Fundamentos teóricos de la música atonal

EJEMPLO 18

i.s. <5₆, A₅>=7₀

En el ejemplo 19 tenemos cuatro intervalos ordenados simplificados que corresponden a cada uno de los casos posibles. Debajo del pentagrama se desglosa el procedimiento para su obtención.

EJEMPLO 19

EL INTERVALO ORDENADO SIMPLIFICADO REPRESENTADO EN SUS CUATRO CASOS

Una característica fundamental de la nueva notación es que, independientemente de la extensión que presente el intervalo ordenado, es capaz de expresar con claridad su cualidad sonora. Esto es posible debido a que la variable a en ± ac nos indica cuál es el intervalo simple, ascendente o descendente, que se extiende a lo largo de c octavas, cosa que no sucede con la notación numérica tradicional, más allá de la primera octava de extensión.

El lector habrá notado que la obtención informal del intervalo ordenado simplificado es sencilla. Basta con sumar mentalmente n octavas ascendentes o descendentes, dependiendo de la dirección del intervalo, a la nota de partida hasta ubicarla a menos de una octava de distancia de la nota de arribo, lo que nos da el valor de c en ac; después se obtiene el intervalo simple a.

1.15. Intervalo no ordenado simplificado

El intervalo no ordenado simplificado, al igual que el ordenado, se divide en cuatro casos:

Caso 1. Sean las alturas ac, bd. Sean a ≥ b, c ≥ d.

Caso 2. Las mismas alturas. Sean a ≤ b, c ≤ d.

Caso 3. Las mismas alturas. Sean a > b, c < d (caso mixto).

Caso 4. Las mismas alturas. Sean a < b, c > d (caso mixto).

α) Para los dos primeros casos: i.s.{ac, bd} = |b - a||d - c|

β ) Para los dos casos mixtos: i.s.{ac, bd} = (-|b - a|) mód. 12|d - c| - 1

Los dos resultados anteriores se pueden condensar en la siguiente fórmula:

i.s.{ac, bd} = ((-1)|b - a|) mód. 12|d - c| - (1)

donde (-1) indica que se multiplica por -1 si y sólo si tenemos un caso mixto.

-(1) indica que se resta -1 si y sólo si tenemos un caso mixto.

Se puede apreciar que la definición de intervalo no ordenado simplificado es similar a la de intervalo ordenado simplificado, sólo que sin la función sgn (signo). Esto se debe a que dicha función es la que define la dirección ascendente o descendente del intervalo, la cual no opera en el intervalo no ordenado simplificado, ya que éste mide la distancia absoluta entre dos alturas que son consideradas como real o conceptualmente simultáneas.

Nótese que, por definición, i.s.{ac, bd} = i.s.{bd, ac}, es decir, que el orden en el cual se escriban las dos alturas es irrelevante (lo que resulta imprescindible dado que éstas son simultáneas). Lo anterior también es posible gracias a la exclusión de la función sgn de la definición del intervalo no ordenado simplificado.

Ahora veamos un ejemplo. Digamos que se desea obtener el intervalo simplificado entre las alturas simultáneas {43, 84}. Vemos que 4 < 8 y 3< 4, lo que nos indica que se trata de un ejemplo del caso 2. Sustituyendo las variables de la fórmula correspondiente a dicho caso por las alturas 43 y 84, se obtiene: i.s.{43, 84} = |8 - 4||4 - 3|. El resultado de las restas anteriores es: i.s.{43, 84} = 41, es decir, que la distancia absoluta entre las alturas 43 y 84 es de cuatro semitonos más una octava.

EJEMPLO 20

Se observa que el intervalo no ordenado simplificado, a diferencia de lo que sucedía con el intervalo no ordenado abordado en el punto 1.5, no se expresa con notación de valor absoluto; ésta resulta innecesaria, ya que el intervalo en sí carece de signo por el simple hecho de que la función sgn no figura en su definición.8

En el ejemplo 21 tenemos cuatro intervalos no ordenados simplificados que corresponden a cada uno de los casos posibles. Debajo del pentagrama se presenta el procedimiento para su obtención. Nótese que en el caso 1 el intervalo simplificado no ordenado es empleado con alturas consecutivas, por lo que éstas son consideradas como “conceptualmente simultáneas”.9

