Fundamentos teóricos de la música atonal

1.6 Espacio de clases de alturas

El espacio de clases de alturas, o espacio-c.a., es circular y contiene solamente 12 clases de sonidos. Esto se debe a que tanto la equivalencia enarmónica como la equivalencia de octava se encuentran activas (recordemos que en el espacio-a solamente la equivalencia enarmónica se encontraba activa). Al activarse la equivalencia de octava, automáticamente deja de ser operativo el concepto de registro.

1.7. La altura en el espacio-c.a.

Para entender la organización de las alturas en el espacio-c.a., será necesario definir primero el concepto clase. Las clases de equivalencia en lógica se utilizan para reunir o clasificar proposiciones con el mismo significado, a las cuales se considera, por lo tanto, equivalentes. Por ejemplo, si tenemos la proposición p = Son las doce y media, la clase de equivalencia de dicha proposición podrá incluir, entre otras, a las proposiciones q = Dentro de cinco minutos serán las doce treinta y cinco; r = Son las doce treinta; s = Hace tres horas y media eran las las nueve; t = Dentro de treinta y cinco minutos serán las trece horas con cinco minutos, ya que p ≡ q, p ≡ r, p ≡ s, p ≡ t.

En el espacio-c.a., cada clase de altura representa la colección de aquellas alturas que son enarmónicamente equivalentes y/o se encuentran a distancia de una o más octavas. De esta manera, el espacio-c.a. genera 12 clases de equivalencias:

Cada conjunto, que representa una clase de equivalencia, contiene puntos suspensivos en sus dos extremos, lo que indica que su contenido es potencialmente infinito. Toda altura perteneciente a una clase de equivalencia se encuentra relacionada por medio del intervalo +12 (la octava ascendente), con la altura adyacente ubicada a su derecha. Asimismo, todas las alturas contenidas en un mismo conjunto son consideradas equivalentes; de esta manera tenemos, por ejemplo, que -36 ≡ -12 ≡ 48 ≡ 0 ≡ 12 ≡ -24.

Dado que cada clase de equivalencia contiene un número potencialmente infinito de alturas, es conveniente designar a una sola altura como su representante. El conjunto de representantes de las 12 clases de equivalencias disponibles en el espacio-c.a. será {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9, 10 ,11}. Cada uno de estos representantes recibe el nombre de clase de altura o c.a., en su forma abreviada. Por consiguiente, cada c.a. será equivalente a todas las alturas de una (y sólo una) clase de equivalencia. Para evitar posibles confusiones en su aplicación analítica, se ha acordado que los números 10 y 11 sean sustituidos por las letras A y B, respectivamente. Así, el conjunto de las doce clases de alturas disponibles en el espacio-c.a. se representará como {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9, A, B}.3

Recordemos que el hecho de que la equivalencia de octava se encuentre activa en el espacio-c.a. anula automáticamente el concepto de registro. Esto hace que la c.a. 3, por ejemplo, represente a todos los Eb5, D#8, Eb2, Fbb3, D#5, etc.

EJEMPLO 8

DOS CARACTERÍSTICAS DEL ESPACIO-C.A.

a)Equivalencia enarmónica

b)Equivalencia de octava

Apéndice 1: Para obtener una perspectiva algebraica básica en lo que respecta a las relaciones de equivalencia y otras definiciones relacionadas, ver punto A1.5 (previa lectura del punto A1.4, en caso de no encontrarse familiarizado con la notación utilizada en lógica y teoría de conjuntos).

1.8. El módulo 12 aritmético

El espacio-c.a. es un ejemplo de la aplicación del módulo 12 aritmético; otro ejemplo, éste de uso común, sería el de los 12 números de la carátula del reloj. La aritmética del módulo 12 nos ayudará a entender mejor el espacio-c.a., con sus 12 clases de alturas, así como a llevar a cabo operaciones de “traducción” de alturas individuales provenientes del espacio-a (algunos aspectos interválicos del uso del módulo 12 son discutidos también en el punto 1.10).

