Когда любовь стремится к бесконечности. Роман

Глава 8

Афродита твердо решила раздобыть список женщин, которым так легко и непринужденно отказал новоявленный миллионер. И если он явно строил из себя бога, то она собиралась дать ему понять, что богиня любви, не меньше. В конце концов, именно о ней создали знаменитую легенду. Тот факт, что ее мужа это не впечатляло, ее не останавливал. Она полагала, что мужчины разные, просто Роберто никто не удосужился показать, как она прелестна.

Афродита была способна кружить головы много лет подряд. Взять, к примеру, Адониса. Такой красивый парень и успешный финансист, а до сих пор в нее влюблен. И был бы счастлив все вернуть. Иногда Афродита действительно жалела, что в свое время не приняла его предложение. Просто она ошибочно считала его тогда бесперспективным. Она всегда ошибалась в мужчинах: сначала вышла неудачно замуж, потом завела неверного любовника. Но сейчас она собиралась одним махом исправить все прежние ошибки. И все это сделать как можно быстрее, если это вообще было возможно.

Имея цель в жизни, можно всеми силами стремиться к ней. И в 90% случаев наломать дров, ибо в жизни не так легко исполнить свои желания и мечты. Даже если вы не верите в судьбу, все, в конечном итоге, зависит от нее. Говорят еще, что если Ваше желание не исполняется, то бог лучше знает, что для Вас лучше. Иными словами, Бог бережет Вас, даже если Вы не принимаете его помощи.

Афродита пошла в гости к Адонису. Сначала она, конечно, ему позвонила и договорилась о встрече. И он с радостью согласился с ней встретиться. И вот она уже у него дома, а он ее целует в губы, запрокинув ей голову. Все как в романтическом фильме. Только ей не хочется становиться любовницей еще и этого парня. Роберто Барберри все еще стоит у нее перед глазами. И что ей с этим делать? Сказать ли Адонису, что она хочет переспать с миллионером, с которым он ее безуспешно пытался познакомить? Почему нет? Адонис сам посоветовал ей быть с ним откровеннее и хитрее. Но одно дело советовать, а совсем другое – говорить то, что думаешь на самом деле. Адонис хочет ее, а Роберто – нет. Но ведь она хочет этого миллионера! Ее нисколько не заботят его чувства, которых у него, скорее всего, и нет. Вдруг этот сноб тоже имеет планы на жизнь, в число которых ее присутствие вовсе не входит? Он несколько раз дал ей это понять: игнорировал и даже не пытался завести непринужденный разговор. Более того, даже взглядом ее не удостаивал. Но ведь ни одну женщину в зале он тоже не пригласил танцевать! Даже просто ни с одной не разговаривал. А ведь там были и блондинки с голубыми глазами, как Астарта и Гера. Но, возможно, он не заводит с ними отношений потому, что они ее подруги? Какая чушь! Говорят же, что если женщина нравится мужчине, он все ради нее сделает. И даже станет с ней встречаться, если на него положила глаз ее подруга?

Вопросов было множество, а ответов она не получила пока ни на один. Адонис ей в этом поможет. Прямо сейчас…

– Я не могу его заменить: не так богат и роскошной внешности у меня нет. И даже нет такого огромного самомнения и чувства собственного достоинства, – Адонис грустно вздохнул и посмотрел ей в глаза.

– Ты его любишь, да?

– Ты облегчаешь мне задачу, Адонис. Я хотела рассказать тебе, как сильно меня влечет к этому человеку. Теперь вижу, что ты все понимаешь сам.

– Я вообще неглупый. И даже не намерен говорить тебе банальностей вроде того, что ты не будешь с ним счастлива. Я этого не знаю. Вообще не уверен, что ты когда-нибудь получишь этого парня. Но ты упрямая и настойчивая – этого у тебя не отнять. Зачем ты пришла ко мне? Чего ты от меня хочешь?

– Гера сказала, что у тебя есть список женщин, которым отказал Роберто. А мне он даже не сказал, как его зовут. Гера сделала это за него.

