, так и с искусством. Они – в полнейшем упадке. К власти приходит Христианская церковь, которая меняет устои, и в частности, устраивает беспрецедентные гонения на всех ученых. Академию Платона, просуществовавшую к тому времени почти тысячу лет, разгоняют как рассадник язычества. Собственно, обвинения в язычестве и дьяволопоклонничестве – основные претензии к ученым в Средние века. Не зря первые полтысячи лет Средневековья называются "Темными веками". Большинство ученых из Европы вынуждено бежать. Куда бежать? – в Арабские страны. Наука на территории Европы не то, что не развивается, не идет вперед такими семимильными шагами, как в годы жизни Платона и Архимеда – наука откатывается назад. Инквизиция совершенно не прощает научных идей!

И сразу же обрисую некоторый парадокс. Я вот только что сказала, что именно расцвет христианской религии, ее приход к власти, знаменует гонение на ученых и упадок науки. И это действительно так. Но! Если и сохраняются хоть какие-либо крохи старых знаний на территории Европы, если кто-то и может заниматься наукой и образованием – это монастыри и церкви. Именно в монастырских библиотеках можно отыскать какие-то знания. Именно высокие церковные чины обладают временем и возможностями заниматься наукой. Так что с одной стороны церковь как науку уничтожила (на территории Европы), так науку и сохранила.

9.1

Хранители знаний в Темные века

Например, Боэций (примерно 480–524 гг. н.э.) – был теологом, исследователем христианства. Но нам интересно то, что именно он одним из первых переводил «Начала» Евклида на латынь (с греческого). Он практически не переводил доказательств, но переводил утверждения. И позже именно его переводы сыграли решающую роль в образовании. И в том, что некое представление в Европе о «Началах» было. В конце-концов, казнили его за ересь и колдовство. А после его смерти через некоторое время объявили святым мучеником церкви.

Рисунок 9.1: Дж.Д.Пенроуз. Досточтимый Беда диктует Евангелие от Иоанна на смертном одре.

Или вот Беда Досточтимый (672–735 гг. н.э.), монах-бенедиктинец, живший на территории современной Англии. Один из создателей древне-английского языка. Переводил на англо-сакский язык Священное писание и (что нам важнее!) античные труды, в том числе научные. После смерти (не столь трагичной, для разнообразия) его тоже канонизировали как святого, объявив "Учителем церкви". И действительно, он всю свою жизнь посвятил тому, что учил. Хранил знания, передавал их дальше.

Именно ему, Беде, принадлежат методы расчета Пасхи (которыми, собственно, мы пользуемся по сей день, только с учетом перехода с юлианского календаря на григорианский). Пасха в Библии определена рядом условий, которые по сути своей есть линейные уравнения в целых числах. Одно из главных условий: Пасха должна приходиться на первое воскресенье после полнолуния, ближайшего после дня Весеннего равноденствия. Определенный день недели (воскресенье) приходится в разные годы на разные числа. Фазы луны повторяются с периодом 19 лет (лунный круг). (Хорошо хоть, что дата Весеннего равноденствия – конкретное число!))) По всем этим причинам Пасха перемещается в календаре с периодичностью 532 года. Что и вычислил Беда.

Занимался он и согласованием календарей иудеев, римлян, англосаксов – этими методами тоже потом пользовались много столетий. Выдумывал концепции подсчета на пальцах, используя разные жесты: на пальцах двух рук он считал до миллиона.

Труды Беды оказали большое влияние на интеллектуальный фон Средневековой Европы. А кроме того, его переводы помогли как-то сохранять знания.

В качестве третьего примера, хочу вспомнить Герберта Аврилакского (940-1003 гг.н.э.), также известного как Папа Сильвестр II. Герберт был ценителем и искателем античных текстов. Написал некоторые математические научные труды (главные: «Геометрия» и «Правила счета на абаке»). Возродил использование в Европе астролябии и абака⁷, которые были забыты в Европе после падения Римской Империи (т.е. примерно полтысячелетия).

Герберт Аврилакский пытался популяризировать математику и астрономию в Европе. В Европе с наукой все было довольно плохо. А вот в арабских странах – хорошо. Но поехать в мусульманские страны христианину было очень трудно. В таком случае надо было ехать в современную Испанию! Половина Испании (например, современная Андалусия: Гранада, Севилья, Кордоба…) были как раз "арабскими странами", а другая половина (например, современная Каталония) – христианскими. А общение, конечно, можно было наладить. Именно в Барселоне получал Герберт свои знания (и о математике в том числе).

Рисунок 9.2: Герберт Аврилакский

Одним из первых европейцев он знакомится с арабскими цифрами и арабскими же методами вычислений. Собственно, за это его и сжигают на костре с формулировкой "он продал душу дьяволу, потому что умел делить любые числа".

В романе «Мастер и Маргарита», кстати, Воланд говорит, что прибыл в Москву, потому что в Государственной библиотеке обнаружен архив Герберта Аврилакского.

