Capítulo 2 Didáctica de la matemática como epistemología del aprendizaje matemático
La diferencia entre nosotros y los estudiantes que se hallan a nuestro cargo es sólo eso, que nosotros hemos recorrido un trecho más largo de la parábola de la vida. Si los estudiantes no entienden, la culpa es del maestro que no sabe explicar. Tampoco vale culpar a las escuelas inferiores. Debemos tomar a los estudiantes como son, y hacer que recuerden lo que han olvidado, o estudiado bajo otra nomenclatura. Si el maestro atormenta a sus estudiantes, en cambio de ganarse su amor, provoca odio contra él mismo y contra la ciencia que enseña, no sólo su enseñanza será negativa, sino que además el tener que convivir con tantos pequeños enemigos será para él un continuo tormento.
Giuseppe Peano [1858-1932], Giochi di aritmetica e problemi interessanti, Paravia, Turín, 1924, Conclusión.
2.1. Límites de la presente reseña
Conocemos verdaderamente
sólo aquello que sabemos explicar.
Johann Heinrich Pestalozzi [1746-1827].
Parece que toda la investigación en didáctica (de tipo) B concentra su atención en el fenómeno del aprendizaje, pero desde el punto de vista de los fundamentos y por lo tanto sin aceptar un único modelo de teoría del aprendizaje (aunque en este momento parece ser que la psicología cognitiva es la candidata más autorizada para asumir el papel de organizadora fundacional para muchas experiencias de investigación).
Entrando ahora a enfrentar la tipología que he llamado B, es decir la didáctica disciplinaria como epistemología del aprendizaje, no podré más que continuar a ejemplificar en el campo que me compete, es decir en el de la matemática. Pero, coloquios con colegas, didactas de otras disciplinas, y lecturas ocasionales, me confirman el hecho que las problemáticas generales parecen ser por muchos aspectos las mismas, aunque con diferentes especificidades. Por lo que, aunque no se quiera (o no se pueda) salir del estricto ámbito dicho, estoy convencido que no serían tan diferentes los posibles informes críticos análogos pertenecientes a otros sectores de investigación didáctica31.
Presento inmediatamente lo que haré en este capítulo y en lo que sigue de este libro. Analizaré algunas de las problemáticas que parecen emerger con más fuerza en los últimos años, problemáticas que se han consolidado como elementos de investigación B, y que me parecen proporcionar sostenes sólidos y significativos para una posible generalización, es decir en manera tal de proporcionar también aportaciones a la definición de una didáctica general. Me limitaré por lo tanto a mencionar algunos aspectos relativos a la didáctica de la matemática, pero con comentarios pensados hacia una generalización. Dada la naturaleza expositiva de la obra, me abstendré de presentaciones excesivamente técnicas y sólo me limitaré a presentar los diferentes problemas, reseñando, en los próximos párrafos, algunas temáticas de particular interés muy difundidas en el ambiente. Por honestidad, debo reconocer que lo que sigue no es más que un panorama limitado, reducido a poco menos de lo esencial, del todo insuficiente, que sólo tiene por objetivo dar a los no pertenecientes a la comunidad de los investigadores en didáctica de la matemática una idea de las problemáticas, por lo tanto para nada exhaustivo.
Muy a pesar mío, no trataré algunos problemas que hoy son muy debatidos pero que me harían entrar demasiado en particulares; en ocasiones buscaré remediar esta situación recurriendo a oportunas citas bibliográficas.
Por ejemplo, sólo haré una mención del problema de la visualización, para el que me limito a remitir a algunos trabajos específicos32; sólo una mención acerca de los conceptos figurales33; sólo alguna observación sobre la demostración en la actividad matemática escolar34; y mencionaré algunas otras, como ya lo anticipé en el Prefacio. Evitaré tratar problemáticas ligadas a las modalidades de investigación didáctica; pero, dado que observar el comportamiento de estudiantes y maestros parece ser la técnica triunfadora, quiero al menos remitir a algunos estudios recientes sobre este tema y sobre esta técnica: Thompson (1984), Arsac y Mante (1989), Comiti y Grenier (1994), Blanchard-Laville (1997), Schubauer-Leoni (1997b) y Schubauer-Leoni y Leutenegger (1997).
