Los problemas de matemática en la práctica didáctica

Otros textos básicos (D’Amore, Marazzani, 2011; D’Amore, Persano, 1985; D’Amore, Sandri, 1991).

Para un fundamento pedagógico sobre el uso de los laboratorios, ver (De Bartolomeis, 1979)

1.7. Jerarquías de aprendizaje y problemas de “inmersión total”

En la sección 1.5. vimos como varios autores, en particular Gagné, proporcionan, por así decirlo, una jerarquía de los aprendizajes, distinguiéndolos desde los más simples (aquellos que se hallan también en los animales) hasta los más complejos. Si aprender a resolver problemas significa en gran medida utilizar conceptos aprendidos, entonces también la escala propuesta por L. E. Bourne (1966) nos puede proporcionar una reflexión útil sobre el tema; Bourne propone 4 tipos fundamentales de tareas conceptuales:

• aprendizaje de atributos: dando un estímulo y proponiendo posibles atributos, el sujeto distingue entre éstos; es un tipo de aprendizaje que está relacionado con la percepción (la individuación de las características típicas de un objeto, aquellas que lo hacen diferente de los demás) y la etiqueta (labeling) (se asocia un sustantivo a un objeto-estímulo);

• uso de los atributos: es la fase sucesiva; hay atributos que el sujeto ha individuado y que, por lo tanto, se encuentran a su disposición; ahora el sujeto escoge aquellos atributos que hacen que el objeto sea parte de un conjunto o categoría (esto sustancialmente es la “tarea de identificación del concepto de un determinado tipo” de Bruner, 1960);

• aprendizaje de reglas: mediante la experiencia, el sujeto aprende reglas comunes para ciertas clases de situaciones;

• uso de las reglas: a su vez, las reglas son un instrumento para adquirir un comportamiento conceptual; éste es el clásico caso de la resolución de problemas. Aún dentro de sus límites (señalados por Boscolo, 1986, pero también por el mismo Bourne), esta clasificación es útil aquí solo para ampliar el panorama de los estudios sobre el tema de las jerarquías del aprendizaje que han fascinado a los psicólogos.

Algunos de ellos han afrontado temas muy particulares; por ejemplo, Gagné, Mayor, Garstens y Paradise publicaron en 1962 una investigación sobre las jerarquías relacionada con la adición de los números naturales (ver Resnick y Ford, 1991, pp. 39-41); Gagné y Briggs (1974) estudiaron la sustracción de números naturales (ídem); etc.

Si bien muchos lectores críticos tienden a despreciar estos análisis (creo que lo hacen sobre todo los lectores matemáticos), es necesario reconocer que tienen al menos una función: hacer reflexionar sobre la complejidad de algo que, desde cierto punto en adelante, se podría pensar que posee el mismo nivel de dificultad, tanto como para sugerir que no hay diferencia entre los casos. En definitiva: ¿es la sustracción en sí la que presenta dificultades conceptuales o son los casos individuales, o son las modalidades en las cuales se presenta que plantean dificultades de diferente tipo? Parecería que la segunda posición no es del todo trivial. Las habilidades estudiadas son habilidades de desempeño es decir lo que el sujeto sabe hacer en casos particulares (dado que no se hacen preguntas abstractas o generales sobre la sustracción, por ejemplo, en sí, pero se proponen situaciones). Sin embargo, Gagné en particular, pero también otros autores, llegan incluso a sacar conclusiones sobre las habilidades intelectuales, las cuales nos interesan más. Además: la naturaleza de las jerarquías de aprendizaje es tal que se pueden distinguir tareas subordinadas a otras y que son componentes de actividades de orden superior; se tendría por lo tanto una especie de aprendizaje no solo en forma de espiral sino también en forma de escalera, en la cual cada peldaño es necesario para poder dar el paso sucesivo. Sobre este tema (denominémoslo “teoría de los prerrequisitos”) ha trabajado por ejemplo Flavell (1972); las capacidades iniciales se transforman en elementos fundamentales para capacidades sucesivas; algunos desempeños y comportamientos fundamentales en el pasado pueden desaparecer del comportamiento de un niño que, después de algún tiempo, ya no tiene necesidad de dar los mismos pasos. Flavell concibe esta jerarquía como una forma de conceptualizar la Matemática misma (más allá de su aprendizaje). También es cierto el hecho que, si una tarea ocupe una posición elevada en una jerarquía de aprendizaje, no significa que sea más difícil de aprender o que requiera más tiempo que tareas anteriores; sin embargo, su posición en la jerarquía de todas maneras indica la “riqueza” de sus componentes. Al contrario, puede muy bien suceder que las tareas de nivel inferior sean las más difíciles de realizar por motivos de edad, falta de hábito u otros. En un estudio de Carroll de 1973, se muestran ejemplos concretos de todo esto: si una tarea considerada muy difícil se descompone en todos sus elementos elementales y el sujeto posee estos elementos, el último “peldaño” se vuelve sencillo y el niño puede realizar la tarea solo y en tiempos breves. Es más, le quedaría fácil transferirlo de una red compleja de peldaños inferiores hasta llegar al último peldaño. Hay que decir que con frecuencia los peldaños inferiores de una jerarquía son los fundamentos de muchos otros aprendizajes y por lo tanto se prestan a transferencias sucesivas incluso en otros ambientes conceptuales: saltarlos para proponer inmediatamente actividades complejas podría ser un error, ya que se eliminarían las bases para otras escalas del aprendizaje. La palabra clave que emerge de estos estudios se puede resumir así: ir de lo simple a lo complejo, en la práctica didáctica.