El módulo 12 aritmético contempla únicamente el uso de 12 números enteros, por lo que cualquier entero que se encuentre fuera del rango de esos 12 números tendrá que ser convertido por medio de múltiplos de 12. En el caso del espacio-c.a., sabemos que los 12 enteros representan a las c.a. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9, A y B. Así, para convertir la altura 18 (F#6, dentro del espacio-a) en una clase de altura por medio del módulo 12, se le sustraerá 12: 18 -12 = 6. El entero 6, a diferencia del 18, se encuentra incluido en conjunto de representantes de las 12 clases de equivalencias disponibles en el espacio-c.a., y corresponde a la c.a. F# (sin número de índice acústico, por supuesto).

Como ya sabemos, otros ejemplos de alturas (dentro del espacio-a) que se incorporarían a la c.a. 6 (dentro del espacio-c.a.) al ser convertidas al módulo 12, serían -18, 30, -6, etc. (recordemos que -18 + 12 + 12 = 6, 30 -12 - 12 = 6, y -6 + 12 = 6). Esta lógica de conversión también se encuentra presente en nuestra forma de medir el tiempo. Así, en la carátula del reloj las 14 horas aparece representada por el número 2 (14 - 12 = 2; en otras palabras, 14 hrs. ≡ 2 p.m.); las 18 hrs. aparecen representadas por el número 6 (18 - 12 = 6), etc. De hecho, la representación geométrica de las 12 clases de alturas en el espacio-c.a. es similar a la de las 12 horas en la carátula del reloj, con la diferencia de que el número 12 es sustituido por el 0.

EJEMPLO 9

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DOCE CLASES DE ALTURAS EN EL ESPACIO-C.A.

1.9. Tipos de intervalos del espacio-c.a.

En el espacio-c.a. existen dos tipos de intervalos que son semejantes a los intervalos ordenados y no ordenados del espacio-a; se trata de los intervalos ordenados de clase de altura y los intervalos no ordenados de clase de altura (a este último tipo también se le conoce como clase de intervalo y se le abrevia como “c.i.”).

1.10. Intervalo ordenado de clase de altura

El intervalo ordenado de c.a., al que también se le llama simplemente intervalo, se utiliza para medir la distancia entre clases de alturas no simultáneas. Es importante señalar que los intervalos entre las 12 clases de alturas no serán ascendentes ni descendentes, ya que no hay que olvidar que el concepto de registro no existe en el universo circular del espacio-c.a. Debido a que la equivalencia de octava en el espacio-c.a. excluye la posibilidad de un intervalo mayor a 11 (representado en nuestro sistema por la letra B), sólo se contará con 12 intervalos diferentes. Los intervalos que hasta ahora eran representados con números negativos deberán ser convertidos al módulo 12 por medio de sus correspondientes intervalos complementarios positivos, como se indica en el ejemplo 10.

EJEMPLO 10.

Conversión de enteros negativos a enteros positivos (mód. 12)

El proceso para la obtención de intervalos ordenados es muy parecido al que se siguió anteriormente para generar intervalos ordenados en el espacio-a: dadas dos clases de alturas, se le sustrae la primera a la segunda, lo cual representamos como i.<x, y> = y- x (mód. 12).

De esta manera, el intervalo ordenado de c.a. entre 6 y 8 será i.<6, 8> = 2 (ya que 8 - 6 = 2); entre 8 y 6 será i.<8, 6> = A (ya que 6 - 8 = -2 = A, como se señala en el ejemplo 10); entre 0 y 8 será i.<0, 8> = 8 (ya que 8 - 0 = 8) y entre 8 y 0 será i.<8, 0> = 4 (ya que 0 - 8 = -8 = 4, como se señala en el ejemplo 10). 4

Resultará más claro si ubicamos gráficamente los cuatro ejemplos anteriores en el universo circular del espacio-c.a., con sus 12 clases de alturas.