– Списка нет – она просто пошутила. Но знаю, что его приглашали все твои подруги, знакомые и друзья. Кто там еще делал это у него на родине или в Греции в целом – я не знаю.

Афродита грустно кивнула.

– Спасибо, Адонис. Я пойду.

И она ушла домой. У подъезда дома, в котором жил Адонис, она заметила черную машину с тонированными стеклами.

«Как в детективе. Кто-то следит за кем-то».

Ей и в голову не могло прийти, что следят именно за ней. Шпионские страсти были не в ее характере, а криминалом она не занималась.

Когда ей было плохо или просто грустно немного, она шла в любимый ювелирный магазин. Необязательно что-то покупала, ей нравилось просто смотреть на витрины. Но сейчас магазин уже закрылся, и она отправилась домой пешком. Машина последовала за ней, оставаясь незамеченной. Человек, следивший за Афродитой, всегда нанимал только профессионалов.

Глава 9

Афродита стала замечать, что друзья и знакомые стали не просто общаться с ней, а вдруг становятся подчеркнуто вежливыми и тактичными, деликатными, чего раньше не было. Казалось, весь мир неожиданно решил, что Афродита прекрасна и сексуальна. Ее это почему-то здорово напрягало, хотя вроде бы должно было нравиться и тешить самолюбие. Но она поняла только теперь, что интуицию надо слушать, а та ей подсказывала, что что-то не так, что-то изменилось и всем этим управляет чужой, властный и серьезный человек. И она решила, что у нее появился враг, который надеется пробраться в ее душу исподволь, через близких для нее людей, а с ее точки зрения это было подло.

На очередной вечеринке в честь успешной защиты докторской диссертации Афродиты на тему ее любимого предела Роберто Барберри снова был здесь. Было непонятно, кто его приглашал. Адонису это было невыгодно, а ни с кем больше он особо не разговаривал. Афродита приобрела в Париже яркое красное платье с серым поясом и воланами с левой стороны юбки. И туфли на ней были умопомрачительно дорогие, красные с серым бантом и на 11-см гвоздиках. И Роберто Барберри, следуя традиции, с ней даже не заговорил.

Она ни единожды подходила к нему, и он сразу же исчезал в неизвестном направлении, а уже через секунду она обнаруживала его или за стойкой бара со стаканом виски, или болтающим с Адонисом или кем-то еще. Она все ждала, что он сопьется, плохо кончит, если он так отвратительно невежлив и даже груб с ней, но нет, у него была блестящая жизнь и он находил время на присутствие на вечеринках, хотя только одному богу было известно, что он на них забыл. Что или кого. Сомнений не возникало, что он надеялся встретить здесь кого-то. Кого же?

С каждым разом костюмы на Роберто Барберри становились все более элегантными, стильными, дорогими и изысканными, он вызывал все большее восхищение и зависть со стороны гостей Афродиты, и многие втайне мечтали о ее поражении в стремлении завоевать каменное сердце известного миллионера. Афродита боялась, что она не просто никогда не добьется его простой благосклонности, но и проиграет в бессловесном поединке нарядов.

Сейчас миллионер был одет в красный в серую елочку костюм и красный с серым галстук. Никогда прежде Афродита не видела, чтобы кому-то еще так шел красный костюм и красный галстук. Она вообще считала, что красные галстуки носят только дураки и политики, или совместители того и другого. И вряд ли встречала мужчину, надевавшего красный костюм, да еще и гордившегося своим внешним видом, впрочем, небезосновательно.

В зале ресторана стулья и столы опять были в тон ее платья. Афродита поинтересовалась, в честь чего это было сделано, и ей ответили, что это спецзаказ одного человека. Она опять подумала про своего тайного недоброжелателя.

Не имея возможности заговорить с интересным ей человеком, Афродита подошла к Адонису, который скучал в одиночестве.

– Привет, мой дорогой друг, – она произнесла это вкрадчиво, надеясь привлечь внимание человека, нанятого недругом, который, по ее соображениям, и сейчас находился в зале и следил за ней.