Evitaré además los estudios didácticos específicos: la didáctica de la geometría, la didáctica de las transformaciones geométricas, la didáctica del álgebra35, ..., que también tienen muchos seguidores y mucha relevancia en ámbito internacional. Así como estudios aún más detallados y específicos, por ejemplo: la didáctica de los vectores, la didáctica de las homotecias, la didáctica de las operaciones aritméticas..., que constituyen la estructura básica de las investigaciones empíricas. Así mismo evitaré estudios de carácter transversal tales como: la didáctica de las demostraciones en general, la didáctica de la resolución de problemas, la didáctica de las definiciones..., que tienen estudiosos en todo el mundo.
2.2. Aún más sobre la terminología. ¿Por qué buscar una teoría?
Una buena práctica es el fruto de una verdadera teoría.
José Ignacio Bartolache, Lecciones matemáticas, 1769.
Si quieres proceder, hazte una teoría.
A. Karmiloff-Smith y B. Inhelder, en la revista Cognition, 3, 1975, 195-212.
No hay nada más práctico que una buena teoría.
Dicho popular.
Antes de proceder en modo específico en el terreno de las ejemplificaciones, es necesario analizar algunos aspectos generales. Comenzaré de los terminológicos.
Asumiré que el término “educación” es más general y comprensivo que “didáctica”; pero no dejaré de mencionar que sobre esta cuestión, es decir la cuestión de la doble terminología en uso entre quien se ocupa de investigación en didáctica, el debate es vivaz: ¿Se debe decir “educación matemática” o “didáctica de la matemática”?
Como ya dije, en el mundo anglosajón se prefiere actualmente la primera dicción, pero refiriéndose precisamente al área del conocimiento que se refiere a los procesos de enseñanza-aprendizaje de la matemática, es decir a lo que en Francia, Alemania, Italia, España, etcétera, normal y difusamente se llama “didáctica de la matemática”. Lo que me autoriza, por ahora, siguiendo también a Steiner (1985) y a Godino (1991), a identificar las dos denominaciones; aunque regresaré a este punto en la sección 2.6.
Tomando prestado una vez más de Steiner (1990) se podría pensar que la teoría de la educación matemática es parte de la didáctica de la matemática y que ésta, a su vez, forma parte del sistema que se llama sistema de enseñanza de la matemática. Este último campo comprende una vasta serie de problemáticas que van desde la formación inicial de los maestros a la formación en servicio, del desarrollo del currículum a las actividades en la clase de matemática, del material didáctico al libro de texto, hasta los variados y muy diversos problemas acerca de la evaluación, etcétera. Más allá de que todo esto es de extraordinario interés, yo aquí no entraré en cuestiones de este tipo, sino sólo, como veremos en los capítulos siguientes, por medio de reflexiones que se inspiran a partir de investigaciones.
Siempre de acuerdo a Steiner, existen algunas disciplinas “de referencia”, es decir, aquellas con las que se tienen contactos privilegiados: obviamente la matemática, obviamente la epistemología y la historia de la matemática, pero también la psicología, la sociología, la pedagogía (o, mejor, las ciencias de la educación), las ciencias naturales, la informática y la lingüística entre otras.
Se podría considerar todo eso, como lo he ya señalado, como un “sistema”; pero entonces no se puede callar que existen otros sistemas análogos, con los cuales el nuestro entra en contacto: en general los “nuevos aprendizajes” debidos a la evolución de la sociedad (por ejemplo el ingreso masivo de las computadoras en nuestra vida cotidiana y en la escuela, con todos los conflictos que conlleva) (Noss, 1998), la educación en las ciencias experimentales y así sucesivamente.
La que llamamos inicialmente “teoría de la educación matemática” es vista por otros Autores, a través de modelos, de manera diferente (a veces muy diferente, a veces sólo un poco diferente).