EJEMPLO 21

EL INTERVALO NO ORDENADO SIMPLIFICADO REPRESENTADO EN SUS CUATRO CASOS

Relaciones entre conjuntos
2.1. Introducción al manejo de conjuntos

El rompimiento con la tonalidad llevado a cabo por varios compositores a principios del siglo XX estableció una serie de retos en materia de estructuración sonora. Nuevos medios tuvieron que ser desarrollados con el fin de obtener una coherencia lineal y armónica que fuera independiente de la jerarquía derivada de las funciones armónicas y la conducción lineal del viejo sistema, así como de la omnipotencia de la tríada (a partir de cuya horizontalización, de acuerdo con Schenker, se generan las estructuras tonales en todos los niveles). Ya hacia el final de la primera década del siglo XX, Schoenberg y sus alumnos, Webern y Berg, habían empezado a establecer los fundamentos del nuevo universo sonoro.

A manera de toma de contacto con el nuevo tipo de estructuración, empecemos por explorar en forma intuitiva el inicio de la primera de las tres piezas para piano op. 11, compuestas por Schoenberg en 1909.

EJEMPLO 22

EXPLORACIÓN INTUITIVA DEL INICIO DE UNA PIEZA ATONAL (ARNOLD SCHOENBERG. DREI KLAVIERSTÜCKE, OP. 11: Nº 1, CC. 1-8)

Indudablemente, lo primero que salta a la vista son los puntos de contacto con la tradición presentes aún en el pensamiento schoenberguiano, entre los cuales destaca la textura homofónica de los tres primeros compases, con la melodía de claro perfil temático localizada en la mano derecha y el acompañamiento representado por dos acordes. También se puede apreciar la delimitación de la primera referencia temático-estructural de la obra dentro de un periodo “normativo” de ocho compases (los compases 9-11, no mostrados en el ejemplo, retoman el material temático de los compases 1-3, acompañados de un cambio de tiempo), que, sin embargo, rompe su simetría interna al estar dividido en dos frases de 3+5 compases.10

A pesar de las consideraciones anteriores, no cabe la menor duda del carácter revolucionario del lenguaje, sobre todo tomando en cuenta que la pieza representa uno de los primeros esfuerzos, en la historia de la música occidental, por establecer un universo coherente libre de la influencia tonal. Por ejemplo, destaca el alto grado de saturación en el manejo de las clases de alturas, así como el control de la distribución de los 12 sonidos. De esta manera, la melodía de los compases 1-3 presenta seis sonidos diferentes (las c.a. B, 8, 7, 9, 5, 4) con apenas una repetición inmediata (la c.a 5 del segundo al tercer compás), mientras que los dos acordes que la acompañan aportan las nuevas c.a. 6, 1 y A (todas ellas ubicadas en las voces extremas, que es donde más destacan auditivamente), con lo que tenemos ya nueve c.a. diferentes en sólo tres compases. De las tres c.a. que faltan para completar el total cromático, dos de ellas, las c.a. 0 y 2, aparecen en las voces internas de las dos primeras díadas armónicas (una en cada mano) del compás 4, lo que evidencia una distribución simétrica del material. Además, ambas díadas sirven de presentación del material contrastante de los compases 4-8 y aparecen precedidas por silencios de cuarto que realzan su importancia estructural (a nivel local, por supuesto). El último sonido, la c.a. 3, queda reservado para hacer su aparición junto con el siguiente material contrastante, por lo que tendrá que esperar hasta el compás 12 (no incluido en el ejemplo), en donde servirá de bajo a un arpegio ascendente-descente que inaugurará una serie de parámetros, tales como la dinámica ppp, el uso de treintaidosavos, el pedal de sordina y un tiempo marcado “más rápido”. Si ahora observamos más de cerca la organización de los diversos “objetos sonoros” que conforman el discurso, podremos apreciar que los tres primeros compases muestran una marcada inclinación por los grupos de tres notas. La melodía, por ejemplo, está claramente dividida en dos grupos, o conjuntos, cada uno de los cuales contiene tres notas diferentes (el primer conjunto contiene las c.a. B, 8, 7 y el segundo las c.a. 9, 5, 4). Desde una perspectiva melódica, el primer conjunto representa un motivo que es expandido por el segundo conjunto. Dicha expansión no se limita al contorno (el primer motivo tiene un descenso total de i.a.<B5, 75> = -40, mientras que el segundo presenta un descenso de i.a.<95, 45> = -50), y a los intervalos individuales (el primer motivo está formado por los intervalos ordenados -30, -10, y el segundo por -40, -10), sino que también afecta el número de ataques (el primer motivo tiene tres notas sin repetición = 3 ataques, mientras que el segundo motivo repite la segunda nota = 4 ataques), y la duración (el primer motivo abarca un total de 7 octavos y su nota más larga dura 3 octavos, mientras que el segundo abarca un total de 9 octavos y su nota más larga dura 4 octavos).11 Este motivo de tres notas se seguirá desarrollando a lo largo de la pieza, en una forma que no puede evitar compararse con la manipulación temática Mahleriana, tan cara a Schoenberg durante su primera etapa tonal (es importante señalar, sin embargo, que las otras dos piezas de la op. 11 inician el abandono de la dependencia temática).