– Мы же уже здоровались, – удивился Адонис вполне справедливо.

– Когда мужчине не о чем говорить с женщиной, но ему очень хочется это сделать, он с ней здоровается несколько раз или спрашивает безостановочно, как дела и как жизнь. Почему бы женщине не вести себя также в такой же ситуации? – Афродита улыбнулась приветливой улыбкой.

– Ты сексуальна, невероятно красива и интригующе совершенна сейчас…

– И… Что это может означать, по-твоему?

– Только одно: ты надеешься меня соблазнить, чтобы привлечь внимание Роберто.

– Т-с-с-с! – она подошла к нему совсем близко и приложила палец к губам, слегка касаясь его ноги своим бедром.

– Известный миллионер не желает оказаться в смешном положении и не обращает внимания на женщин. Он не верит в привязанности.

– Поможем ему изменить мнение? – улыбнулся Адонис.

– Обязательно! Мы еще сегодня не целовались, а я считаю, что день потерян зря, если тебя не поцеловала.

Адонис немедленно привлек ее к себе, а Афродита взглянула на миллионера. И внутри у нее все похолодело: он внимательно смотрел на нее. Афродита продолжила рисковать, обнимая Адониса и отвечая на его поцелуй. Но когда она взглянула на богача снова, то поняла, что ошиблась: он смотрел не на нее, а сквозь нее на антикварный столик серебряного века.

«Знаток искусства!» – разозлилась Афродита, отталкивая своего поклонника.

Адонис отпустил свою богиню и спросил как можно деликатнее:

– Ничего не вышло?

Но Афродиту тактичность первого мужчины не впечатлила.

– Разумеется, нет. Только такая дура, как я, могла на что-либо подобное рассчитывать! Пытаться заставить ревновать человека, которого ты нисколько не волнуешь – полный бред! Вот если бы мы оказались с тобой в постели (сейчас предлагать это не нужно!), миллионер бы обязательно переживал. А поцелуи и флирт с другими парнями не производят впечатления на сильных мужчин! Никто бы не стал ревновать по такому пустяковому поводу!

– Я бы стал, – с грустью почти шепнул Адонис.

Афродита пропустила его слова мимо ушей. Она бросилась на поиски миллионера, чтобы унизиться еще раз, как любая другая женщина.

Нашла она его у стойки бара.

– Что у Вас за манера все время пить на вечеринках? – спросила она скорее агрессивно, чем вежливо.

– Мне скучно, – стабильно ответил миллионер, даже не повернув головы.

– Вы никогда на меня не смотрите. Специально, что ли?

– Зачем мне на Вас смотреть? У меня отличное боковое зрение: Вы в вызывающем платье, идиотских туфлях, лицо у Вас красное от смущения, поскольку Вы не любите человека, с которым целовались пару минут назад…

– Зачем же, по-Вашему, я это делала? – спросила изумленная Афродита.

– Вы женщина и Вам кажется, что все другие женщины рождены, чтобы Вам завидовать и Вами восхищаться.

– Вы мной не восхищаетесь?

– У меня другой вкус.

– И какой же? Блондинки с голубыми глазами, естественно?

– Меня привлекают добрые, вежливые и скромные женщины.

– А я не такая, вероятно.

– Это не Ваша вина. Вам не нужно становиться не той, что Вы есть.

– А что бы Вы сказали на мое намерение Вас соблазнить?

– Ничего. Вам никогда не удастся это сделать.

– Разве среди моих подруг и знакомых нет ни одной подходящей для Вас девушки?

– Не понимаю Вас.

– Вы отказали всем моим подругам и знакомым. Среди них есть добрые, вежливые и скромные девушки.

– Чепуха! Ни одна из них не предлагала мне того же, что и Вы.

– Они солгали?!

– Спросите у них. Я не отвечаю за поступки посторонних людей.

Афродиту покоробило то, что он назвал женщин, которые пытались привлечь его внимание всеми силами, посторонними людьми. В общем и целом люди не имели для него никакого значения. И она сама не имела для него значения такого, на которое со временем рассчитывала. Получалось, что все богатые люди не имеют сердца и души. Банально, но это суровая действительность.