Por ejemplo Higginson (1980), uno de los pioneros en este sector, propone como modelo un tetraedro cuyas cuatro caras representarían la filosofía, la sociología, la matemática y la psicología, mientras que la teoría de la educación matemática sería, con significado obvio, el espacio interno del tetraedro. La explicación de esta particular visión resume en modo esquemático las que para Higginson son las cuatro preguntas fundamentales: qué enseñar (matemáticas), por qué (filosofía), a quién y dónde (psicología), cuándo y cómo (sociología).
Sirviéndose de esta imagen, se pueden, al menos idealmente, clarificar aspectos que se refieren a la comprensión de posiciones que muchos tienen sobre la enseñanza - aprendizaje de la matemática, la comprensión de las causas que empujan a conservar o a modificar los currículos, las concepciones sobre la investigación en didáctica y sobre la preparación de los maestros. El interés por la teorización en didáctica de la matemática tiene un motivo válido de existencia. Sólo cuando se tiene una teoría a disposición se puede recurrir a un marco de referencia como guía para la fundación de los problemas de investigación y para interpretar los resultados de la investigación misma [estoy tomando prestado de Wenzelburger (1990)]. Sin ello, toda investigación en el campo parece tener como fin a sí misma; sólo organizando el conocimiento en modo general, es decir sólo creando una teoría, se tiene la certeza de contribuir al progreso unitario en un sector específico. Escribe Godino (1991): “La teorización es un requisito a fin de que un área de conocimiento consiga la categoría de científica y pueda desarrollar su papel explicativo y predictivo de los fenómenos”.
Recuerdo la metáfora de la telaraña, debida a Mosterín (1987): “Somos como las arañas, y las teorías son como redes o telarañas, con las que buscamos captar y capturar al mundo. Hay que poner atención a no confundir estas redes o telarañas con el mundo real, pero, sin ellas, ¡estaríamos muy lejos de poderlo captar y, por último, de poderlo gozar!”.
Recuerdo aún que en el curso del V ICME (Adelaide, Australia, 1984) se decidió dar vida a un Grupo de Trabajo sobre el tema: teoría de la educación matemática (TME) que no ha dejado de trabajar y que se halla aún hoy notablemente activo.
Líneas arriba hablé de “modelo” para introducir el tetraedro de Higginson. Pero esta palabra reviste para nosotros una importancia fundamental, tanto que le dedicaré muchas páginas en los capítulos 4 y 5, sobre todo a causa de la extrema variedad de significados que puede asumir.
Cuando se habla de “modelo didáctico”, los pedagogos, los didactas generales y quién se ocupa de ciencias de la educación, le dan varias y múltiples interpretaciones; entre ellas, por ejemplo:
• un modelo pedagógico en sentido vasto;
• una modelización de los procesos de aprendizaje;
• una modelización del desarrollo y de la práctica didáctica;
• la estructura conceptual del saber enseñado;
• etcétera.
La situación es tan vasta que en varias ocasiones se han intentado algunas clasificaciones. Por ejemplo, la clásica distinción pedagógica entre modelo autocrático y modelo democrático; los estudios sobre el comportamiento en el aula por parte de los estudiantes, que varía de acuerdo al comportamiento del maestro. Probablemente este fue el origen (todo de matriz anglosajona) que dio vía libre a los estudios sobre las diferentes modalidades de clase, sobre la pedagogía de los proyectos, sobre la individualización (Baldacci, 1993), sobre la didáctica del trabajo en grupo, etcétera (estudios muy cultivados en Francia, Alemania e Italia).
Se puede intentar una definición, llamando modelo pedagógico en sentido amplio a un complejo teórico (eventualmente implícito) que pone en movimiento representaciones del estudiante en situaciones de aprendizaje, de los saberes y de los instrumentos que conviene o se deben utilizar, del funcionamiento del grupo y de las metodologías didácticas y relacionales, de la función y del papel del maestro.
En este sentido, entonces, toda pedagogía remite a un modelo pedagógico y eso puede ser incluso implícito o inconsciente por parte de quien hace uso de instrumentos pedagógicos (por ejemplo, es clásica la actitud de un maestro convencido de no tener necesidad de instrumentos pedagógicos: de hecho, él de cualquier manera pone en existencia un modelo pedagógico, definido a partir de su misma actitud didáctica).
