Fundamentos teóricos de la música atonal

Colección Ton y Son

Coordinación de Difusión Cultural

Dirección General de Publicaciones y Fomento Editorial

Fundamentos teóricos de la

música atonal

Hebert Vázquez

Universidad Nacional Autónoma de México

2020

Contenido

Introducción

Definiciones básicas

Relaciones entre conjuntos

Operaciones con segmentos

Operaciones con conjuntos de c.a. y definiciones relacionadas

Contenido interválico e invariancia

Redes de transformaciones

Análisis de obras

Apéndice 1

Apéndice 2

Notas

Bibliografía

Aviso legal

Introducción

La teoría de la música atonal se ha venido desarrollando durante casi cincuenta años en los países anglosajones, particularmente en Estados Unidos. Su fundador, el compositor y teórico norteamericano Milton Babbitt, la concibió inicialmente como un método axiomático, de estricto carácter científico, que favoreciera el acercamiento analítico riguroso y sistemático al repertorio dodecafónico de la escuela de Arnold Schoenberg. En una serie de artículos paradigmáticos escritos durante la década de 1950, Babbitt establece las bases matemáticas de su método, que se fundamentan principalmente en las teorías de grupos y de conjuntos. Aunque los trabajos de Babbitt son esencialmente teóricos, pronto abren el camino a una abundante literatura analítica que penetra en el pensamiento estructural dodecafónico mucho más allá del tradicional método de “conteo de serie”, que limitaba el análisis musical a la localización y clasificación de las diferentes operaciones seriales utilizadas en la obra. Posteriormente, en la década de 1970, el teórico norteamericano Allen Forte implanta el concepto de complejos de conjuntos, o colecciones de clases de alturas no ordenadas, que extiende el campo de acción de la teoría hacia el ámbito de la música atonal no dodecafónica (si bien el trabajo analítico del propio Forte se concentra principalmente en la música atonal predodecafónica). Aunque el objeto de estudio de la teoría de la música atonal ha sido primordialmente el de las relaciones estructurales generadas a partir de la altura, también se han llevado a cabo esfuerzos por integrar de manera sistemática a otros parámetros musicales como la duración, el ritmo, la textura, etc. En la actualidad, y gracias al empeño de teóricos de la talla de David Lewin, Robert Morris y John Rahn, por nombrar sólo a unos cuantos, la teoría de la música atonal se ha consolidado como una de las aportaciones más significativas al pensamiento teórico-analítico musical del siglo XX.

No obstante que en los últimos 30 años la teoría de la música atonal ha producido un enorme acervo de literatura teórico-analítica y se ha instalado firmemente en los planes de estudio de la enseñanza musical profesional, sobre todo en los países anglosajones, en México es aún prácticamente desconocida.1 El principal objetivo de este libro es contribuir a remediar dicho rezago. Aunque el presente trabajo puede ser leído perfectamente en forma individual, ha sido concebido para su empleo como libro de texto en cursos teóricos y analíticos a nivel de posgrado, por lo que su tratamiento formal puede plantear al lector ciertas exigencias. De ninguna manera quisiera con esto desalentar su uso en entornos académicos menos especializados o como simple lectura de placer; por el contrario, se ha invertido un esfuerzo considerable para hacerlo accesible. Es con este propósito, por ejemplo, que se ha ubicado la información matemática más abstracta en las notas, salvo cuando ésta resulta indispensable para la formulación de un concepto esencial. Además el libro cuenta con un compendio de definiciones y operaciones matemáticas básicas, el apéndice 1, cuyo propósito es evitarle al usuario la molestia de consultar obras especializadas en la materia. El propio texto remitirá oportunamente al lector a dicho apéndice, si bien se le exhorta a hacerlo siempre que lo considere pertinente. Finalmente se ha incluido un número importante de ejemplos gráficos y musicales que complementan todos los procedimientos o definiciones expresados en forma abstracta, “aterrizándolos” intuitivamente.