Sin embargo ¿quién nos puede asegurar que todo esto sea correcto, que tenga sentido, que sea aceptable y funcional?

Muchos psicólogos han dedicado amplios estudios a verificar la validez de estas jerarquías de aprendizaje. Según la técnica usada, podemos distinguir estos estudios en dos categorías: estudios escalares (scaling study) y estudios de adestramiento (training study).

En un scaling study se somete a un grupo de estudiantes a test relativos a los prerrequisitos de una tarea que debe ser objeto de estudio; cada alumno recibe un puntaje + o – en cada “peldaño” (habilidades componentes). Entonces, los estudiantes se organizan del “mejor” (el que tuvo más +) al “peor” (el que obtuvo más –). De tal manera que se provee una tarea de orden jerárquico más elevado y se verifica la evolución del grupo de alumnos. Si la jerarquía de aprendizaje (en esa posición particular) es correcta, tendremos que poseer una escala de respuestas correctas que corresponda al orden de los estudiantes; es decir, el “mejor” es también aquel que resolverá el test de la mejor manera, el “peor” viceversa. Si esto no sucede, entonces la escala de aprendizaje no es la correcta. Guttman en los años 40 (1944) diseñó esta prueba, por lo que la disposición de los + y los – obtenidos por el grupo de estudiantes es llamada escala de Guttman. Otros estudios sobre esta cuestión fueron propuestos por muchos autores, cito el estudio de Wang, Resnick y Boozer (1971) porque se dedica a las diversas tareas básicas en Matemática. De este estudio resultó que no hay dependencia entre la capacidad que tienen los niños pequeños para contar y el saber proponer una correspondencia uno a uno entre los elementos de dos conjuntos; y no solo esto, sino que su posición en una jerarquía es totalmente intercambiable. Este resultado tuvo una gran incidencia sobre cierta legión de defensores a ultranza de lo que se ha denominado Matemática moderna (dada la delicadeza de la cuestión y la “polvareda” que levantó, Wang llevó a cabo otros estudios en 1973, también Gelman y Gallistel en 1978, entre otros, y todos encontraron el mismo resultado). El scaling study ha sido últimamente sometido a varias críticas, algunas obvias, que pasaré por alto (se pueden encontrar en Resnick y Ford, 1991, pp. 45-47).

En el training study se construyen ejercicios didácticos basados en jerarquías para ser usados en actividades didácticas efectivas; dicho brevemente, los estudiantes siguen un curso muy estructurado y programado detalladamente en el cual se analizan todos los peldaños inferiores de la escala, pero no se examinan las habilidades que constituyen el objetivo final. Después de esto, los alumnos son sometidos a un test sobre las tareas finales y a otro test sobre cada una de las habilidades básicas enseñadas en el programa. Entonces, los resultados de los test son analizados en forma particular: se examinan las relaciones entre todas las parejas de habilidades de la jerarquía, las cuales se encuentran unidas mediante flechas, es decir directamente por encima o por debajo.

De tal manera, se asignan puntajes + o – a las cuatro relaciones posibles:

• si hay dos +, uno en el nivel superior y otro en el inferior, significa que ha habido un transfer de la habilidad inferior a la habilidad superior, como preveía la jerarquía;

• si hay dos –, no ha habido transfer, como preveía la jerarquía;

• si hay + en el nivel superior, pero – en el inferior, la jerarquía está contradicha;

• si hay – el nivel superior y + en el inferior, aunque se mantenga cierta concordancia con la jerarquía, puede que haya un defecto en el programa de aprendizaje.