Sólo recientemente estos estudios han evolucionado, llamando en causa directamente a la didáctica, por ejemplo cuando el modelo didáctico se expresó en términos de modelización de los procesos de aprendizaje. En este sentido, Meirieu (1987, p. 110 y sig.) intentó una descripción tipológica de las operaciones mentales que distinguió en 4 tipos: la deducción, la inducción, la dialéctica y la divergencia; para cada tipo analizó, ejemplificó y definió particulares situaciones de aprendizaje, retomando en parte los estudios de Beaudot (1973).
De acuerdo con muchos Autores se halla aquí la raíz de la idea de los perfiles pedagógicos o perfiles cognitivos que se volvieron famosos gracias a la obra, ahora clásica, de Antoine De La Garanderie (1980) (que encontraremos nuevamente más adelante). El punto de partida de su reflexión se basa en las diferencias de “evocación” de la memoria de una idea, de una imagen mental; ciertas personas parecen ser “por su misma naturaleza” más visuales, otras más auditivas; es lo que él llama una lengua pedagógica materna. Como ya dije, regresaremos a este punto más adelante.
He aquí entonces que, al interior del debate sobre los modelos didácticos, entra con fuerza el individuo con sus características pedagógicas naturales (Meirieu, 1987). De aquí surge la idea de estrategias personales de aprendizaje y el concepto metodológico de estrategias personalizadas de enseñanza que tanta fortuna tuvieron al inicio de los años 90, en todo el mundo.
Otras ideas de modelo didáctico se refieren más de cerca al maestro y a su actividad docente, a la elección metodológica, a los itinerarios didácticos, a las modalidades de acceso al saber.
Por ejemplo, Gardner (1993) analiza las modalidades de acercamiento a los conceptos por parte del maestro, distinguiéndolas en 5 tipologías (que refiere a 5 modalidades diferentes de la inteligencia): acercamiento narrativo, acercamiento lógico-cuantitativo, acercamiento filosófico-conceptual, acercamiento estético y acercamiento experiencial (pp. 256-257 de la edic. it.).
Otras ideas de modelo didáctico tienen que ver con la estructura conceptual del saber enseñado: por ejemplo se halla aquí la raíz de la problemática que ha llevado a evidenciar la importancia que tiene, para el aprendizaje, el conjunto de las capacidades que el estudiante ya posee sobre un cierto argumento. Nunca se enseña en el vacío, en la nada; cuando se enseña algo, sobre ese “algo” existen ya cogniciones, ideas, competencias, más o menos correctas, más o menos bien fundadas: no se puede no partir de este conocimiento preliminar para llegar a la conceptualización. Este tipo de reflexiones, como veremos en el caso de la didáctica de la matemática, ha llevado a tener cada vez más en consideración el estudio de la historia de la matemática, en cuanto fuente de ejemplificaciones sobre las ideas a-científicas que nos podemos hacer espontáneamente de ciertos conceptos, antes de una formación científica propia y verdadera. Y esto ha puesto en evidencia también la relación existente entre la “imagen” de un concepto, pensada como algo todavía no estable, algo aún fácilmente modificable con un acto de voluntad, por ejemplo cognitivo, una forma no definitiva, y un “modelo” estable, considerado inamovible. Sobre este punto muy delicado basaré, en el capítulo 5, mi definición que se reveló cómoda en mis experiencias de investigación y de trabajo con los maestros para comprender el recorrido didáctico de la formación de los conceptos. Regresamos ahora al tema que se estaba tratando.