Existen varios aspectos en los que esta obra se diferencia de la mayoría de los textos anglosajones de su tipo. Por supuesto el más relevante es quizás la importancia que se da al repertorio musical mexicano, en los ámbitos de ejemplificación teórica y analítico. Sin embargo, a esto hay que agregar una clara inclinación por la música compuesta en la segunda mitad del siglo XX, preferentemente en el transcurso de los últimos 20 años. Lo anterior obedece a una convicción personal acerca de la necesidad urgente de acercar la aventura creativa de nuestro tiempo a un espacio de reflexión académica. Es por eso que se ha evitado conferir un peso excesivo al estudio de la música dodecafónica, como suele ser el caso en este tipo de obras, optándose por asociarlas a nociones teóricas más amplias, sobre todo en los capítulos 3 y 5, en lugar de dedicarles un capítulo propio. A lo que sí se ha destinado un capítulo entero, el segundo, es al examen de las relaciones entre conjuntos, tema de gran potencial analítico al que, sin embargo, los libros de texto anglosajones no parecen conceder una importancia prioritaria. Por razones pedagógicas, las operaciones con segmentos (capítulo 3) preceden en este texto a las que involucran a conjuntos (capítulo 4). Efectivamente, el hecho de que (los elementos de) los primeros se encuentren ordenados facilita considerablemente el manejo de operaciones cuando se las enfrenta por primera vez. Un aspecto novedoso del libro es que introduce, si bien someramente, el tema de las redes de transformaciones en el capítulo 6. Hasta donde tengo entendido, esta herramienta teórico-analítica, desarrollada por David Lewin no figura en algún otro texto de teoría atonal general. También me he permitido proponer una nueva notación para expresar las alturas e intervalos en uno de los dos espacios generadores, el espacio-a. Ésta es la única contribución teórica original del libro.

Los primeros cinco capítulos son exclusivamente teóricos, con algún exabrupto analítico ocasional, y exhiben un orden progresivo de complejidad. Lamentablemente los conceptos simples y directos del primer capítulo se ven de alguna manera empañados por la formalización, algo más compleja que exige la nueva notación propuesta. Sin embargo estoy suficientemente convencido acerca de las bondades de la misma, como para asegurar que a la larga su aplicación es capaz de recompensar el esfuerzo invertido por el lector. El sexto capítulo inicia con una muy breve exposición teórica general, en el punto 6.1, después de la cual se concentra en la exploración de dos casos analíticos particulares. El séptimo y último capítulo es exclusivamente analítico y ofrece al lector una perspectiva práctica de la aplicación de las herramientas obtenidas en los capítulos teóricos, dentro de contextos estructurales amplios como, digamos, el de una pieza o movimiento completos. Afortunadamente no es un requisito contar con el total de la información teórica para abordarlo, sino que el lector es avisado cuando ya cuenta con la información suficiente para acometer cualquiera de sus tres análisis.

AGRADECIMIENTOS

Agradezco profundamente a Arturo Érdely su colaboración en las definiciones matemáticas relacionadas con la nueva notación de alturas e intervalos en el espacio-a, así como sus aportaciones en torno a la red de transformaciones y relaciones del capítulo 6. También ha resultado imprescindible la contribución de Julio Vargas, quien llevó a cabo la definición formal de los operadores dodecafónicos en el espacio-a, empleando la nueva notación, y dio los toques finales a la representación de alturas e intervalos, tomando como punto de partida el trabajo que yo había realizado previamente en colaboración con Arturo Érdely. Agradezco, asimismo, el apoyo proporcionado por el Consejo Nacional para la Cultura y las Artes (Conaculta), por medio del Sistema Nacional de Creadores de Arte (SNCA), del cual soy Creador Artístico.

Definiciones básicas
1.1. Espacio de alturas

En este capítulo discutiremos el parámetro de la altura, o frecuencia, así como los tipos de relaciones interválicas susceptibles de ser generadas a partir del mismo, dentro del sistema temperado. Para ello, primero será necesario definir dos tipos de espacios generadores que fijarán reglas de comportamiento a partir de las cuales las alturas y sus relaciones interválicas podrán ser formalizadas, y que servirán de marco referencial para la futura interpretación teórico-analítica del material musical. El primero que estudiaremos es el espacio de alturas, o espacio-a. Se trata del espacio lineal tradicional de alturas dividido en 12 sonidos por octava, en el cual cada sonido se encuentra a distancia de semitono con respecto del sonido inmediato inferior y superior, como en la escala cromática. Dos axiomas definen la altura en el espacio-a: la equivalencia enarmónica y la no equivalencia de octava. El que la equivalencia enarmónica se encuentre activa significa, por ejemplo, que el Fa índice 5, el Mi sostenido índice 5 y el Sol doble bemol índice 5 son equivalentes, lo que denotaremos como “F5 ≡ E#5≡Gbb5”; lo mismo sucede con F#3 ≡ Gb3, D7 ≡ Ebb7, etc. El que la equivalencia de octava permanezca inactiva significa, por ejemplo, que D5 D6 (el Re índice 5 y el Re índice 6 no son equivalentes), Ab2 Ab7, D#5 Eb3, etc.

Apéndice 1: Para una definición elemental de la relación de equivalencia en lógica, véase punto A1.1.

1.2. La altura en el espacio-a

En el espacio-a (espacio de alturas), las alturas son representadas por medio de números enteros, positivos y negativos. Debido a que el intervalo entre alturas contiguas dentro la escala cromática es siempre constante en el sistema temperado, se le asignará el valor de la diferencia mínima entre dos enteros (el número 1) a la diferencia mínima entre dos alturas (el semitono, en la teoría tradicional).