Афродита не знала, что еще сказать. С этим человеком нельзя было придумать что-то такое, чтобы продолжить дальнейший диалог и заинтересовать его хоть чем-то, если уж она сама его не интересует. Она снова подошла к подругам и заговорила с ними.

– Гера, я только что говорила с нашим миллионером, и он на полном серьезе сказал мне, что ни ты, ни кто-либо из Вас или наших общих знакомых не предлагал ему встречаться. Этот человек или лжет или что-то скрывает.

– Не знаю, что тебе сказать. Я приглашала его на свидание, Астарта, Афина и Анемона делали то же самое.

– И часто он Вас обманывал?

– Никогда.

– В таком случае, он обманул меня.

– Может быть, ты неправильно поняла его?

– Не думаю. Он чего-то не договаривает, пользуясь моей в нем заинтересованностью, и это ему с рук не сойдет, обещаю!

– Милая, мужчины всегда чего-то не договаривают. Разве Дамокльз говорил тебе, что козел, когда сделал тебе предложение?

– Нет.

– Вот видишь!

Афродита вновь почувствовала, что за ней наблюдают. Ей было неприятно находиться здесь, но она мужественно дотянула до конца вечеринки и ушла домой.

Глава 10

Дамокльз очень удивил Афродиту на следующее утро. Он вдруг подошел к ней близко и поцеловал в плечо.

– И что это значит?

– А что? Я не могу поцеловать собственную жену?

– Разве для этих целей у тебя нет любовницы?

– Есть, – ответил муж, но вид у него был ошарашенный.

– Так почему бы тебе не пристать к ней, пользуясь моей добротой?

– Ты… какая-то нестандартная жена. Разве ты не хочешь, чтобы мы попытались спасти наш брак?

– Я не люблю тебя, Дамокльз. Меня раздражает в тебе все: твое имя и фамилия, твоя идиотская самоуверенность и твои противные привычки.

– Какие?

– Ты куришь и пьешь крепкие напитки в постели. И ты не уважаешь женщин в целом и меня в особенности.

– Но миллионер Роберто Барберри пьет только виски и тебя это устраивает вполне, – ядовито заметил Дамокльз.

– Уже насплетничали – отлично! Я не собираюсь замуж за этого человека. Единственное, что меня в нем привлекает – секс.

– И ты говоришь об этом мне, да еще так просто и спокойно? Я… Ты не боишься, что я убью тебя?

– Я не боюсь мужчин вообще. И только нашего миллионера опасаюсь.

– Почему же?

– Он странный тип. И у него нет слабых мест, которые можно использовать и рычагов, на которые можно надавить.

– Я не дам тебе развод.

– С чего ты взял, что я хочу разводиться?

– Ты сказала минуту назад, что больше не любишь меня и готова к новым отношениям.

– Я никогда тебя не любила, впрочем, как и ты…

– Я любил…

– Нет! Мы поженились потому, что ты посчитал меня выгодной партией. Я презираю браки по расчету. И никогда больше не выйду замуж за деньги и не дам мужчине найти только деньги во мне. Секс – это не отношения. Это просто секс и ничего больше.

– Так мы не разводимся?

– Нет. То есть, разводимся, конечно, но чуть позже. Когда я найду того, кто полюбит меня по-настоящему.

– Да ты…

– В твоем понимании я собираюсь поступить с тобой как стерва и лишь потому, что не дура, и не намерена упускать шанс еще побыть некоторое время счастливой. С тобой я ни дня не была счастлива, Дамокльз. Ты думаешь только о себе: приходим в магазин и покупаем только то, что ты любишь, мои желания не учитываются. Я не умею так жить.

– Ты опять о браслете и машине?

