Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales / Orlando García Jaimes ... [et al.]. --

Medellín : Fondo Editorial Universidad EAFIT, 2010.

360 p. ; 24 cm. -- (Colección académica)

Incluye bibliografía e índice.

ISBN 978-958-720-064-5

1. Ecuaciones diferenciales - Problemas, ejercicios, etc.

2. Curvas - Problemas, ejercicios, etc. 3. Ecuaciones lineales – Problemas, ejercicios, etc. I. García Jaimes, Orlando II. Tít.

III. Serie.

515.35 cd 21 ed.

A1252163

CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango

Ecuaciones diferenciales

Primera edición: mayo de 2010

Tercera reimpresión: febrero de 2014

© Orlando García Jaimes

© Jairo A. Villegas Gutiérrez

© Jorge Iván Castaño Bedoya

© José A. Sánchez Cano

© Fondo Editorial Universidad EAFIT

Carrera 48A No. 10 sur - 107. Tel. 261 95 23

www.eafit.edu.co/fondoeditorial

Correo electrónico: fonedit@eafit.edu.co

ISBN: 978-958-720-064-5

Editado en Medellín, Colombia

Diseño epub:

Hipertexto – Netizen Digital Solutions

Contenido

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1. Conceptos básicos

1.1.1. Ejercicios

1.2. Separación de variables

1.2.1. Ecuaciones que se reducen a separables

1.2.2. Ejercicios

1.3. Ecuación lineal de primer orden

1.3.1. Ecuaciones de Bernoulli y Clairaut

1.3.2. Ejercicios

1.4. Ecuaciones diferenciales exactas

1.4.1. Factores integrantes

1.4.2. Ejercicios

1.5. Aplicaciones

1.5.1. Desintegración radiactiva

1.5.2. Crecimiento de poblaciones

1.5.3. Enfriamiento de cuerpos

1.5.4. Mezclas

1.5.5. Trayectorias ortogonales

1.6. Método de Euler

1.7. Ejercicios resueltos

1.7.1. Ejercicios

1.8. Respuestas a los ejercicios propuestos

1.8.1. Ejercicios Sección 1.1.1, página 20

1.8.2. Ejercicios Sección 1.2.2, página 31

1.8.3. Ejercicios Sección 1.3.2, página 45

1.8.4. Ejercicios Sección 1.4.2, página 60

1.8.5. Ejercicios Sección 1.7.1, página 98

2. Ecuaciones diferenciales de orden superior

2.1. Introducción

2.2. Teoría preliminar

2.2.1. Ejercicios

2.3. Ecuación lineal con coeficientes constantes

2.3.1. Ejercicios

2.4. Ecuación no homogénea con coeficientes constantes

2.4.1. Variación de parámetros

2.4.2. Coeficientes indeterminados

2.4.3. Ejercicios

2.5. Ecuación de Cauchy-Euler

2.5.1. Ejercicios

2.6. Vibraciones mećanicas

2.6.1. Vibraciones libres

2.6.2. Vibraciones libres amortiguadas

2.6.3. Vibraciones forzadas

2.6.4. Ejercicios

2.7. Circuitos eléctricos

2.7.1. Ejercicios

2.8. Respuestas a los ejercicios propuestos

2.8.1. Ejercicios Sección 2.2.1, página 132

2.8.2. Ejercicios Sección 2.3.1, página 143

2.8.3. Ejercicios Sección 2.4.3, página 170

2.8.4. Ejercicios Sección 2.5.1, página 176

2.8.5. Ejercicios Sección 2.6.4, página 207

2.8.6. Ejercicios Sección 2.7.1, página 224

3. Transformada de Laplace

3.1. Introducción

3.2. Definiciones y ejemplos

3.2.1. Ejercicios

3.3. La función Gamma

3.3.1. Ejercicios

3.4. Propiedades de la transformada

3.4.1. Ejercicios

3.5. Problemas con valores iniciales

3.5.1. Ejercicios

3.6. Solución de sistemas lineales usando la Transformada

3.6.1. Ejercicios

3.7. Respuestas a los ejercicios propuestos

3.7.1. Ejercicios Sección 3.2.1, página 248

3.7.2. Ejercicios Sección 3.4.1, página 275

3.7.3. Ejercicios Sección 3.5.1, página 290

