La Didáctica y la Dificultad en Matemática

• ofrecer un esquema de codificación sistemático para los sistemas informativos sanitarios.

Estos objetivos están relacionados entre sí, desde el momento en el cual las exigencias que son las bases del ICF y sus aplicaciones requieren la creación o la disponibilidad de un sistema significativo y práctico que pueda ser utilizado por diferentes usuarios para una política de salud, una garantía de calidad y una evaluación de los resultados en culturas diferentes».

El término genérico «dificultad» en el aprendizaje proviene de un uso generalizado (en varios contextos) para expresar un impedimento o un obstáculo en el actuar, o en el operar, o en el llevar a término una tarea, o en el aprender etc., término que se utiliza ampliamente en el ámbito escolar.

En el ICD10 se usa el término «dificultad» como consecuencia de una perturbación.

En el ICF el término «dificultad» se encuentra en la definición de las limitaciones de la actividad: son las dificultades que un individuo puede encontrar en la ejecución de la actividad (donde por actividad se entiende: la ejecución de una tarea o de una acción; por lo tanto, la dificultad debe entenderse como limitación en el actuar), una limitación de la actividad puede ser una desviación de leve a grave, en términos cuantitativos o cualitativos, en el desenvolvimiento de la actividad con respecto al modo o la medida esperada de una persona sin condicionamientos de salud.

En el ICD10 se encuentra la clasificación de todos los trastornos, algunos definidos con precisión, otros de modo más genérico. Con respecto a los trastornos específicos del aprendizaje escolar, y en particular aquellos que afectan a la matemática, regresaremos más tarde. En este mismo documento se definen los términos de deficiencia, discapacidad y minusvalía, no de déficit: creemos que éste es un término utilizado de modo muy amplio y en diversos contextos para expresar las deficiencias (en el ICD10 aparece: «deficiencia: pérdida o anormalidad de una función o de una estructura») o de las discapacidades (en el ICF: «discapacidad: pérdida o anormalidad en la estructura corporal o en la función fisiológica, incluyendo las funciones mentales». Aquí el término anormalidad se utiliza sólo y exclusivamente para indicar una diferencia significativa con respecto a normas estadísticas establecidas, es decir, como una desviación de una media de población dentro de las normas estándar de medida, y deben ser utilizadas solamente en este sentido).

Dado que estamos en un ámbito escolar, es bien conocido que existen diversas circulares y notas ministeriales de la Educación Pública; los expertos (algunos de los cuales son funcionarios de los ministerios) señalan un uso objetivamente desordenado y ambiguo de términos, debido a la falta de coordinación central, que, en lugar de dar claridad y sentido común, además de buen uso, generando confusión (por ejemplo, en todas y cada una de las notas ministeriales italianas se lee aún «portadores de handicap» contrastando con la terminología más correcta que varios Autores prominentes han sugerido)3

En pedagogía especial y en didáctica especial a menudo se usan los términos “déficit” y “dificultad”; esto deriva de un empleo desenvuelto que se hace en didáctica, y mucho más frecuente en pedagogía, de las metáforas; a menudo se usan aquellas palabras con un significado preciso en los contextos más disparatados, confiando en la capacidad del lector para captar el significado de la cita.

Un uso, que consideramos suficientemente correcto, de «déficit» y de «dificultad», podría ser el siguiente. Un evento traumático, patológico, genético etc. puede provocar impedimentos, trastornos, limitaciones en las funciones o en las estructuras del cuerpo de un individuo (incluso mentales, psicológicas, emotivas etc.). Estas limitaciones, trastornos, impedimentos, pueden conducir a la discapacidad en las diversas formas de funcionamiento, de expresión y de acción del propio individuo. Así inician a delinearse las dificultades del individuo con discapacidad. La discapacidad puede convertirse en un handicap cuando se encuentra en un entorno físico o un contexto social y cultural que coloca obstáculos y barreras de diversa índole.

Pensamos que, para el uso de estos términos, se debe primero tener claro el propósito y el contexto. En medicina, para diagnosticar, se utiliza preferentemente el término «trastorno», como está escrito en el ICD10 (pero en algunas partes del ICD10 el término «déficit» se utiliza, como sinónimo de «trastorno»).