2.3. Hacia una teoría de la didáctica de la matemática
Un descubrimiento verdaderamente nuevo, de importancia histórica, siempre es sobrevalorado al inicio, al menos por parte del genio al que se debe. Como enseña la historia de la ciencia, el ámbito en el que vale un principio explicativo apenas descubierto es casi siempre sobrevalorado por parte de su descubridor. Esta actitud forma parte, precisamente, de las prerrogativas del genio. (...) Incluso en el círculo estrecho de una escuela científica, el proceso de formación de una nueva opinión común tiene inicio siempre con una negación excesiva de aquello a lo que poco antes se creía. Generalmente, como hemos ya dicho, es el pionero mismo de la nueva opinión que se vuelve responsable de esta exageración. A sus estudiantes, menos geniales pero mejor equipados de capacidades analíticas, les corresponde la tarea de detenerse en el punto justo, mitigando lo más posible las oscilaciones. En cambio, el proceso inverso da lugar a una concreción doctrinaria que constituye un obstáculo para el ulterior progreso del conocimiento. Cuando, en efecto, el descubridor de una nueva verdad no halla estudiantes críticos, sino sólo discípulos creyentes, se llega a la formación de religiones que, efectivamente, pueden tener un influjo muy positivo en la vida cultural en general, pero que son del todo indeseables en el ámbito de la ciencia.
Konrad Lorenz [1903-1989],
L’altra faccia dello specchio (1973).
Consideraré aquí la epistemología en una de sus tantas acepciones posibles: como aquella rama de la filosofía que estudia cómo se constituyen los conocimientos científicos de un cierto sector específico, incluso precisamente para delimitar y caracterizar esta especificidad. En este sentido existe, por ejemplo, una epistemología de la matemática (Speranza, 1997); una epistemología de la física; y según algunos se halla definida, según otros se halla en vía de definición, una epistemología específica de la didáctica de la matemática. Sólo que existen diferentes acepciones en las que todo eso puede entenderse; aquí me limitaré sólo a algunas entre las más seguidas por los investigadores en didáctica de la matemática.
Comenzaré, una vez más, con consideraciones de carácter un poco más general.
Recuerdo la noción de paradigma, refiriéndome a Thomas Kuhn (1962, 1968). No es fácil establecer con exactitud que se entiende con este término, dado que en las obras citadas aparece en al menos 20 acepciones diferentes [en este ... conteo me conforta un control análogo que me propuso Juan Godino, que en cambio contó 22; véase Godino (1993a)]. Más o menos se puede decir que Kuhn entiende con paradigma el conjunto de las hipótesis teóricas generales y el conjunto de las leyes para su aplicación, comúnmente aceptadas por los pertenecientes a una misma comunidad científica, y que implican un sustancial acuerdo en los juicios profesionales, de mérito y de pertinencia. Existe un momento, en la formación de una nueva comunidad científica, a partir del cual se puede finalmente hablar de paradigma; la fase que precede parece caracterizarse por una desorganización, sin acuerdos específicos, y con un constante requerimiento de debate sobre los fundamentos de la disciplina misma. Bromeando un poco se puede decir que en esta fase existen tantas teorías cuantos investigadores y un continuo requerimiento y exigencia de clarificar los puntos de vista propios y de los demás. Los trabajos escritos de investigación en el campo se hallan muchas veces acompañados de largas explicaciones sobre los caracteres generales de la investigación misma.
La tesis de Kuhn más famosa es aquella según la cual el progreso científico procede según revoluciones, dado que se da un avance, una evolución, sólo después de una crisis. [Estoy evidentemente pensando en la otra obra famosa de Kuhn, La revolución copernicana (1957)].
En lo que concierne a Imre Lakatos [1922-1974], me limito a poner la atención sobre la idea de programa de investigaciones [y me estoy refiriendo, a las muy famosas obras de Lakatos, y de Lakatos y Musgrave (1960)]. Con este término se entiende una especie de sucesión de teorías ligadas entre ellas en un desarrollo continuo, con reglas metodológicas de investigación (tanto en positivo: por seguir; como en negativo: por evitar). Todo programa debe contener:
• un núcleo o centro del programa;
• un sistema de hipótesis auxiliares;
• la heurística, es decir, la totalidad de los procedimientos que se pueden aplicar a la resolución de los problemas.
Entonces, en esta sucesión, una nueva teoría puede considerarse un progreso con respecto a una precedente si:
• hace predicciones que la precedente no era en grado de hacer;
• algunas de tales predicciones se pueden probar como verdaderas;
• la nueva teoría explica hechos que la precedente no podía probar.