Siguiendo con nuestra aproximación intuitiva al inicio de la pieza, podemos ver que los dos acordes de los compases 2 y 3 también son ejemplos de conjuntos de tres sonidos. Ahora bien, si buscamos establecer una comparación entre los cuatro conjuntos localizados hasta el momento, nos será de utilidad la aproximación propuesta en el ejemplo 23.

EJEMPLO 23

CONJUNTOS DE TRES SONIDOS EXTRAÍDOS DE LOS TRES PRIMEROS COMPASES DEL EJEMPLO 22

Lo que se ha hecho aquí es reordenar los cuatro conjuntos, ubicándolos en el espacio-c.a. (esto es, ubicando cada conjunto dentro de los límites de una octava) y escribiendo primero el intervalo más pequeño entre los elementos (clases de alturas) que los conforman. Los conjuntos a) y b) contienen las c.a. de los dos motivos melódicos analizados anteriormente, mientras que los conjuntos c) y d) contienen las c.a. de los acordes de los compases 2 y 3, respectivamente. Se puede observar que existe un alto grado de similitud entre las sonoridades representadas por los cuatro conjuntos, sobre todo debido a que todas contienen un intervalo 1 y excluyen los intervalos 2, 7, 9, A y B. Esto se traduce auditivamente en un sonido muy homogéneo que le proporciona gran unidad a los tres primeros compases, independientemente de la distribución espacial que reciben los cuatro conjuntos en la pieza (los conjuntos a) y b) se encuentran localizados dentro de los límites de la octava, mientras que los conjuntos c) y d) la rebasan). Esto, sin duda, crea una subcategoría auditiva que se une a la diferenciación entre melodía y acompañamiento. Además podemos notar que los conjuntos a) y d) comparten la misma estructura interválica, por lo que representan la relación más directa entre los cuatro objetos sonoros y establecen un vínculo auditivo entre la melodía y el acompañamiento (en otras palabras, se podría decir que el conjunto d) transfiere al acompañamiento la imagen sonora del primer motivo melódico de la pieza).

Echemos un vistazo ahora al material sonoro de los compases 4 a 8, empezando por el pentagrama superior. Se puede observar que toda la música en dicho pentagrama es susceptible de ser incorporada a, o contenida por, el conjunto de clases de alturas {0, 4, 7, A, B}, al que llamaremos conjuntoX. De hecho, todo el material musical de los compases 5 al 8 (en el pentagrama superior, por supuesto) se reduce a tres apariciones de X, claramente separadas por medio de silencios (ver ejemplo 22). Sin embargo, el orden en el que se presentan las clases de alturas varía en cada aparición del conjunto (lo mismo se puede decir de sus duraciones individuales), sin que por ello se ponga en riesgo su pertenencia al mismo (de igual modo sucede con la reordenación propuesta en el ejemplo 23 con respecto del orden original que guardan en la pieza los elementos de los conjuntos que aparecen en a), b), c) y d)). Ésta es una de las características más importantes de los conjuntos de alturas y de clases de alturas: los que comparten los mismos elementos son considerados equivalentes, independientemente del orden que presenten dichos elementos en la partitura.