El término «dificultad» se utiliza como una posible consecuencia de un trastorno o déficit (ICD10), o como consecuencia de una discapacidad, o más bien limitación de la actividad (ICF).

La falta de atención, para dar un ejemplo típico del aula, llega a ser un trastorno (pero, en este caso, debería ser un médico o un psicólogo a diagnosticarlo), puede provocar limitaciones en la actividad de un individuo, por lo tanto, una objetiva dificultad.

Hay quien busca reunir situaciones muy diferentes entre sí, en este sentido, entonces, ciegos, sordos, mudos, down… pueden ser reunidos en el mismo grupo, pero esto depende de cuan amplio se considere el grupo, por tanto, de su denominación específica. Se trata de personas que tienen en común el hecho de haber vivido y sufrido en su vida un evento traumático, patológico, genético, que dio lugar a una discapacidad, al deterioro, al déficit, al trastorno, que a su vez han generado discapacidades o limitaciones de la actividad o de la participación, por lo tanto dificultades. Pero si se plantea algunas preguntas sobre los eventos, cuales deficiencias, cuales déficit, cuales discapacidades, cuales limitaciones en la actividad, cuales limitaciones en la participación, cuales dificultades se están citando o enjuiciando, entonces se comprende inmediatamente que son absolutamente distintas. De hecho, si consideramos la especificidad de los individuos, sexo, edad, extracción social, discapacidad, trastorno, déficit, discapacidad, problemas etc., pero también, ambiente y contexto, mayor es el número de diferencias y, por tanto, la imposibilidad de pensar en un conjunto único. Las dificultades que un ciego debe afrontar en las limitaciones de sus actividades, por ejemplo, para moverse en una ciudad, o para leer un libro, son muy diferentes a las de un sordo, o a las de un down, o a las de un sordo-ciego, de las de un down-ciego, de las de un down-sordo etc.

Son personas «diversamente hábiles». Mientras más se consideran, con razón, en su especificidad y personalidad, mayor es la imposibilidad de encontrar analogías, incluso entre personas de un mismo tipo de habilidades diferentes.

Para tener mayor información, se puede recurrir al link del sitio de la AIRIPA (Associazione Italiana Psicopatologia dell’Apprendimento)4, del AID (Associazione Italiana Dislexia)5, del CNIS (Coordinamento Nazionale Insegnanti Specializzati)6 etc. En tales sitios se pueden encontrar las definiciones compartidas en la literatura psicológica.

Pasando en modo más específico a las dificultades en matemática, la ICF suministra una lista poco profunda que se refiere exclusivamente a la realización de las cuatro operaciones aritméticas de base y a una genérica resolución de problemas (aritméticos); sólo en un paréntesis aparece una vaga referencia a la geometría y a la trigonometría.

Otra de nuestras fuentes está constituida por el texto de Lucangeli, Iannitti y Vettore (2007), lectura que sugerimos.

El interés por este campo de estudio y de investigación es muy amplio, de manera que podemos sugerir a los interesados, por ejemplo, las siguientes fuentes de información:

• las actividades de GRIMED (Gruppo di Ricerca Interuniversitario “Matematica e Difficoltà”)7, que nació bajo el congreso “Incontri con la Matematica”8 en Castel San Pietro Terme en 1991 (en el Congreso n°. 5) y, después, al año siguiente se convirtió en autónomo (Pellegrino, Piochi, 2002), que, además de realizar las conferencias nacionales, gestiona una serie de actos y textos homónimos editados por la editorial Pitagora de Bologna;

• la sesión «Disagio nell’apprendimento della Matematica»9 en la conferencia nacional «Incontri con la Matematica», que se desarrolla en Castel San Pietro Terme (Bologna, Italia) desde hace 23 años, normalmente el primer fin de semana de noviembre;

• las conferencias internacionales «La qualità dell’integrazione scolastica»,10 organizadas por el Centro de estudios Erickson, cada año en noviembre en Rimini (Italia);

• diversas series de libros publicados por la editorial Erickson de Trento (Italia);