3.7.4. Ejercicios Sección 3.6.1, página 299

4. Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias

4.1. Introducción

4.2. Puntos ordinarios de una ecuación diferencial

4.2.1. Ejercicios

4.3. Puntos singulares de una ecuación diferencial

4.3.1. Ejercicios

4.4. Ecuaciones de Bessel y de Legendre

4.4.1. Ecuación de Bessel

4.4.2. Ecuaciones de Legendre

4.4.3. Ejercicios

4.4.4. Ejercicios

4.5. Respuestas a los ejercicios propuestos

4.5.1. Ejercicios Sección 4.2.1, página 326

4.5.2. Ejercicios Sección 4.3.1, página 338

4.5.3. Ejercicios Sección 4.4.3, página 351

4.5.4. Ejercicios Sección 4.4.4, página 354

Bibliografía

Índice de figuras

1.1. Familia de curvas de xy = c

1.2. Teorema de existencia y unicidad

1.3. Gráfica de la función f(x) del Ejemplo 1.3.5

1.4. Gráfica de la solución del Ejemplo 1.3.5

1.5. Función y = ce^kt c > 0, k > 0

1.6. Función y = ce^kt c > 0, k < 0

1.7. Curva logística con M = 4, P₀ = 1 y k = 1/4

1.8. Curvas ortogonales

1.9. Familias de curvas ortogonales

1.10. Familias de curvas ortogonales x² + y² = c

1.11. Método de Euler aplicado al PVI dado

1.12. Curvas de solución del Ejercicio 20 para c = 0 y c = 1

1.13. Curvas de solución del Ejercicio 20 para c = −1, y c = ∓2

1.14. Ejercicio 22, gráficas de xy = c con c = ±1, c = ±2

1.15. Familias ortogonales. Problemas 1.a, 1.b

1.16. Familias ortogonales. Problemas 1.h y 1.c

1.17. Familias ortogonales. Problemas 1.e y 1.f

1.18. Familias ortogonales. Problemas 1.g y 1.d

2.1. Movimiento oscilatorio

2.2. Gráfica del movimiento oscilatorio

2.3. Gráfica del movimiento

2.4. Resortes en paralelo

2.5. Resortes en serie

2.6. Resorte en un medio viscoso

2.7. Curvas de Solución para raíces reales

2.8. Curvas de Solución para raíces repetidas

2.9. Curvas de Solución para raíces complejas

2.10. Curvas de resonancia para distintos valores de β

2.11. Circuito RLC

3.1. Uso de la transformada para un problema de valor inicial

3.2. Gráfica de la función f(t)

3.3. Gráfica de una función periódica

3.4. Gráfica para el cambio de variable

3.5. Gráfica de la función escalón unitario

3.6. Gráfica de f(t) = U_a(t) − U_b(t)

3.7. La función f(t)

3.8. La función f(t − a)

3.9. Gráfica de la función f(t) del Ejemplo 3.4.17

3.10. Gráfica de una función periódica

3.11. Problema 51

3.12. Problema 52

3.13. Problema 56

3.14. Problema 58

3.15. Gráfica del voltaje contra t.

4.1. Funciones de Bessel de segunda especie

4.2. Las tres primeras funciones de Bessel

4.3. Los primeros cinco polinomios de Legendre

Índice de cuadros

1.1. Valores de la solución del PVI calculados por el método de Euler

2.1. Posibles formas de y_p

2.2. Magnitudes eléctricas

2.3. Analogías entre sistemas mećanicos y eléctricos

3.1. Transformada de Laplace

3.2. Transformadas de Laplace de uso frecuente (1)

3.3. Transformadas de Laplace de uso frecuente (2)

Prólogo

Este texto es el resultado de varios años de trabajo de los autores como profesores del curso de ecuaciones diferenciales que se imparte en la Universidad EAFIT. Una de las características del libro que presentamos es la gran cantidad de problemas resueltos y el modo sencillo en que se exponen los temas, de forma tal, consideramos, que el texto se acomoda perfectamente a las necesidades del grupo de estudiantes a los que va dirigido.