9.2

Мусульманские страны

Однако же, главным научным центром на целое тысячелетие становятся Мусульманские страны (они же в литературе называются Арабские страны).

Именно сюда эмигрировали ученые из Европы, сюда же стекаются знания с Востока (из Китая и Индии). Поэтому в это время именно здесь происходит синтез знаний. В 9 веке центр научной жизни – Багдад, где халифы создали так называемый "Дом мудрости".

Математика Востока (и мусульманских стран в том числе) всегда носила более прагматичный характер, нежели древнегреческая. Вычислительные задачи, измерения здесь выходят на первый план, тогда как доказательства и построения уходят на второй. Если в Древней Греции, мы про это говорили, математика была чисто умственным созерцанием, и "получать выгоду" от нее было не принято, то в мусульманских странах как раз прикладная математика правит бал. Применение математика находит в торговле, ремеслах, строительстве и архитектуре, географии и мореплавании, астрономии, механике и инженерии.

Ряд интересных математических задач ставит перед учеными и религия ислама. Задача о расчете лунного календаря, об определении точного времени для свершения намаза, для определения точного направления на Мекку…

Вся действительно ценная научная литература того времени – на арабском языке. В том числе, и «Начала», конечно, переводятся на арабский. И первые полные переводы на латынь (чтобы с «Началами» могла ознакомиться вся Европа) – именно с арабского, а не с греческого.

Главные достижения арабской математики:

/*Эх, как я лихо сейчас тысячелетнее развитие запихаю в страничку текста! Но во-первых, поверьте, это уже немало. Вспомним только Египет, в котором на протяжении нескольких тысячелетий свитки переписывались без добавления в них новых знаний! А уж в Европе того времени вообще ничего не происходит, кроме того, что научились дату Пасхи вычислять. и снова научились пользоваться абаком. */

С 8 века здесь закрепляются и развиваются индийские цифры и индийская десятичная позиционная запись числа. Сейчас эти цифры называются у нас и по всей Европе "арабские". Методы вычисления в такой системе записи. (То же "правило умножения в столбик", например).

Использование и применение десятичных дробей. (Пришло из Индии, но закрепилось именно здесь).

В Древней Греции дроби были либо обыкновенные, либо по-вавилонски 60-ричные. Для чисто-теоретических знаний обыкновенные дроби хороши, но для практических знаний все равно берем не, а 0,666, да?

Разработка приближенных численных методов извлечения корней (разных степеней, с большой точностью). Суммирование (некоторых) рядов.

Решение уравнений. Продвижение в деле решения кубических уравнений (о чем мы поговорим попозже в главе 10.1).

Открытие формулы, которую мы называем "бином Ньютона" для натуральных степеней.

Попытки доказать пятый постулат Евклида, в связи с чем получены его переформулировки и связь с другими математическими фактами (но об этом мы тоже еще поговорим в главе 16).

Систематизация и расширение знаний о тригонометрии, как плоской, так и сферической. Тригонометрия у средневековых арабов на поразительно высоком уровне.

Но главное достижение, конечно же, в том, что знания за эти темные века не просто не теряются, как это происходит в Европе, а преумножаются, систематизируются. Многое доводится до логического конца.

Когда мы такое читаем, возникает закономерный вопрос: А куда же делась арабская математика? Куда делась древнегреческая, почему после такого расцвета Древней Греции, научный центр перемещается в Багдад – мы обсудили. Тотальная эмиграция математиков. А почему же потом, в Эпоху Возрождения, центр научных исследований (и в первую очередь нас интересуют математические, конечно) опять перемещается в Европу? На самом деле, по этому поводу есть несколько теорий.

Теория первая. После длительного главенствования, арабские страны во время Крестовых походов начинают терять территории. В Европе у арабов отбирают испанские территории. А тут надо учесть, что Кордоба была очень крупным научным центром, со знаменитым Университетом, с самой богатой в арабских странах библиотекой (после отвоевания христианами этих территорий, библиотека исчезла, следов от нее не осталось). Да и в Толедо тоже был крупный научный центр и богатая библиотека. С востока на арабские страны наступают монголы. Научные центры, разбросанные по всему научному миру, вопервых, теряют связь, а во-вторых (и, возможно, в главных) теряют финансирование. Если надо воевать – не до науки.

Теория вторая. /*Именно такую легенду мне самой рассказывали на курсе "История математики", когда я была студенткой.*/ В XV веке великий правитель державы Тимуридов (его страна включала в себя большую часть Средней Азии) Улугбек, внук Тамерлана и сам довольно известный математик своего времени, решил создать самую подробную карту звездного неба. Для этого он даже построил в Самарканде самую большую и самую крутую обсерваторию. Короче, всем математикам своей империи он повелел заниматься вопросами этой самой карты. Карту писали несколько поколений ученых. Она устарела раньше, чем была дописана. А математики к этому времени разучились заниматься чем-либо другим.