Gagné inició este tipo de training study y fue seguido por otros en los años 60. El training study fue modernizado paulatinamente hasta llegar a situaciones sofisticadas de adiestramiento que pasaré por alto, citando a Resnick y Ford (1991, pp. 47-49), entre otras por las infaltables y usuales críticas. Me gustaría señalar un resultado de Uprichard de 1973 que verificó un hecho al parecer curioso. Mediante el estudio del orden jerárquico de los aprendizajes de la comparación entre cardinales, Uprichard descubrió que, como es obvio, mientras la relación “ contiene tantos elementos cuantos contiene ” es la base tanto para la relación “ contiene más elementos que ”, como para la relación “ contiene menos elementos que ”. Entre estas últimas no existe identidad de nivel jerárquico, como podría aparecer obvio; sin embargo, la relación “menor que” ha demostrado ser más difícil de aprender y de poseer que la otra y por lo tanto parecería aconsejable, en un programa jerárquico, estudiar estas nociones en este orden: igualdad, mayoría, minoría. (En este punto cito un estudio de Donaldson y Balfour de 1968 que mostraba cómo el concepto “más” es más fácil de asimilar que el concepto “menos” y la prueba que se hizo en Palermo en 1974 con el mismo resultado).

Entonces, hay dos categorías de estudiosos: aquellos que creen en las jerarquías del aprendizaje y aquellos que las rechazan. Los que creen pueden usarlas como planos para la enseñanza; es más, hay quienes llegan a usarlas como planos “individuales”, dado que se pueden calibrar sobre las competencias reales de cada niño. A propósito de lo anterior, hago referencia a las pruebas hechas por Resnick, Wang y Kaplan en 1973, quienes idearon un currículo básico para la enseñanza de la aritmética, muy detallado y personalizado, alumno por alumno (se puede ver Resnick e Ford, 1991, pp. 50-54). En cierto sentido, nuestro proyecto Ma.S.E. fue también un tentativo con un vago carácter jerárquico; sin embargo, dada su difusión, no nació como un proyecto personalizado, aunque las aplicaciones concretas mostraron que podría convertirse en tal.

Pueden surgir muchas dudas sobre el concepto mismo de jerarquía, pero, al menos hasta cierto punto, me parece útil para indicar el modo de proceder de manera secuencial y lógica, en lugar de caótico e improvisado. La elección entre una u otra jerarquía está a discreción del profesor, dependiendo de su experiencia, sensibilidad y cultura. Este punto está estrechamente relacionado con la transposición didáctica del Saber hacia el “saber que se quiere enseñar” y el “saber enseñado”, más exactamente en el componente de la ingeniería didáctica (D’Amore, 1999a).

No obstante, no se excluye una elección diametralmente opuesta, la elección de la inmersión total. Tomemos el caso de la didáctica de los problemas que es el que más nos interesa. Se puede crear una escala de problemas matemáticos, del más simple al más complejo.

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Entonces, el niño debe, con su propio ritmo, recorrer la escalera y mientras demuestra sus habilidades para resolver problemas de cierto nivel, accede a problemas de nivel superior. Por el contrario, se puede decidir “sumergir” al niño en un contexto problemático “difícil”, “complejo”, a propósito, por varios motivos: porque los estímulos más fuertes son seguidos por una motivación más activa; porque se quiere provocar la reelaboración de la situación, el desenredo de la madeja; porque se busca suscitar más consciencia, más involucramiento, más ganas; porque se busca una reelaboración a la “inversa” de las etapas de la solución (descubrir «Lo que debo saber antes de ») etc. Para ser franco, me parecen dos actitudes, dos “estilos” didácticos significativos y practicables. Tal vez, en el segundo se requiere una mayor competencia por parte del profesor, o quizá una mayor “vigilancia” matemática: en una situación compleja, las respuestas de los niños pueden ser muy diferentes. Me parecen tan significativas y practicables las dos propuestas, que no tendría objeción en practicarlas ambas: mientras la jerarquía se desarrolla gradualmente, a lo largo de la escalera, y aún mejor de manera individual, poco a poco llega la sacudida; una situación problemática compleja saca de lugar el tranquilo andar cotidiano y hace que todo sea puesto de nuevo en discusión, anima a los niños, hace que ellos den pasos de gigante hacia adelante, haciéndolos reflexionar a la “inversa”, precioso resultado en tanto ocasión para el meta conocimiento.