• numerosos artículos en diversas revistas especializadas, entre las cuales recordamos las dos publicadas por la misma Erickson («Difficoltà di apprendimento» y «Difficoltà in matematica»);11

• otras revistas, si bien no específicamente dirigidas a este sector, publicaron artículos relevantes, como «La matematica e la sua didattica»12 de la ya mencionada editorial Pitagora; queremos hacer referencia explícitamente a la labor de Locatello, Meloni (2007) cuyo título es un síntoma del interés de investigación en este campo: Primeros pasos hacia una investigación en la didáctica especial de la matemática;

• también hay organizaciones mundiales específicas sobre los diversos trastornos o dificultades, a las cuales es fácil acceder vía Internet con un buen motor de búsqueda, así como lo hicimos nosotros; por ejemplo, existe una Organización mundial que se ocupa de problemas específicos causados por la dislexia;

• es notable el hecho de que estudiosos no especialistas hayan dedicado alguna parte de su labor de investigación a este campo; la lista de estas obras es excesiva, para poder incluirla aquí; nos gustaría señalar sólo Gagatsis, Pitta Pantazi (2001), no sólo porque se ocupa de un interesante caso de dislexia, sino también porque para nosotros ha sido una buena fuente de información; el artículo presenta un análisis de los «principales factores que influyen en el modo en cual el estudiante responde al currículo de matemática», basado en los trabajos de varios estudiosos en él citados, principalmente de Evans, Goodman (1995).

1.5. Dificultad y error

El error, como ya hemos visto en parte y que está a la vista de cualquier docente de matemática, tiene expresiones explícitas que a menudo no muestran la verdadera causa.

Errores de ignorancia, de distracción, de olvido, de falta de atención,... se mezclan con errores más profundos, más orgánicos, mentales, relativos a déficit sensoriales u otros. A su vez, cada una de estas causas inmediatas pueden tener causas remotas diversas: la falta de atención puede ser momentánea y debida a una contingencia banal, puede ser debida al estrés, a problemas familiares, sufrimiento, enfermedad, …

Si se decide de intervenir, y no sólo de registrar objetivamente y en abstracto el error y de indagar la causa, entonces se pone en primera instancia el problema, por parte del docente, de detectar el error, por lo tanto, para descubrir no sólo la causa inmediata sino también aquella latente o profunda. No para transformarnos todos en psicoterapeutas, pero sí para afrontar mejor la tarea a la cual nos comprometimos frente a la sociedad: asegurar que cada uno de nuestros estudiantes, de acuerdo a su propia posibilidad y disponibilidad, aprenda, construya, sea competente en matemática y matemáticamente (Fandiño Pinilla, 2003; Fandiño Pinilla, 2006; D’Amore, Fandiño Pinilla, 2002; D’Amore, Godino, Fandiño Pinilla, 2008).13

Errores de distracción, de falta de estudio etc., son en un cierto sentido fáciles de detectar y de reconocer, un atento y cuidadoso análisis puede llevar a comprender los motivos y a intervenir; inquietudes, sensación de incertidumbre, malentendidos etc. están generalmente a la base de estos errores. Por supuesto, la simple invitación al estudio y a la atención es sólo normativa y de por sí ayuda poco; mucho mejor es tratar de dilatar la situación facilitando la valoración del error y dando confianza y seguridad.

Errores sistemáticos, el uso correcto de reglas incorrectas, currículo oculto etc., son también relativamente fáciles de detectar, pero para ello es necesario estar siempre atentos a proponer pruebas análogas más de una vez, con algunos cambios significativos, para examinar a fondo la situación.

Este tipo de error es insidioso dado que, por ejemplo, la aplicación correcta de reglas incorrectas lleva, en ocasiones, al resultado esperado por el docente y otras no, y esto crea en el estudiante, con el tiempo, una convicción perjudicial de la matemática y de sí mismo: Los resultados esperados por los docentes de matemática a veces coinciden con los míos y a veces no, pero yo siempre uso la misma regla, por lo que la matemática tiene resultados casuales y yo no puedo dominarla (Zan, 2007). Una vez creada esta convicción de sí mismo, la situación se agudiza; si el docente no la revela, ni siquiera estará en condiciones de intervenir.14

Cuando el estudiante comete repetidos errores, antes o después, como ser humano que es, debe sobrevivir al fracaso, acaba con crearse concepciones sobre las causas del error, causas, que podemos distinguir en exógenas y endógenas.