En el caso de i.<6, 8> = 2, el intervalo 2 expresa el desplazamiento de la c.a. 6 a la c.a. 8:

En el caso de i.<8, 6> = A, el intervalo A expresa el desplazamiento de la c.a. 8 a la c.a. 6:

En el caso de i.<0, 8> = 8, el intervalo 8 expresa el desplazamiento de la c.a. 0 a la c.a. 8:

Mientras que en el caso de i.<8, 0> = 4, el intervalo 4 expresa el desplazamiento de la c.a. 8 a la c.a. 0:

En todos los casos anteriores, los enteros 0, 1, ..., B representan las 12 c.a. del módulo 12 y los enteros entre paréntesis indican el número de semitonos que recorre cada intervalo en su trayecto de una c.a. a otra. Obsérvese que todos los recorridos interválicos entre clases de alturas se llevan a cabo en el sentido de las manecillas del reloj.

Recordemos que el concepto de registro es ajeno a la estructura del espacio-c.a., por lo que el intervalo ordenado i.<6, 8> = 2, por ejemplo, define a cualquiera de los pares de c.a. del ejemplo 11, entre otros.

EJEMPLO 11

ALGUNAS DE LAS POSIBILIDADES REPRESENTACIONES EN EL PENTAGRAMA DE LA APLICACIÓN DEL INTERVALO ORDENADO DE CLASE DE ALTURA I.<6, 8>=2

1.11. Intervalo no ordenado de clase de altura

El intervalo no ordenado de clase de altura, también conocido como clase de intervalo o c.i., se utiliza para medir la distancia entre clases de alturas que sean real o conceptualmente simultáneas. Aquí, encontraremos que x - y e y - x nos dan el mismo resultado, como sucedía con los intervalos no ordenados en el espacio-a; sin embargo, en este caso no será necesario recurrir a la notación de valor absoluto para la representación numérica de la c.i., ya que en el espacio-c.a. no hay enteros negativos. Debido a la ausencia del parámetro de registro, producida por la distribución circular del espacio-c.a., se recurrirá siempre a la distancia más pequeña entre dos sonidos simultáneos para representar su clase de intervalo. Por lo tanto, ahora diremos que x - y e y -x pertenecerán ambos a la clase de intervalo z, de forma que z sea igual al que resulte menor de los dos intervalos x - y e y - x, dentro del mód. 12. Podemos representar lo anterior definiendo el mínimo de dos cantidades; dados los intervalos x e y, tenemos que:

Por ejemplo el mín{3, 7} = 3, ya que 3 < 7. Ahora podemos definir la clase de intervalo entre las c.a. x e y como: i.{x, y} = mín{i.<x, y>, i.<y, x>}. Nótese que aquí, al igual que en el espacio-a, se está definiendo el intervalo no ordenado en función del intervalo ordenado5

EJEMPLO 12

GENERACIÓN DE LA C.I. A PARTIR DEL PRINCIPIO DEL “INTERVALO MÁS PEQUEÑO”

En el ejemplo 12 a) se ilustra el proceso para la obtención de la clase de intervalo entre las c.a. simultáneas 2 y 7 que aparecen en el primer compás. En los compases 2 y 3 se muestran los dos ordenamientos posibles que pueden tener dichas c.a., así como los intervalos ordenados que generan. Podemos apreciar que mín{i.<7, 2>, i.<2, 7>} = 5, ya que 5 < 7, por lo que 5 es la c.i. que mapea entre sí a las c.a. del compás 1, como se señala en el compás 4 del mismo ejemplo 12 a). Los intervalos ordenados i.<7, 2> = 7; i.<2, 7> = 5 (representados ambos por la c.i. 5) correspondientes a los compases 2 y 3, respectivamente, se encuentran también expresados de manera gráfica en el universo circular del espacio-c.a., debajo del pentagrama.