Con este texto pretendemos suplir una de las grandes falencias que se presentan en nuestro medio: existen muchos textos sobre el tema, pero sus contenidos no son adecuados a las necesidades de los programas vigentes. Esta razón nos ha motivado a elaborar un texto que se ajuste a la realidad de nuestro currículo y las nuevas estrategias de enseñanza que plantean los recientes cambios que ha sufrido el curso de ecuaciones diferenciales.

Los autores agradecemos de un modo muy sincero a la Universidad EAFIT y a todas aquellas personas que de una o otra forma hicieron posible que este proyecto fuese realidad.

Orlando García Jaimes

Jairo Villegas Gutiérrez

Jorge I. Castaño Bedoya

Albeiro Śanchez Cano

Capítulo 1
Ecuaciones diferenciales de primer orden
1.1 Conceptos básicos

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen una función desconocida y una o más de sus derivadas. Si la función tiene śolo una variable independiente, las derivadas serán ordinarias y la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo,

es una ecuación diferencial ordinaria en la que y = y(x) es una función diferenciable de x. Si la función tiene dos o más variables independientes, las derivadas serán parciales y la ecuación en este caso se llama ecuación en derivadas parciales. Por ejemplo,

es una ecuación en derivadas parciales, donde u = u(x, y, z) es una función derivable en las variables x, y y z. En este libro estudiamos solamente ecuaciones diferenciales ordinarias.

Además del tipo (ordinarias o parciales), las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por orden y por grado. El orden de la ecuación diferencial es el orden de la más alta derivada que aparece en la ecuación. El grado de una ecuación diferencial es la potencia más alta a la que está elevada la derivada de mayor orden (siempre que la ecuación esté escrita en forma polinómica en cuanto a las derivadas y a la variable dependiente). Por ejemplo, la ecuación 1.1.1 es de orden 2 y grado 1, mientras que la ecuación

y″ − x sen y = 0

es de orden 2, pero no se le asigna grado alguno, ya que el término sen y no se puede escribir en forma polinómica.

Otro concepto importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales es el de la linealidad o no linealidad. La ecuación diferencial

F(x, y, y′, . . . , y⁽ⁿ⁾) = 0

se llama lineal si F es una función lineal de las variables y, y′, . . . , y⁽ⁿ⁾. Así, la forma general de una ecuación lineal de orden n puede escribirse como

Observe que las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por lo siguiente:

a) La función y y sus derivadas están elevadas a la potencia 1, es decir, son de primer grado.

b) Cada coeficiente depende de la variable independiente.

Si una ecuación diferencial no cumple lo anterior, se dice que la ecuación es no lineal. Si en la ecuación 1.1.3, h(x) = 0, la ecuación diferencial se llama homogénea; en caso contrario, es no homogénea.

Ejemplo 1.1.1. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales según su tipo, orden, grado (cuando tenga sentido) y linealidad.

1. y′ + 4y = x³ + 5

2. (y′′′)² − 6y = 3

Solución

1. Ordinaria, orden 1, grado 1, lineal

2. Ordinaria, orden 3, grado 2, no lineal

3. Ordinaria, orden 4, lineal

4. Ordinaria, orden 2, grado 3, no lineal

5. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal

6. Ordinaria, orden 3, no lineal

7. Parcial, orden 1, lineal

8. Parcial, orden 2, lineal

Note que en algunos casos el grado no tiene sentido.