Esta posición “mixta” podría ser útil para responder a las objeciones hechas sobre el tema de las jerarquías, objeciones que afirman que la didáctica basada en jerarquías podría limitar a los estudiantes capaces. De hecho, es obvio que en cualquier grupo normal hay niños que yo defino como “de aprendizaje veloz” (mientras otros, por ejemplo, Terrassier, 1985, los llaman “superdotados”, lo cual, a veces, me parece excesivo). Estos estudiantes podrían muy bien saltarse diversos peldaños de la escalera, o toda la escalera de una vez, o unos aquí y allí, para alcanzar los peldaños superiores; esos alumnos son penalizados por la obligación de recorrer toda la escalera. Las inmersiones totales en problemas complejos podrían ser la ocasión para hacer que dichos estudiantes se sientan satisfechos y comprendidos (además del hecho que la didáctica jerárquica es, no digo totalmente pero sí bastante, personalizada, por lo que estos niños no se verían obligados a respetar los tiempos comunes).

Más allá de la confirmación de las bondades de la inmersión total, me gustaría recordar varias pruebas hechas a partir de los años 60, por Z. Dienes en 1963, por ejemplo. Con tales pruebas se comprobó que, en estos casos, al afrontar y resolver problemas complejos, los niños demostraron haberse apropiado de conceptos de nivel jerárquico inferior, sin haberlos practicado explícitamente con anterioridad. Es más, los mismos Dienes y Golden (1971) llegaron a la hipótesis didáctica conocida como enfoque profundo (deep end): es mejor ir directamente a cierto nivel de complejidad, antes que seguir toda la escala jerárquica. En últimas, si numeramos idealmente los peldaños del 1 al 10, por ejemplo, podemos:

• partir de 1 y luego, poco a poco, pasar al 2, luego al 3 etc., gradualmente pero siempre respetando los ritmos individuales; esto puede ser llamado “didáctica gradual absoluta”;

• partir de 6 y comprobando la adquisición desde el 1 hasta el 5, luego ir al 10 y comprobar desde el 7 hasta el 9; esto puede ser llamado “didáctica de la inmersión total”;

• partir del 1, ir al 2, saltar al 5, comprobar el 3 y el 4, ir al 6, saltar al 8, comprobar el 7, ir al 9 y luego al 10 (o un proceder análogo), respetando, en los pasajes graduales, los ritmos individuales; esto puede ser llamado “didáctica de profundidades mixtas”.

A mi modo de ver, la última elimina al menos algunos de los defectos de las otras dos posiciones extremas. Por ejemplo, las acusaciones que pesan sobre la didáctica de la inmersión total hechas por Resnick, Siegel y Kresh (1971) y por Caruso y Resnick (1972) luego de varios experimentos, podrían muy bien ser superadas por la didáctica mixta anteriormente propuesta. Entre otras, es de resaltar que una didáctica fuertemente estructurada beneficia a los estudiantes con capacidades menores, y que los estudiantes “fuertes” no tienen necesidad de tales estructuras (me refiero al ampliamente citado trabajo de Cronbach y Snow de 1977).

Lo que me asusta es que se llegue, dada la lucha que se presenta siempre entre los dos extremos, a concebir un “arte de la didáctica”: con todo el esfuerzo que ha costado llegar a la aceptación de la cientificidad de la didáctica de la Matemática por parte de unos matemáticos activos en esta, como disciplina autónoma, autosuficiente ¡La hipótesis que todo se reduzca a un arte es espantosa! Sin embargo, el peligro existe (ver Resnick y Ford, 1991, pp. 56-57).

Hay un amplio debate sobre el problema del significado que se puede atribuir a la idea de subdividir un problema complejo en una sucesión de ejercicios elementales.

Para resumir, no es que la subdivisión aumente el porcentaje positivo, sino que el meollo entorno al cual el problema está construido se pone en evidencia.

Veamos un ejemplo que tomo en su formulación original.

Sea A el siguiente texto:

Los 18 alumnos de noveno quieren hacer una excursión escolar de un día de duración de Bolonia a Verona. Para tal fin, deben tener en cuenta los siguientes datos:

1. dos de los alumnos no pueden pagar;

2. sería bueno “invitar” al profesor acompañante;

3. de Bolonia a Verona hay 120 km;

4. un autobús de 20 pasajeros cuesta 200.000 pesos diarios más 500 pesos por kilómetro (incluidos peajes).

¿Cuánto dinero gastaría cada alumno?

Aquí una subdivisión del problema en 3 componentes:

A1. Los 18 alumnos de noveno quieren hacer una excursión escolar de un día de duración de Bolonia a Verona. Ya que dos de los alumnos no pueden pagar y el profesor acompañante es invitado ¿entre cuántos se debe repartir el gasto?

A2. Los 18 alumnos de noveno quieren hacer una excursión escolar de un día de duración de Bolonia a Verona. El autobús de 20 pasajeros cuesta 200.000 pesos diarios más 500 pesos por kilómetro (incluidos peajes). De Bo