En el ejemplo 12 b) se lleva a cabo el mismo procedimiento con las c.a. 3 y 4. Se puede apreciar que la suma de cada par de intervalos pertenecientes a una misma c.i. siempre da como resultado 0 (mód. 12). En el caso del ejemplo 12 a), tenemos que 7 + 5 = 0 (mód. 12), mientras que en 12 b), 1 + B = 0 (mód. 12). Gráficamente, esto se traduce siempre en dos recorridos complementarios cuya unión es exactamente igual al recorrido total de la circunferencia del espacio-c.a. (véanse las gráficas de los ejemplos 12 a) y 12 b). La única c.i. cuyos dos intervalos expresan recorridos equidistantes en la circunferencia del espacio-c.a. es la c.i. 6, ya que 6 + 6 = 0 (mód. 12). Este caso se ilustra en el ejemplo 12 c).

En el ejemplo 13 se muestran las seis diferentes clases de intervalos que genera el espacio-c.a., acompañadas de los intervalos (ordenados) individuales que las conforman.

EJEMPLO 13

CLASES DE INTERVALOS CON INTERVALOS INDIVIDUALES INCLUIDOS

Es común en el pensamiento musical del siglo XX, concebir el material sonoro dentro de la dimensión del espacio-c.a. Como muestra de esto reconsideremos el pasaje presentado en el ejemplo 7.

EJEMPLO 14

APLICACIÓN LINEAL DE INTERVALOS ORDENADOS Y NO ORDENADOS EN EL ESPACIO-A Y C.A.

La perspectiva interválica ofrecida por el espacio-c.a. nos revela la existencia de una simetría estructural subyacente. Se trata de un palíndroma, similar al analizado anteriormente en el ejemplo 6. En el caso del ejemplo 14, el eje de simetría está representado por el intervalo 4 y la clase de intervalo 4 que separan a la última nota del primer sistema de la primera nota del segundo. Se puede apreciar que los intervalos y clases de intervalos ubicados en posiciones equidistantes a ambos lados de dicho eje coinciden:

En el ejemplo 14, esta estructura palindrómica pasa totalmente inadvertida en el análisis interválico del espacio-a, debido a que es obstaculizada por la intervención del parámetro de registro (inactivo en el espacio-c.a.). Esto no quiere decir que las herramientas interválicas del espacio-a sean menos poderosas o precisas que las del espacio-c.a. Como ejemplo de lo contrario, basta con revisar el ejemplo 6, en el cual dichas herramientas revelaron perfectamente el diseño estructural subyacente. Se trata más bien de herramientas diferentes, altamente especializadas, que adquieren relevancia en la medida en que el espacio dentro del cual se desenvuelve el discurso musical las ratifique. Si en el pasaje del ejemplo 14 se buscara establecer una comparación estadística entre los intervalos simples y compuestos, o definir aspectos del contorno melódico, tales como la ubicación de los puntos climáticos interválicos o de registro, entonces la información interválica del espacio-a sería el vehículo adecuado.

1.12. Una nueva notación para el espacio-a

La notación numérica de alturas e intervalos en el espacio-a, expuesta en los puntos 1.2 a 1.5, es la que se emplea cotidianamente en la teoría anglosajona de la música atonal, por lo que se ha considerado imprescindible ponerla al alcance del lector. Esta notación, sin embargo, presenta algunos inconvenientes.. 6

En lo que se refiere a las alturas, la notación funciona muy bien dentro del índice acústico 5, esto es, de las alturas 0 a 11, debido a que éstas tienen la misma representación numérica que las 12 clases de alturas del espacio-c.a., sin las letras A y B, por supuesto. Sin embargo, a medida que las alturas se alejan, ascendente o descendentemente, de esta octava central, su ubicación se va volviendo confusa y difícil de representar mentalmente, sin la ayuda del pentagrama. Por ejemplo, si pensamos por un momento en las alturas 33, 41, -19 o -21, por nombrar sólo algunas al azar, resulta evidente que las dos primeras son frecuencias altas y las dos últimas frecuencias bajas. No obstante, ubicarlas con precisión como La índice 7, Fa índice 8, Fa y Mi índice 3, respectivamente, no se da inmediatamente como una consecuencia natural de la notación, sino que requiere de un esfuerzo mental adicional.