En general, una ecuación diferencial de orden n tiene la forma

donde x es la variable independiente, y es la variable dependiente o función desconocida, y y⁽ⁿ⁾ es la derivada n–ésima de y con respecto a x.

Supondremos que siempre es posible despejar la derivada de más alto orden en una ecuación diferencial ordinaria dada, obteniendo

Debido a que una ecuación de la forma 1.1.4 puede representar más de una ecuación de la forma 1.1.5, śolo estudiaremos ecuaciones de esta última forma. Por ejemplo, la ecuación

y(y′)² − 2xy′ + y = 0

representa dos ecuaciones diferentes

Una función y = u(x), definida en un intervalo I, es una solución de la ecuación diferencial 1.1.5, si existen las n derivadas u′, u″, . . . , u⁽ⁿ⁾ en el intervalo I, y satisface

u⁽ⁿ⁾(x) = G (x, u(x), u′(x), . . . , u⁽ⁿ⁻¹⁾(x))

para cada x ∈ I.

Ejemplo 1.1.2. La función y = e^3x es una solución de la ecuación diferencial

y″ − 5y′ + 6y = 0.

En efecto, y′= 3e^3x y y″= 9e^3x; luego,

y″ − 5y′+ 6y = 9e^3x − 15e^3x + 6e^3x = 0

para cada x ∈ ℝ. De otro lado, la función

no es solución de la ecuación diferencial para todo x ∈ ℝ, debido a que la función es discontinua en x = 0 y por lo tanto, la derivada en x = 0 no existe (compruébelo). Se puede ver fácilmente que cada tramo de la función por separado sí es solución.

Podemos comprobar asimismo que y = 4e^3x y y = 10e^3x son también soluciones de la misma ecuación diferencial. Es más, las funciones y = ce^3x, donde c es una constante o parámetro, son todas soluciones. Una solución de este tipo, que contiene una o más constantes arbitrarias, se llama solución general de la ecuación diferencial. Si asignamos valores específicos a las constantes, se obtiene una solución particular. Hay algunos casos en los cuales una ecuación diferencial tiene una solución que no puede obtenerse dando valores específicos a las constantes; a este tipo de soluciones se las denomina solución singular.

Observación 1.1.1. Por lo común, una ecuación diferencial de orden n tiene una solución general en la que figuran n constantes arbitrarias.

Ejemplo 1.1.3. Para la ecuación diferencial y′ = 3y^2/3, y = (x+c)³ es la solución general, como se puede comprobar por derivación directa. Mientras que y = (x − 2)³ es una solución particular. Existe otra solución, y = 0, que no puede obtenerse de la solución general con ninguna selección de la constante c, de modo que no es una solución particular; en consecuencia, la función y = 0 es una solución singular.

La solución general de una ecuación diferencial de primer orden representa una familia de curvas (curvas solución o curvas integrales), una por cada valor asignado a la constante arbitraria. Por ejemplo, la ecuación diferencial

xy′+ y = 0

tiene por solución general la familia de curvas xy = c.

La Figura 1.1 muestra algunas de las curvas integrales correspondientes a distintos valores de c.

Figura 1.1. Familia de curvas de xy = c

Especificar una solución particular es equivalente a mostrar una curva integral particular de la familia obtenida. En la práctica esto se logra prescribiendo un punto (x₀, y₀) a través del cual debe pasar la curva integral, es decir, buscar una solución y = u(x) tal que y₀ = u(x₀). Tal condición se llama condición inicial. También podemos escribir y = y₀ cuando x = x₀. Pero en la práctica es común expresar la condición inicial en la forma y(x₀) = y₀. Una ecuación diferencial de primer orden junto con una condición inicial se llama problema de valor inicial.

Por ejemplo, la ecuación diferencial

xy′+ y = 0

con la condición inicial y(2) = 2 forma un problema de valor inicial. Si queremos obtener la solución particular que satisface la condición inicial dada, sustituimos esta condición en la solución general xy = c y obtenemos c = 4; en consecuencia, la solución particular es y = 4/x.