En el pentagrama inferior encontramos un conjunto cuya presencia domina los compases 4 al 8; se trata del conjunto de c.a. {2, 6, 8, 9, A, B}, al que llamaremos conjunto Y, y que, también en este caso, aparece en tres ocasiones. En los compases 7 y 8, entre la segunda y tercera aparición del conjuntoY, se encuentran las c.a. 1 y 0 que no pertenecen al mismo y que dejaremos a un lado por el momento. Se puede observar que, a diferencia del conjunto X, el conjuntoY presenta siempre sus elementos en el mismo orden (y con los mismos valores de duración) en sus diferentes apariciones.12

EJEMPLO 24

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS EN LOS COMPASES 4 Y 5 DEL OP. 11, Nº1, DE SCHOENBERG

Existen varios puntos de contacto entre el conjuntoX y el conjuntoY. Uno de ellos, por supuesto, es que comparten las c.a. A y B. En el ejemplo 24 a), que muestra la aparición de ambos conjuntos en los compases 4 y 5, se puede apreciar cómo éstos generan un subconjunto de tres notas que incluye, en ambos casos, las c.a. A y B. El subconjunto del conjunto X abarca la totalidad de la voz inferior, mientras que el subconjunto de Y comprende las tres últimas notas de la voz superior. En el ejemplo 24 b) se presentan ambos subconjuntos en su disposición más compacta, lo que nos permite apreciar que tienen la misma estructura interválica. El nexo entre los mismos se ve reforzado, además, debido a que las dos c.a. que comparten —las c.a. A y B—, se encuentran en el mismo índice acústico en todas sus apariciones (si transferimos estas c.a. al espacio-a se convertirán en A4 y B4 en los dos subconjuntos) y, en el caso particular de los compases 4 y 5 (ejemplo 24 a)), se suceden en forma directa.

Otro nexo importante entre los conjuntos X eY se evidencia en los compases 7 y 8 en donde, debido a una nueva disposición de los elementos del conjunto X, queda al descubierto un subconjunto formado por una tríada mayor, que es expuesta en forma imitativa por los dos conjuntos, como se puede observar en el ejemplo 25. Es importante señalar que las diferentes relaciones en el subconjunto que han surgido entre los conjuntos X eY se deben a las redistribuciones de los elementos del conjunto X en sus diversas apariciones.

EJEMPLO 25

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS EN LOS COMPASES 7 Y 8 DEL OP. 11, Nº1 DE SCHOENBERG

Como se comentó anteriormente, en el compás 7 aparecen las c.a. 1 y 0, a las que hemos considerado ajenas a los conjuntos X eY debido a que no se encuentran presentes en las otras apariciones de dichos conjuntos. En el ejemplo 26 a) podemos ver que al unir dichas c.a. con el Re natural del conjunto Y, se crea un nuevo conjunto {1, 0, 2}. El ejemplo 26 b) nos muestra que el nuevo conjunto presenta la misma estructura interválica que los subconjuntos analizados en el ejemplo 24 b). Finalmente, en el ejemplo 26 c) las flechas muestran que el nuevo subconjunto {1, 0, 2}, localizado en el pentagrama inferior, es una imitación retrógrada al intervalo -A0, del conjunto de la línea inferior de X; esta relación explica la inversión del orden y del valor numérico de sus respectivos intervalos ordenados de altura.

EJEMPLO 26

IMITACIÓN RETRÓGRADA ENTRE LOS ELEMENTOS DE DOS CONJUNTOS (ARNOLD SCHOENBERG. DREI KLAVIERSTÜCKE, OP. 11: Nº 1, CC. 7-8)

Por último, cabe preguntarse si existirá algún tipo de conexión entre el material de los compases 1-3 y el de los compases 4-8. La respuesta se encuentra en los compases 4 y 5. Aquí se puede observar que las c.a 7 y B en el pentagrama superior y la c.a. 8 en el pentagrama inferior corresponden a las c.a. del conjunto de las tres primeras notas de la pieza (ver los ejemplos 22 y 23 a)). Además, en los compases 7 y 8 las tres c.a. se encuentran claramente relacionadas al ser atacadas al mismo tiempo y mantenerse sonando hasta el siguiente compás, mientras que todas las notas a su alrededor duran únicamente un octavo (con la única excepción del Mi del compás 4 que dura un cuarto). Obsérvese, también, que las tres c.a. no volverán a estar relacionadas con tanta claridad en las dos siguientes apariciones de los conjuntos X e Y (ver ejemplo 22). Resulta claro que Schoenberg buscó establecer la conexión más fuerte entre los materiales contrastantes de los compases 1-3 y 4-8 en el momento mismo de la transición entre dichos materiales, asegurando así el punto de unión entre ambas secciones.