Se ha convenido que el C5 (el Do central) reciba el valor 0. Toda altura que se encuentre por debajo de dicho Do será clasificada con un número negativo que corresponderá a la cantidad de semitonos descendentes que la separen del 0, mientras que toda altura ubicada por encima del mismo recibirá un número positivo determinado por el número de semitonos ascendentes que la separen del 0.

EJEMPLO 1

REPRESENTACIÓN NUMÉRICA DE LAS ALTURAS EN EL ESPACIO-A

En el ejemplo 2 se pueden observar las propiedades de equivalencia enarmónica y no equivalencia de octava, características del espacio-a, expresadas por medio de notación musical y números enteros.

EJEMPLO 2

a) Equivalencia enarmónica

b) No equivalencia de octava

Si bien a primera vista puede parecer complejo tener que asignar un número entero a cada frecuencia audible de la gama cromática, existen dos factores que, en la práctica, lo facilitan considerablemente. En primer lugar, hay que considerar que, con excepción de las alturas comprendidas dentro del índice 5, no será necesario memorizar, sino calcular, los números correspondientes a las diversas alturas. En segundo lugar, el procedimiento para localizar numéricamente una altura determinada es muy simple, por lo cual se puede realizar mentalmente.

Para localizar alturas con números positivos se toma como referencia al 0 (o Do 5) y se le suman n veces 12 (el intervalo de la octava), hasta mapearlo con el Do que comparta el mismo índice acústico con la altura que se desee obtener (“mapear” significa transformar un objeto en otro por medio de una operación determinada), y se le suma el intervalo simple correspondiente. Si se quiere localizar el Ab7, por ejemplo, llevamos a cabo la siguiente suma: 0 (C5) + 12 + 12 (dos octavas) = 24 (C7); 24 + 8 (intervalo de sexta menor) = 32 (Ab7). Para obtener, por ejemplo, el Eb6: 0 + 12 = 12 (C6); 12 + 3 (intervalo de tercera menor) = 15 (Eb6) (ver la tabla con la representación numérica de los intervalos simples que aparece en el ejemplo 3).

Para localizar alturas con números negativos también se tomará como referencia al 0, al cual se le sumará n veces -12 hasta mapearlo en el Do que se ubique un índice acústico por encima de la altura que se desee obtener, y se le restará el intervalo simple correspondiente. Para localizar el F3, por ejemplo, llevamos a cabo la siguiente operación:

0 + (-12) = -12 (C4); -12 + (-7) (intervalo de quinta justa) = -19 (F3). Si se desea obtener, por ejemplo, el D4: 0 + (-10) (intervalo de séptima menor) = -10 (D4).

Apéndice 1: Reglas referentes a las operaciones de suma y resta de enteros positivos y negativos, ver punto A1.3.

1.3. Tipos de intervalos del espacio-a

Un intervalo, como ya se ha señalado, representa la distancia o espacio entre dos alturas, medida en semitonos y expresada en números enteros. Indicar los intervalos en forma numérica nos permite evitar la nomenclatura tradicional, que fue concebida para expresar la lógica tonal. Por ejemplo, los términos como “tercera menor” o “mayor” hacen alusión a los modos correspondientes, así como a los grados de la escala diatónica (una tercera es un intervalo que recorre tres grados de la escala diatónica), dos referencias carentes de significado en el contexto atonal.

En el ejemplo 3 aparece una tabla con los intervalos simples (los que no superan el ámbito de la octava) y su representación numérica correspondiente. Por su importancia, se aconseja memorizarlos.

EJEMPLO 3.

Intervalos simples

El espacio-a es capaz de generar dos tipos de intervalos: el intervalo ordenado, en el que se enfatiza la dirección, ascendente o descendente, del mismo, y el intervalo no ordenado, que mide el espacio absoluto entre dos alturas.

1.4. Intervalo ordenado

El intervalo ordenado se utiliza únicamente para medir la distancia entre alturas no simultáneas. Si tenemos dos alturas x e y, de tal manera que y se presente después de x, podemos definir el intervalo ordenado entre x e y como i.a. <x, y> = y - x. La abreviatura i.a. significa “intervalo de altura” o, lo que es lo mismo, un intervalo que se localiza en el espacio-a. Los símbolos “<·>” indican que la información que contienen se encuentra ordenada de izquierda a derecha; en este caso, se trata de un orden cronológico.

Si al realizar la resta y – x obtenemos un número positivo, significa que el intervalo entre x e y es ascendente; si el resultado es un número negativo quiere decir que el intervalo es descendente, y si da cero estamos ante un sonido repetido. Estos tres casos se encuentran incluidos en el ejemplo 4.