Теория третья. Математике стало некуда развиваться. Тут арабов подвело то, что их не интересовали теоретические аспекты, а всегда – прикладные. Математика достигла такой высоты, что новых знаний больше не требовалось. В экономике – считать умели все, что требуется. В астрономии рассчитывали положение звезд с точностью до долей градуса, даже до долей секунд (напомню, что секунда = доля градуса). Задачи, поставленные религией (где Мекка? когда молиться?) были полностью решены. Так зачем же нужна математика? Не нужна.

Ну, конечно, я думаю, что произошло и то, и другое, и третье. И именно поэтому на следующем витке развития пальма первенства в науках и математике постепенно перекочует во Францию (Ой, получился спойлер! Но до этого пока далеко! это будет в XVII веке в главе 11).

9.3

Как математика потихоньку возвращалась в Европу

Развитие торговли – явный стимул к развитию математики. Не случайно, что первый крупный европейский математик Средневековья – Леонардо Пизанский (он же Фибоначчи) – по профессии купец.

Рисунок 9.3: Леонардо Пизанский. Он же Фибоначчи (1170–1250 гг. н.э.)

Именно он первый знакомит Европу с арабскими цифрами. Он предпринимает попытки решать кубические уравнения (и другие уравнения высших степеней). Ему удается доказать, что кубические уравнения не решаются в квадратичных иррациональностях (т.е. нельзя их решить только с помощью арифметических действий и извлечения квадратного корня).

/*Кстати говоря, именно это является препятствием к тому, чтобы решить задачу про удвоение куба с помощью циркуля и линейки.

Позже именно так доказал неразрешимость этой задачи лишь в XIX веке Пьер Ванцель. Но тогда Фибоначчи этого шага не сделал.*/

В 1202 году выходит его знаменитый и совершенно замечательный труд «Книга абака»⁸ – энциклопедия математических знаний того времени. В современных печатных изданиях такая книга насчитывает около 500 страниц. Книга была адресована не только ученым, но и широкой аудитории: купцам, счетоводам, чиновникам.

Знаменит Фибоначчи тем, что в своей книге не только пересказывает старые знания, но и ставит новые оригинальные задачи. Например, всем известная задача про кроликов: "Сколько пар кроликов родится за год от одной пары, если кролики начинают приносить потомство со второго месяца и каждая пара каждый месяц производит еще одну пару?"

Менее известны, но есть и множество других задач на разные темы. Например: "выбрать пять гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз массой от 1 до 30 граммов. Гири кладутся на одну чашу весов, груз на другой". Тут же встречается и более сложный вариант задачи: "какое минимальное количество гирь потребуется (и как их выбрать) для взвешивания любого груза массой от 1 до 30 грамм, если гири разрешено складывать на обе чаши весов?"

/*А вы-то, живущие на 800 лет позже после Леонардо, сумеете ли решить эти задачи? Попробуйте – это интересно!*/

9.4

Университеты

И при всем при том, что в Средние века с наукой все плохо, но после Темных веков на территории Европы открываются первые университеты. И появляется систематическое образование (в том числе, и математическое тоже).

В Кордобе (на территории арабских стран) около X века был построен университет, который (вместе с библиотекой) прекратил свое существование в XV веке.

Первый университет на территории Европы – в Константинополе – возник даже раньше, в IX веке (первого его ректора звали Лев Математик). Прекращает свое существование в XV веке с падением Константинополя и завоеванием его Османской империей.

В XI веке появляется университет в Болонье (Италия) – старейший университет из ныне работающих, не прерывавших свою историю. С ним по древности соперничает Оксфордский университет (Англия), но точная дата его открытия неизвестна (большинством историков считается, что скорее это начало XII века, а не XI).

В 1200 году возникает университет в Париже (его историческим преемником сейчас считается Сорбонна; формально Парижский университет закрылся в конце XVIII века). Следом за ним, в XIII веке появляется много университетов: Кембридж, Саламанка (Испания), Падуя (Италия), Неаполь (Италия), Тулуза (Франция), Орлеан (Франция), Вальядолид (Испания), Лиссабон (Португалия) и другие.

В Средние века Университет обычно состоял из четырех факультетов: искусств, богословия, права и медицины. Студент поступал (примерно, лет в 14) сначала на факультет искусств, где обучался около 6 лет (как бы аналог нашего бакалавриата). И после испытаний мог перейти на любой другой факультет, или даже последовательно закончить несколько (как бы аналог магистратуры). Наиболее престижным и популярным был, конечно, богословский университет. Но и учиться на нем было долго (примерно 8 лет). Иногда обучение в университете могло продолжаться 20 лет, иногда дольше.

Математике, конечно, учили на факультете искусств. Но отдельного преподавателя математики не было (как у нас сейчас в начальной школе).

Но важно, что университеты возникают! Хотя в эти времена они вовсе не всегда были необходимым элементом хорошего образования, и, честно говоря, не всегда были и самыми важными научными центрами.