Una ciencia madura debe tener su específico programa de investigación.
Me referiré ahora a Mario Bunge (1985a,b); según este Autor, la ciencia es un cuerpo de conocimientos en constante crecimiento, caracterizado por el hecho de tratar con conocimientos racionales, sistemáticos, exactos, verificables (y por lo tanto también falibles). El conocimiento científico coincide con el conjunto de las ideas sobre un cierto argumento, establecidas en modo incluso momentáneamente provisional; pero después, las contribuciones individuales y el intercambio de informaciones y de ideas, da lugar a una comunidad científica. Lo que caracteriza la diferencia entre campos de creencia (religiones, ideologías, políticas...) y campos de investigación científica está en el tipo de modalidad según la cual se dan los cambios en las ideas. En los primeros campos los cambios se dan a causa de “revelaciones”, controversias, presiones sociales; en los segundos hay un cambio continuo a causa de los mismos resultados de la investigación.
De acuerdo a solicitudes más “débiles”, una ciencia se define como tal cuando dispone de un objeto específico de estudio, de su propio método de estudio y de su específico lenguaje compartido. A este requerimiento hacen muchas veces referencia los teóricos de las ciencias humanas, para, precisamente, llamar “ciencias” a sus dominios de estudio.
Este requerimiento “débil” ha hecho proliferar el apelativo de “ciencias” dado a muchas disciplinas. En efecto, cualquier disciplina al desarrollo de la cual concurren estudiosos que se reconocen como expertos en ella, antes o después adquiere precisamente las características apenas descritas. El problema de la repetibilidad de los experimentos, de la correcta definición de las variables en juego, del sentido que adquieren términos como riguroso, verdadero, etcétera; tiende a desaparecer en la nada (D’Amore, 1998a, 2001b, 2002). En este sentido, señalo sólo como, a partir de la propuesta de Michel Foucault [1926-1984] (1966) según la cual, pedagogía, ciencias de la educación y didáctica [general] deban considerarse como conjuntos teóricos, como “multiplicidades discursivas”, Vergnioux (1991, p. 168) haya intentado establecer una tipología de los enunciados pedagógicos:
• enunciados teóricos obtenidos de los saberes constituidos (psicología, sociología, etcétera);
• enunciados empíricos tomados de la observación en el campo educativo y de la experiencia de los maestros;
• enunciados de síntesis empírica que tratan síntesis teóricas a partir de los enunciados empíricos;
• enunciados reguladores que organizan en modo especulativo los conjuntos discursivos asegurando, por medio de oportunos conceptos, sentido y finalidades de la disciplina y de los enunciados mismos.
Según Vergnioux, todo discurso pedagógico es un conjunto de enunciados de estos cuatro tipos. Tiene sentido, desde su punto de vista, hablar de racionalismo didáctico en los casos en los que, en un discurso pedagógico, existe una preponderancia de enunciados de los últimos dos tipos.
La mención a la sociología y a lo empírico, no puede no reconducir a la mente la concepción de teoría práctica de Émile Durkheim [1858-1917] (1922) para estos propósitos. El problema es el pensar el estatuto de discursos mixtos que por una parte tienen que ver con la práctica del maestro y por la otra elaboran una teorización inspirándose a lo que de teórico ha sido ya elaborado al interior de las ciencias de la educación. Cierto, aquí entran en juego cuestiones de gran alcance, difícilmente administrables, como el papel de la filosofía de la educación, el objetivo mismo del educar. Acerca del sentido y sobre el alcance que tiene la filosofía en estas elecciones, me limito a remitir a Best (1969, 1973) que examina precisamente tal cuestión además de ser un precursor de estas consideraciones. Quiero subrayar el hecho que en el ámbito de discusiones sobre estas temáticas nació la psicopedagogía (pero sólo en el ambiente escolar), tratando de mediar entre dos niveles diferentes sobre los que se pone la teorización pedagógica; por un lado el nivel epistemológico de unificación conceptual, por el otro el nivel ético, de interrogación crítica acerca de los objetivos. Siempre sobre las relaciones sumamente estrechas entre filosofía, epistemología y didáctica y sobre sus influencias recíprocas, sugiero aquí la importante puntualización de Artigue (1990) y el clásico trabajo de Ernst (1991).