En las primeras, se da la culpa a cualquier situación externa, fuera de sí: la mala suerte, el docente (su «maldad», su indisponibilidad, el haber modificado los acuerdos etc.), la falta de tiempo, un estado negativo de salud, la dificultad de la prueba etc.

En las segundas, la culpa está dentro de sí: «Soy incapaz de hacer frente a las pruebas de matemática, no recuerdo las fórmulas, estudio pero no entiendo, no es mi materia, no soy capaz etc.».

En los dos casos, la acción de recuperación por parte del docente es compleja, requiere competencia, sensibilidad, solidez, dotes profesionales y de humanidad, hay casos en los cuales es relativamente fácil obtener buenos resultados de recuperación, pero hay otros en los cuales la situación es más compleja, ejemplos concretos de gran relevancia y eficacia se pueden ver en Zan (2007).15

Lamentablemente, no obstante el fracaso de los estudiantes en el proceso de aprendizaje de la matemática (que a menudo podemos interpretar como un fracaso en el proceso de la enseñanza de ésta) está a la vista de todos, la preparación específica de los docentes sobre este tema es decadente, no nos parece apropiada. No decimos que sea ausente: ya sea en los cursos de formación inicial de docentes de primaria, ya sea en los cursos de formación postgrado de los docentes de la escuela secundaria, donde se dictan cursos sobre cuestiones pedagógicas y psicológicas que tienen una gran relación con el tema en cuestión pero que a menudo son genéricos, no específicos. En los cursos de formación postgrado de docentes especializados, además, la actividad específica de recuperación en matemática a veces parece estar ausente y a veces es inexistente. Por lo cual el docente es a menudo abandonado a sí mismo afrontando los casos más complejos que, por desgracia, son también los más numerosos.

Uno de los «remedios», a los cuales varias veces hacemos referencia en este libro, es crear la ilusión de que todo el proceso escolar discurre bien, ilusionar a los estudiantes con la idea de que están construyendo conocimiento matemático: extraer la respuesta «correcta» del estudiante es bastante fácil, haciendo esto se da la ilusión de la buena marcha de la práctica escolar. Pero si el estudiante no construye un conocimiento verdaderamente sólido, sin duda nunca será competente y, en la primera prueba diferente o fuera de aquel contexto de aula, fracasará; y este fracaso será a su vez causa de otros fracasos, desilusiones y frustraciones.

Tenemos muchos ejemplos de este hecho.

Primer ejemplo.

En las pruebas de ingreso para un nuevo ciclo escolar, sucede con frecuencia que el estudiante se enfrenta a una propuesta mucho más simple, desde el punto de vista estrictamente matemático, de aquella que ha superado brillantemente en las pruebas de salida del ciclo anterior; pero él no sabe responder, se siente incómodo, no encuentra el clima de conocimiento ilusorio creado por el docente que lo instigaba de mil maneras para dar la respuesta correcta, creando una ilusión de conocimiento que, de hecho, no existía. Entre las solicitudes que se hacen hoy en día con respecto a la competencia, está aquella en la cual el sujeto responsable está en condiciones de abordar el problema en juego en cualquier contexto (Fandiño Pinilla, 2003, 2006; D’Amore, Fandiño Pinilla, 2002; D’Amore, Godino, Fandiño Pinilla, 2008).

Segundo ejemplo.