Algo parecido sucede con la notación numérica de los intervalos. En este caso, se privilegia a los intervalos simples, que resultan fáciles de manejar, sobre los compuestos. Los números +19, +30 y |21|, por ejemplo, indican que se trata de intervalos amplios, pero difícilmente evidencian su cualidad sonora, en caso de no contarse con el apoyo de la notación musical.

En los siguientes puntos del capítulo, se expondrá una nueva notación numérica para los intervalos y alturas, la cual será la empleada en el resto del libro. Esto se hace con la esperanza de que su manejo, al que consideramos más sencillo y más cercano a la intuición musical del lector que el de la notación anglosajona convencional, justifique el riesgo que se asume al alejarse de ésta, dado que su uso es generalizado.

La nueva notación no modifica las caracterísiticas del espacio-a: se sigue tratando de un espacio lineal de 12 alturas por octava, ubicadas a distancia de semitono con respecto al sonido inmediato inferior y superior. Los axiomas de equivalencia enarmónica y no equivalencia de octava siguen vigentes.

1.13. Nueva notación numérica de la altura

Empecemos por notar que una clase de altura â puede ser expresada como:

â = {x|x = 12q + a}, con a, q ∈ Z, donde Z es el conjunto de los enteros, y 0 ≤ a ≤ 11.

Otra clase de altura sería:

ĉ = {y|y = 12p + c}, donde c, p ∈ Z, 0 ≤ c ≤ 11.

Esto nos permite convertir cualquier altura a una clase de altura. Tomemos, por ejemplo, las alturas 0, 20, -22, 35 y -6 que, expresadas como c.a., nos dan: 0 = 12(0) + 0 ∈ 0^; 20 = 12(1) + 8 ∈ 8^ ; -22 = 12(-2) + 2 ∈ ^2; 35 =

12(2) + B ∈ B^ ; -6 = 12(-1) + 6 ∈ ^6. Estos resultados se muestran en el

ejemplo 15.

EJEMPLO 15

CONVERSIÓN DE ALTURAS A CLASES DE ALTURAS

Volviendo a nuestras dos c.a., â = {x|x = 12q + a} y ĉ = {y|y = 12p + c}, definidas un poco más arriba, se propone ahora escribir una altura x ∈ â, como x ≡ âd, donde d = q + 5. Análogamente denotaremos una altura y∈ ĉ , como y ≡ ce, donde nuevamente e = p + 5. La altura âd nos indica que se trata de la c.a. â en el índice acústico d. 7

Al “traducir” las alturas 0, 20, -22, 35 y -6 del ejemplo 15 a la nueva notación, obtenemos: 0 = 12(0) + 0 ≡ 0(0+5) = 05; 20 = 12(1) + 8 ≡ 8(1+5) = 86; -22 = 12(-2) + 2 ≡ 2(-2+5) = 23; 35 = 12(2) + B ≡ B(2+5) = B7; -6 = 12(-1) + 6 ≡ 6(-1+5) = 64.

EJEMPLO 16

ALTURAS DEL EJEMPLO 15 EXPRESADAS POR MEDIO DE DOS NOTACIONES

A diferencia de lo que sucede con la notación convencional, la nueva notación es fácilmente descifrable en cualquier registro. Esto se debe, por un lado, a que toda altura ad, al ser transferida de octava, mantiene invariante el valor de a. Por otro lado, el valor de d en ad resultará evidente para el músico con formación académica, acostumbrado al manejo de los índices acústicos.