EJEMPLO 4

CLASIFICACIÓN DE INTERVALOS ORDENADOS ENTRE ALTURAS (NO SIMULTÁNEAS)

Encima del pentagrama se indica el intervalo ordenado que relaciona a cada par de alturas; óbservese que, excepto por el 0, todos los intervalos van acompañados de un signo, incluso el intervalo ascendente localizado en a). De acuerdo con nuestra definición de intervalo ordenado, tenemos que en a) i.a.<5, 8> = 8 - 5 = +3; en b) i.a.<-3, -22> = -22 - (-3) = -22 + 3 = -19; en c) i.a.<1, -1> = -1-1 = -1 + (-1) = -2; en d) i.a.<31, 31> = 31 -31 = 0.

1.5. Intervalo no ordenado

El intervalo no ordenado se utiliza para medir la distancia absoluta entre dos alturas, por lo que el orden (cronológico) de éstas o la dirección (ascendente o descendente) del intervalo no son considerados en su aplicación. Dadas dos alturas x e y que sean real o conceptualmente simultáneas, entonces x - y e y - x producirán el mismo resultado, por lo cual se ignorará el símbolo numérico negativo (-), que necesariamente producirá alguna de las dos operaciones (por ejemplo, 3 - 2 = 1, mientras que 2 - 3 = -1), y se indicará el intervalo entre x e y con el símbolo de más/menos (±) o la notación de valor absoluto (|·|). De esta manera, el intervalo no ordenado entre las alturas x e y puede definirse como i.a.{x, y} = |y - x|. Aquí, las llaves ({·}) indican que los elementos que contienen no se encuentran ordenados, a diferencia de lo que ocurre con los ángulos (<·>). Nótese que la definición de intervalo no ordenado se deriva de la de intervalo ordenado, ya que i.a.{x, y} = |y - x| = |i.a.<x, y>|.

Apéndice 1: Definición de valor absoluto de un número, ver punto A1.2.

EJEMPLO 5

CLASIFICACIÓN DE INTERVALOS NO ORDENADOS ENTRE ALTURAS SIMULTÁNEAS Y NO SIMULTÁNEAS

En el ejemplo 5 a) tenemos las alturas simultáneas 6 y 14; de acuerdo con nuestra definición de intervalo no ordenado, 14 - 6 = |+8| ≡ 6 - 14 = |-8|, por lo que ambos resultados se representan simplemente como el intervalo no ordenado |8|.

En b) tenemos que 23 - 12 = |+11| ≡ 12 - 23 = |-11|, por lo que el intervalo no ordenado entre las alturas simultáneas 12 y 23 será |11|. Como se comentaba anteriormente, también la distancia entre alturas no simultáneas se puede expresar por medio de intervalos no ordenados, si se considera a dichas alturas como conceptualmente simultáneas, tal y como ocurre en c) y d).

En el ejemplo 6 podemos ver el uso de intervalos no ordenados en un fragmento de una pieza de Dallapiccola.

EJEMPLO 6

USO VERTICAL DE INTERVALOS NO ORDENADOS (LUIGI DALLAPICCOLA, QUADERNO MUSICALE DI ANNALIBERA, PARA PIANO: Nº 7-ANDANTINO AMOROSO E CONTRAPUNTUS TERTIUS, C. 1-4)

Los intervalos no ordenados nos revelan que el pasaje está construido sobre una estructura palindrómica casi perfecta a nivel de las díadas armónicas (ver las líneas de correspondencia debajo del ejemplo). El único punto de rompimiento del diseño simétrico, que aparece señalado con una línea de puntos, es producto de la inversión del intervalo de la quinta díada (la inversión de |7| es |5|, ya que |7| + |5| = |12|, que es el intervalo no ordenado que representa a la octava). 2 Es interesante observar que, como consecuencia del rompimiento del diseño simétrico, todas las díadas de la segunda parte del palíndroma se erigen sobre un intervalo no ordenado diferente.

En el ejemplo 6 se utilizaron los intervalos no ordenados para explorar pares de alturas simultáneas; en el siguiente ejemplo se establece una comparación entre el uso de intervalos ordenados y no ordenados en la catalogación de alturas lineales contiguas.

EJEMPLO 7

USO LINEAL DE INTERVALOS ORDENADOS Y NO ORDENADOS

En el ejemplo 7 podemos ver un pequeño fragmento para violín. Debido a que el objetivo aquí es clasificar alturas lineales, los intervalos entre alturas simultáneas producto del uso de dobles cuerdas en los compases 2, 3 y 4 son ignorados. Se puede apreciar en este análisis comparativo que, si bien ambos tipos de intervalos expresan con igual precisión la distancia entre alturas adyacentes, el intervalo ordenado se caracteriza por reflejar el contorno lineal, mientras que el intervalo no ordenado se concentra en la distancia absoluta entre alturas inmediatas.