En las pruebas nacionales e internacionales, muchos de los tests asignados son extremamente elementales y se espera, por lo tanto, que nuestros estudiantes, de todos los niveles escolares, sean capaces de responder; por esto nos altera y nos sorprende el hecho que no sea así y se da la culpa a varios factores, reuniendo a todos los que participan en el mundo de la escuela y tratando de salvar la situación con acciones en su mayoría inútiles. Aparte las críticas (constructivas) a estas pruebas, que no es el objetivo de este libro (ver sin embargo: Fandiño Pinilla, 2005c; D’Amore, 2006c; Gabellini, 2006), necesitamos tomar en consideración las diferentes situaciones de aula en las cuales estas vienen afrontadas, en relación con la práctica usual. Se habla de docentes que incluso durante estas pruebas son capaces de «extraer» la respuesta esperada de sus propios estudiantes; suponemos que este no es el caso y que el estudiante enfrenta la prueba en el clima previsto: él, acostumbrado a un director de orquesta, que sugiere de mil formas diversas qué responder para tener éxito en la prueba, se encuentra solo y sin instrumentos para afrontar los problemas. No es cuestión de inteligencia, de cultura o, por el contrario, de incapacidad mental, de ignorancia; es puramente cuestión de cambio de hábitos y de la falta de una verdadera y adecuada formación tanto de la competencia en matemática como de la competencia matemática (Fandiño Pinilla, 2003; Fandiño Pinilla, 2005c).

Podríamos seguir con otros ejemplos análogos. Pero creemos que el docente ha entendido el sentido de nuestros ejemplos, y sabe extraer otros de su vida profesional cotidiana.

1.6. Dar espacio a la conciencia

Hemos visto cómo existen situaciones en las cuales el estudiante no es ni siquiera consciente de encontrarse en dificultad.

Por ejemplo, si el estudiante está convencido de que el error que ha cometido en matemática se debe a la fatalidad o la casualidad, nada hará para remediarlo, más aún si está convencido de que el hecho es generalizado. Si, por el contrario, fuese consciente del hecho de que el error puede ser subsanado, entonces podría empeñarse en no repetirlo.

En Zan (2007) se pone en evidencia el hecho de que son los estudiantes considerados «mejores» los más interesados en la explicación dada por los docentes de un error cometido, mientras que los otros parecen desinteresarse.

Parece oportuno entonces, en primer lugar, hacer que, por parte de los estudiantes, haya plena conciencia de su propio error, en el sentido que se creen situaciones en las cuales el estudiante se convenza que él pueda corregir sus errores y cómo hacerlo.

Entre los instrumentos adoptados para lograr este propósito se utiliza en primer plano todo lo relacionado con la meta-cognición, un buen uso específico de la discusión colectiva, para la evaluación participativa y la auto-evaluación.

Cada uno de estos cuatro términos, sin embargo, debe entenderse desde un punto de vista técnico y no debe considerarse intuitivo o de sentido común. Existen excelentes estudios sobre cada uno de estos, en el campo específico de la matemática; habiendo decidido dar al libro otra dirección, nos limitamos aquí a dar sólo indicaciones bibliográficas para quien desee ahondar en el tema; para facilitar este trabajo, nos limitamos a un mínimo de textos en italiano, advirtiendo que en cada uno de ellos se encontrará abundante bibliografía.

Sobre la meta-cognición en general, véase Cornoldi (1991) (útil también en estudios sobre dificultad del aprendizaje); Cesare Cornoldi y sus colaboradores han estudiado de manera específica la meta-cognición en matemática; por ejemplo, entre los más recientes y específicos, ver: Cornoldi, Caponi, Falco, Focchiatti, Lucangeli, Todeschini (1995).

Sobre la discusión colectiva, véase Bartolini Bussi (1989).

Sobre la evaluación participativa y la auto-evaluación, insertada también en un ámbito más general, véase Fandiño Pinilla (2006).

1.7. Influencia de los factores psicológicos sobre la dificultad

Es cierto, la bibliografía está llena de estudios sobre la influencia de factores psicológicos sobre las dificultades, algunos de los cuales ya mencionamos. Para comprender a fondo, debemos siempre saber distinguir el punto de vista del docente del punto de vista del estudiante.

Nos limitaremos a mencionar algunos entre los más interesantes, sin entrar en detalles y limitando al mínimo las referencias bibliográficas.