Existen incluso trabajos que buscan unificar las investigaciones en educación alrededor de núcleos conceptuales o de las problemáticas fundadoras. Estoy pensando a la praxeología y a la didaxología.
La praxeología se puede pensar como el estudio de las condiciones de ejecución de una acción eficaz en un sector dado; es obvia entonces la referencia a la eficacia de una acción didáctica, una vez definidos los términos, estudiada por ejemplo por Not (1984) e Imbert (1985).
La didaxología se define por De Landshere (1979) como la ciencia de la enseñanza y se basa en la investigación empírica, haciendo referencia a un método experimental.
Me parece que aquí se pueda concluir al menos lo siguiente: existe un deseo constante, muy evidente, una fuerte tensión a caracterizar la vertiente didáctica de las ciencias de la educación y de la pedagogía desde un punto de vista científico, independientemente de lo que signifique este adjetivo.
Lo que existe de común en todas estas interpretaciones es que las teorías científicas no pueden ser creaciones o invenciones de un solo individuo, sino que debe existir una comunidad de personas entre las cuales existe un acuerdo sustancial tanto sobre los problemas significativos de la investigación, como sobre las modalidades con las cuales se explica. A este propósito haré referencia, por su claridad, a un trabajo de Romberg (1988) para definir las características peculiares de una ciencia consolidada y estable:
• debe existir un conjunto de investigadores que demuestren intereses en común; en otras palabras deben existir problemáticas centrales que guían el trabajo de los investigadores y que sean compartidas;
• las explicaciones dadas por los investigadores deben ser de tipo causal;
• el grupo de los investigadores debe haber elaborado un vocabulario y una sintaxis común, sobre la cual el grupo se haya de acuerdo;
• el grupo debe haber elaborado procedimientos propios para aceptar o refutar los enunciados.
En todo este libro buscaré delinear los aspectos sobresalientes de la didáctica de la matemática y de algunos elementos de la actual investigación en didáctica de la matemática, sugiriendo que se trata de una teoría en sí misma (pero que puede dar una contribución decisiva a los fundamentos de otra teoría que podría llamarse simplemente didáctica o didáctica general: pero sólo en los últimos capítulos del libro afrontaré en modo explícito este tema). Por ahora, es fundamental tratar el problema de la didáctica de la matemática como teoría en sí misma. Lo haré, utilizando a veces en modo explícito, a veces en modo implícito, caracterizaciones oportunamente elegidas de los trabajos de Kuhn, Lakatos y Bunge, a veces sin demasiadas distinciones.
Se haya bajo el escrutinio de todos la existencia de un numeroso grupo internacional de investigadores en didáctica de la matemática que tienen intereses comunes, para los que existen problemáticas consideradas centrales y compartidas, que desde hace un par de décadas dan explicaciones de carácter causal, que han elaborado un vocabulario común, compartido; que tienen sus congresos y revistas específicos, al interior de los cuales las propuestas de comunicación o de publicación se juzgan con base en procedimientos ahora ampliamente compartidos. Nos hallamos por lo tanto en el pleno de las condiciones propuestas por Romberg para poder afirmar que la didáctica de la matemática tiene todas las características para considerarse como una ciencia consolidada y estable.
Una notable contribución fue dada ciertamente por la Escuela francesa que a veces ha creado un vocabulario que después se ha convertido en algo común, al que poco a poco los didáctas de nueva formación han adherido36. Existe específicamente un grupo de investigadores que tiene como fin propio la definición de la teoría “didáctica de la matemática”; se trata del grupo TME que, como ya mencioné, se formó durante el ICME V en 1984 (Malara, 1998). A sancionar en modo definitivo esta oficialidad de existencia académica, se halla luego el hecho que continúa a crecer en todo el mundo el número de las cátedras universitarias de didáctica de la matemática, el proliferar (bajo diferentes formas) de escuelas de especialización o cursos universitarios de licenciatura para la formación de los maestros (Alemania, Francia, España, Italia...).