El resto del capítulo lo dedicaremos al estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden

donde f es una función definida sobre alguna región Ω del plano xy.

Antes de discutir algunas técnicas analíticas para resolver ciertas ecuaciones diferenciales, es a menudo deseable saber si un problema de valor inicial tiene solución, y, si la tiene, determinar si es única. Enunciaremos a continuación un importante teorema que da condiciones suficientes para la existencia de soluciones únicas.

Teorema 1.1.1 (Existencia y unicidad). Dado el problema de valor inicial

si f y son funciones continuas en un rectángulo Ω = {(x, y) : a < x < b, c < y < d} que contiene al punto (x₀, y₀). Entonces, existe una única solución u del problema de valor inicial en algún intervalo x₀ − δ < x < x₀ + δ, donde δ es un número positivo.

En otras palabras, el teorema anterior afirma que si f(x, y) se comporta suficientemente bien cerca del punto (x₀, y₀) (continuidad y diferenciabilidad), la ecuación diferencial

tiene una solución que pasa por el punto (x₀, y₀), y además dicha solución es única.

Gráficamente, el problema dice que hay śolo una curva solución que pasa por el punto (x₀, y₀). Desafortunadamente, el teorema no proporciona información respecto a ćomo encontrar la solución, o ćomo determinar el intervalo abierto en el cual existe.

Figura 1.2. Teorema de existencia y unicidad

Las condiciones enunciadas en el Teorema 1.1.1 son suficientes pero no necesarias. Esto es, si f y son continuas en un rectángulo Ω, siempre existe una solución única al problema de valor inicial

Pero si las condiciones dadas en el Teorema 1.1.1 no se cumplen, el problema de valor inicial puede tener solución única, infinitas soluciones o no tener solución. Los siguientes ejemplos ayudan a esclarecer este comentario.

Ejemplo 1.1.4. Considere el problema de valor inicial

y′= y, y(x₀) = y₀.

Como f(x, y) = y y su derivada parcial f_y(x, y) = 1 son funciones continuas para todo (x, y), el Teorema 1.1.1 implica que si (x₀, y₀) es arbitrario, entonces el problema de valor inicial dado tiene solución única en algún intervalo abierto que contenga a x₀.

Ejemplo 1.1.5. Considere el problema de valor inicial

En este caso, f(x, y) = y/ y su derivada parcial f_y(x, y) = 1/ son ambas funciones continuas, excepto para x = 0 (el eje y). Como x₀ = 2 y y₀ = 3, podemos tomar como rectángulo Ω el cuadrado de lado 1 con centro el punto (2, 3), el cual no contiene al eje y. En consecuencia, el Teorema 1.1.1 garantiza la existencia de una solución única definida en un intervalo abierto suficientemente pequeño alrededor de x₀ = 2. Si consideramos la misma ecuación diferencial, pero con la condición inicial y(0) = 3, entonces en este caso ni f ni f_y son continuas en (0, 3); luego, este punto no puede pertenecer a un rectángulo Ω donde se satisfagan las hipótesis del Teorema 1.1.1. Sin embargo, no podemos afirmar que este último problema de valor inicial no tenga solución; lo que simplemente ocurre es que el Teorema 1.1.1 no da información alguna.

Ejemplo 1.1.6. Considere ahora el problema de valor inicial

La función f(x, y) = 2 es continua en toda su extensión, pero la derivada parcial

es discontinua para y = 0, y por lo tanto en el punto (0, 0). Se puede comprobar que este problema de valor inicial tiene dos soluciones diferentes: y(x) = 0 y y(x) = x². Por lo tanto, el hecho de que f_y no sea continua en 0 no implica necesariamente la no existencia de una solución. Lo que afirma el Teorema 1.1.1 es que cuando se satisface la prueba de la derivada parcial, existe una única solución que pasa por el punto (x₀, y₀).