Empezamos con el papel que juegan conceptos como estima y autoestima; «estima» en dos sentidos, aquel que el docente tiene del estudiante A, estima que A advierte por parte del docente; estima que A tiene de sí mismo en general y de sí mismo como un agente en el mundo matemático en particular. Aquí las cosas están entrelazadas fuertemente; si el estudiante no siente estima por parte de su docente, debe tener reacciones para remediar esta laguna; que puede ser constructiva o destructiva. Si el estudiante siente la estima de parte del docente, puede tener diversas reacciones: tratar de conservarla a toda costa, o intentar merecerla, con diferentes comportamientos a veces decisivos en sus resultados para el aula. Volveremos sobre este punto.

Hemos visto cómo el estudiante puede tener imágenes de la matemática que se transforman en convicciones: miedo, sentimiento de pérdida, confusión, laguna en la memoria, casualidad en la realización de las pruebas, auto-convicción sobre la falta de capacidad, de inteligencia, necesidad de una predisposición natural etc. A éstos se adjuntan los factores psicológicos que figuran en el párrafo anterior.

Consideramos entonces la pareja motivación - volición (Pellerey, 1993; D’Amore, 1999); por un lado, es tarea del docente crear motivaciones para el trabajo; y la necesidad del estudiante de hacerse cargo de su propio aprendizaje, como responsabilidad personal (se denomina volición, desde un punto de vista psicológico, el desear hacer y no sólo el hacer), ya había sido puesto en evidencia por Guy Brousseau en la teoría de situaciones desde los años ’70 (Brousseau, 1986; D’Amore, 1989a, 2003). El docente puede motivar el tiempo que quiera, pero si el estudiante no desea acceder al conocimiento, no acepta la devolución, no se hace cargo personal de su propio aprendizaje, no construirá el conocimiento. Lo que hará será participar, más o menos activamente, en el «juego» que es vivir la vida escolar en un ámbito que estudiaremos en detalle en el Capítulo 4.

La meta-cognición, que ya hemos hecho sentir en el párrafo anterior, también se inscribe dentro de este párrafo; la enseñanza de la meta-cognición, por décadas, ha estado evidenciada como una actividad necesaria en el proceso de enseñanza-aprendizaje específico de la matemática (Schoenfeld, 1987; D’Amore, Martini, 1997a).

Todavía hay mucho que decir, pero este libro no está concebido en el sentido psicológico, debido a la formación de los autores; queremos limitarnos sólo a algunas indicaciones para completar, y así llegar rápido a los Capítulos 2, 3 y 4 que son específicos de la didáctica de la matemática.

Sin embargo, no podemos dejar de mencionar aquí el gran capítulo de las estrechas relaciones que se encuentran entre las convicciones de los docentes y el fracaso de los estudiantes; las primeros orientan la labor del aula y, por tanto, determinan el comportamiento y las expectativas de los estudiantes; en ocasiones el docente ni siquiera es consciente de sus convicciones y, por tanto, el estudiante resulta orientado de manera tal que aún más es advertida como casual o contradictoria. (Sobre la epistemología implícita del docente, se pueden ver algunos artículos de Speranza, 1997; sobre las contradicciones epistemológicas que se revelan en el proceso de enseñanza - aprendizaje, véase D’Amore, 1987; sobre modernos análisis epistemológicos de las bases de la didáctica, véase D’Amore, 2003).

Por último, existen estudios clásicos que evidencian cómo expectativas creadas explícitamente y a priori por los docentes con respecto a la capacidad de los estudiantes elegidos al azar, vienen confirmadas a posteriori por la evaluación que los docentes dan a las actividades en el aula con los mismos estudiantes; lo cual es una fuerte demostración de que las convicciones (en cualquier sentido, no sólo epistemológicas) influyen significativamente la vida en el aula.

Aún más interesante es el hecho que estudiantes evaluados positivamente de esta forma realmente han mejorado sus resultados debido al aumento de la autoestima y a causa del deseo de conservar la estima de los docentes, los dos factores psicológicos ya vistos, pero que se entrelazan en una enmarañada madeja de interés excepcional.

Tal resultado se conoce como el efecto Pigmalión y fue revelado por primera vez en los estudios ahora considerados clásicos de Rosenthal, Jacobson (1968-1972), hoy muy citados (véase, por ejemplo, Canevaro, 1999).