El ejemplo 17 ilustra la equivalencia enarmónica y no equivalencia de octava, propias del espacio-a, expresadas por medio de notación musical y de la nueva notación numérica de la altura.

EJEMPLO 17

DOS PROPIEDADES DEL ESPACIO-A, EXPRESADAS MEDIANTE LA NUEVA NOTACIÓN DE LA ALTURA

a)Equivalencia enarmónica

b)No equivalencia de octava

1.14. Intervalo ordenado simplificado

El intervalo ordenado simplificado en el espacio-a, al que podemos abreviar como “i.s.”, se indica por medio de un entero que representa un intervalo simple (menor a la octava), cuyo valor numérico se encuentra definido, por lo tanto, para 0, 1, 2, ..., 11 (con el objeto de mantener homogénea la notación, continuaremos escribiendo 10 como A y 11 como B). A éste entero se le agrega un subíndice que precisa el número de octavas a través de las cuales se extiende el intervalo.

Pero antes de abordar el intervalo ordenado simplificado será necesario definir la función “signo” (sgn).

Sea Z el conjunto de los números enteros y x cualquier entero (x ∈ Z).

La función sgn mapea a todo Z en {-1, 0, 1}, lo que denotamos como:

sgn:Z→ { -1,0,1 }

Así , por ejemplo, tenemos que sgn(-8) = -1, sgn(0) = 0 y sgn(4) = +1.

Ahora es posible definir el intervalo ordenado simplificado en función de los cuatro casos que se muestran a continuación.

Caso 1. Sea la secuencia ordenada de alturas ac, bd. Sean a ≥ b, c ≥ d.

Caso 2. La misma secuencia de alturas. Sean a ≤ b, c ≤ d.

Caso 3. La misma secuencia de alturas. Sean a > b, c < d (caso mixto).

Caso 4. La misma secuencia de alturas. Sean a < b c > d (caso mixto).

En resumen, los resultados son:

α ) Para los dos casos mixtos: i.s.<ac, bd> = S(-|b - a|) |d - c|8

β ) Para los dos casos mixtos: i.s.<ac, bd> = S(-|b - a|) mód.12|d - c| - 1 donde S = sgn(d - c)

y mód. 12 significa que lo que está entre paréntesis se calcula por medio de la aritmética mód. 12.

Los dos resultados anteriores se pueden condensar en la siguiente fórmula: i.s.<ac, bd> = S((-1)|b - a|) mód. 12|d - c| - (1)

donde (-1) indica que se multiplica por -1 si y sólo si tenemos un caso mixto.

-(1) indica que se resta -1 si y sólo si tenemos un caso mixto.

Digamos que nos interesa obtener el intervalo simplificado entre las alturas <56, A5>. Se puede apreciar que 5 < A y 6 > 5, por lo que estamos ante un caso mixto. Procedemos entonces a sustituir las variables de la fórmula correspondiente al caso mixto por las alturas 56 y A5: i.s.<56, A5> = S(-|A - 5|) mód. 12|5 - 6| - 1. Al realizar las operaciones indicadas obtenemos: S(-|5|) mód. 12|-1| - 1. Ahora bien, -5 (mód. 12) = -5 + 12 = 7 y, en lo que respecta a la operación señalada en el subíndice, tenemos que |-1| - 1 = 1 - 1 = 0, lo que nos da: S(7)0. Sólo resta saber si el intervalo es ascendente o descendente, para lo cual será necesario obtener el valor de S. La definición de caso mixto nos dice que S = sgn(d - c), lo que en nuestro caso nos da: S = sgn(5 - 6). Como 5 - 6 = -1, tenemos que S = sgn(-1). Vemos que el signo de -1 es menos (-), por lo que S será sustituido por dicho signo: S(7)0 = -70. Por lo tanto, i.s.<56, A5> = -70, es decir, que para ir de la altura 56 a la altura A5 se debe de descender siete semitonos (y ninguna octava), como se muestra en el ejemplo 18.