– Да не только об этом! Даже когда мы покупаем еду, выбираешь ты. Аргумент меня просто настораживает: «Я это не ем. Давай покупать только то, что все едят. Но под словом «все» ты подразумеваешь одного себя. Ты махровый эгоист, дорогой, поскольку эгоисты – не те, кто хочет жить, как ему нравится – ты хочешь, чтобы весь мир поступал так и делал то, что решил ты.

– Да ну тебя!

– Действительно, Дамокльз! Да ну меня совсем!

– Ты не зацепишь этого миллионера.

– Может, ты и прав. Но я все равно попытаю счастья.

– Дело в богатстве, да? Он сможет купить тебе целую дюжину браслетов «Пандора?»

– Он нравится мне. Но ты вряд ли поймешь это, ведь чувство привязанности к кому-то, кроме себя, тебе неведомо.

Не дожидаясь ответного оскорбления, она ушла на работу.

В университете Афродита всегда находила способы расслабляться и некоторое время быть счастливой. Чуточку довольной жизнью. У нее и здесь было много поклонников, но с некоторых пор все они поумерили свой пыл, будто поняли, что место отныне занято. Но кем? Афродита все время чувствовала, что за ней наблюдают, и от этого ощущения становилось жутко.

– Тема нашей сегодняшней лекции: «Пределы функций». На практическом занятии мы разберем примеры решений задач, а пока начнем…

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойней другой.

Итак, что же такое предел?

Пример:

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела.

2) Записи под значком предела, в данном случае. Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().

3) Функции под знаком предела, в данном случае.

Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?

Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала, затем,, …,, ….

То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Решаем вышерассмотренный пример. Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью – мой любимый, кстати:

Студенты захихикали, рассматривая на ее тонкой руке изящный браслет со знаком бесконечности.

– Это мой талисман, – она смутилась, поправляя любимое украшение.

– Разбираемся, что такое? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала, потом, потом, затем и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией?

,,,…

Итак: если, то функция стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.

– И незнакомца в подарок, который преподнес Вам браслет! – пошутил один из симпатичных и высоких парней, некто Ментор.

– Вы что-то об этом знаете? – встрепенулась Афродита.

– Не выдавайте себя так глупо, мадам, – улыбнулся Ментор.

– Мы знаем только то, что Вы нам преподаете. А еще я готов признать тот факт, что Вы прекрасны.

Афродита нахмурилась, приготовившись продолжать объяснение пределов.

– Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод: при функция неограниченно возрастает:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

,,,,,,,,,

Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.

В том случае, если, попробуйте построить последовательность,,. Если, то,,.

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом:, то все равно, так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как,, и т. д.

Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!

На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример:

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида. Можно было бы подумать, что, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на

Вот оно как, ответ, а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак, он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:

Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Пример 2

Найти предел

Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3

Максимальная степень в знаменателе: 4

Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.

Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на.

Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 3

Найти предел

Максимальная степень «икса» в числителе: 2

Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 (можно записать как)

Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на. Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с четвёртым уроком о бесконечно малых функциях. А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее.

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Пример 4

Решить предел

Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

В данном случае получена так называемая неопределенность.

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Математические формулы и таблицы. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него:.

В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

!Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни:

Таким образом:

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на:

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим числитель на множители.

Пример 5

Вычислить предел

Сначала «чистовой» вариант решения

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:

Знаменатель:

,

Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.

Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынесла за значок предела двойку, а затем – минус.

В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).

,то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Продолжаем рассматривать неопределенность вида

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Пример 6

Найти предел

Начинаем решать.

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела

Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

Получена неопределенность вида, которую нужно устранять.

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов:

И смотрим на наш предел:

Что можно сказать? у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать (которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на:

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу:

Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.

Готово.

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?

Примерно так:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Пример 7

Найти предел

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Разложим числитель на множители:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Помимо рассмотренных типов пределов, на практике часто встречаются так называемые Замечательные пределы. О них Вы можете почитать самостоятельно.

Так обычно проходили повседневные занятия Афродиты в университете. К постоянным знакам внимания она привыкла, но сейчас ей казалось, что кто-то из ее студентов пытается намекнуть ей на то, что у нее появился поклонник, который является ее врагом.