1.8. Errores específicos

Es cierto que en matemática los estudiantes cometen errores específicos que parecen no poder ser generalizados bajo una teoría general; a estos va reservada una función específica. Creemos, sin embargo, que incluso a pesar de esta especificidad, podemos encontrar generalizaciones útiles que ayuden a los docentes a tomar decisiones ya sea en su acción sobre la transposición didáctica, ya sea en la elección de la ingeniería didáctica, ya sea en la evaluación.

Ejemplo 1: Área y perímetro

Tanto el libro de Fandiño Pinilla, D’Amore (2007) como en las investigaciones que lo precedieron y lo hicieron posible (citadas en el libro), se evidencian errores de los estudiantes en la evaluación de las relaciones entre el área y el perímetro de figuras planas. No entraremos en mayores detalles. Nos limitaremos a decir que, por ejemplo, muchos estudiantes están convencidos del hecho de que, si dos figuras A y B tienen el mismo perímetro, entonces también tendrán la misma área.

Una investigación efectuada con los docentes de estos mismos estudiantes ha mostrado ampliamente que este preconcepto albergaba también en ellos; y esgrimen como excusa el hecho de no haber tenido más información o cursos específicos que negaran esta aparente obvia verdad16. Como se ve, de un lado las convicciones de los docentes influencian significativamente las de los estudiantes;17 y, del otro, la voluntad que existe de modificar sus propias convicciones, incluso el tipo de contenido.

Entonces, ¿cómo intervenir en este «error» específico? Primero verificando bien la transposición didáctica y la ingeniería didáctica, verificando casos posibles de errores de interpretación en la comunicación, no sólo de aquellas explícitas, sino también de aquellas implícitas y que a veces dejan una marca mayor.

Ejemplo 2: Fracciones

Tanto en el libro de Fandiño Pinilla (2005a), como en los trabajos de investigación que lo precedieron (que se mencionan en la bibliografía), como en los trabajos de investigación que lo siguieron (véase, por ejemplo, Campolucci, Fandiño Pinilla, Maori, Sbaragli, 2006), se evidencian infinidades de «errores» específicos hechos por los estudiantes que la literatura ha estudiado por décadas, clasificándolos desde un punto de vista netamente matemático y, por tanto, sin grandes éxitos didácticos.

Las investigaciones preliminares y tal vez, incluso más, las sucesivas, como la indicada, han mostrado ampliamente una vez más como los errores de los estudiantes tienen motivaciones y causas que residen en las convicciones de los docentes.

Por ejemplo, muy pocos de los docentes entrevistados han reflexionado sobre el hecho de que el típico «igual» que se menciona en la definición de las fracciones, cuando, precisamente, una unidad se divide en partes «iguales», es un término genérico que va interpretado según el contexto, por lo menos 12 contextos diferentes que el primer libro evidencia.

Por ejemplo, si se trata de dividir una figura plana en partes «iguales» en realidad quiere decir «equi-extensas»; si se divide un conjunto de personas en partes «iguales» en realidad se refiere sólo al número; si se divide un número en partes iguales, entonces se trata de realizar una operación de división (y a menudo es incierto si se habla de N o de Q, dado que en N la operación de división no es interna); si se divide una pizza en partes iguales, se hace referencia a una división abstracta que está fuera del contexto concreto al cual se recurre del objeto «pizza», porque «iguales» aquí tiene poco sentido concreto: nadie cortaría una pizza, por ejemplo, con un corte paralelo al plano del plato sobre el cual descansa, y nadie espera que las dos rebanadas de pizza obtenidas por un corte concreto, sean realmente «iguales» etc.

Las consideraciones que a este punto pueden seguir son totalmente idénticas a las hechas al final del ejemplo anterior y, por tanto, las omitimos.

Tendremos que hablar por mucho tiempo de la relación entre los conceptos (correctos) que se esperan del proceso de enseñanza - aprendizaje de la matemática y los misconceptos que se crean en la mente de los estudiantes o pre-existentes en la mente de los docentes. Muchos de estos serían ejemplos oportunos que podrían ser presentados aquí; sin embargo, el Capítulo 3 se dedica específicamente a este tema, con gran riqueza de ejemplos.