Esta introducción informal al manejo de conjuntos ha pretendido servir de punto de contacto con respecto a algunas relaciones básicas que se pueden establecer entre los mismos, con el propósito de sugerirle al lector su importancia estructural en el pensamiento musical atonal. En este capítulo y los siguientes, procederemos a tratar éstas y otras relaciones en forma un poco más detallada y rigurosa.

2.2 Conjuntos de clases de alturas

Antes de abordar los diferentes tipos de relaciones que se dan entre los conjuntos, será conveniente definir el conjunto y sus elementos, establecer el concepto de cardinalidad y conocer algunos tipos de conjuntos básicos como el agregado, el universo, y el conjunto vacío.

Los conjuntos de clases de alturas, a los que podemos llamar simplemente conjuntos, se utilizan para representar sonoridades en el espacio-c.a. Un conjunto es una colección de clases de alturas no ordenadas y escritas sin repeticiones.

Normalmente, se usan letras mayúsculas para representar los conjuntos. En contextos en los cuales la notación pudiera resultar ambigua, es recomendable evitar aquellas letras que en la teoría atonal representan operaciones o entidades ajenas a los conjuntos, tales como A, B, C, D, E, F, G, que podrían ser confundidas con alturas o clases de alturas, o también T, I, U, M, P, R, V, cuyo significado se irá revelando en este libro.

Los elementos de los conjuntos se delimitan por medio de llaves ({·}) y pueden escribirse de corrido o separados por medio de comas o espacios. Por ejemplo, dado un conjunto Y que contenga las c.a. 0, 1 y 3, dicho conjunto puede aparecer representado en cualquiera de las siguientes maneras: Y = {013}; Y = {0 1 3}; Y = {0, 1, 3}.

EJEMPLO 27

EL CONJUNTO COMO REPRESENTACIÓN DE UNA SONORIDAD

(MARIO LAVISTA, SIMURG, PARA PIANO: A) = CC. 1-2, B) = CC. 44-45. C) = CC. 48. D) = CC. 62, E) = CC. 64)

En este ejemplo se presentan varios extractos de una pieza para piano de Mario Lavista. En el primer compás de la obra se expone, en el bajo, un fragmento de cuatro notas al que clasificaremos como el conjunto X = {3,4,9,A}. Dicho conjunto representa el cimiento sobre el cual se erguirá toda la arquitectura de la pieza, como nos deja ver claramente el compositor al presentarlo al inicio de la obra, aislado de cualquier interferencia sonora. Durante los primeros diez compases de la pieza, el conjunto X será tratado como un ostinato, monopolizando la parte del bajo (los primeros dos compases del ostinato aparecen en el ejemplo 27 a)). Sin embargo, se podrá apreciar en el ejemplo que, lejos de permanecer limitado al bajo, X hace su aparición en prácticamente todas las voces, registros y disposiciones imaginables: se le puede ver desplegado en forma lineal, armónica o mixta; con o sin repetición de clases de alturas; presentado en forma contigua o fracturada (este último caso se puede apreciar en la voz superior del ejemplo 27 c) donde X aparece escindido por la c.a. 8, que no forma parte del conjunto); localizado en una o varias voces; con valores de duración largos o muy breves (como en el caso de las notas de adorno del ejemplo 27 a)); limitado a un registro reducido o esparcido a lo largo de dos o más octavas, etc. Lo importante es que, independientemente de la forma en que sea presentado, el conjunto X puede ser reducido conceptualmente a una entidad sonora única al ser clasificado como X = {3,4,9,A}. Con lo anterior, se le despoja de atributos tales como el ritmo, registro, disposición o repetición de sus elementos y se le convierte en una abstracción de su sonoridad básica, establecida en función de la simple enumeración de las clases de alturas que lo componen.

Es importante tener presente que no es un conjunto ordenado: X = {3,4,9,A} = {3,4,A,9} = {3,9,4,A} = {3,9,A,4} = {3,A,4,9} = {3,A,9,4} = {4,3,9,A} = {4,3,A,9} = {4,9,3,A} = {4,9,A,3} = {4,A,3,9} = {4,A,9,3} = {9,3,4,A} = {9,3,A,4} = {9,4,3,A} = {9,4,A,3} = {9,A,3,4} = {9,A,4,3} = {A,3,4,9} = {A,3,9,4} = {A,4,3,9} = {A,4,9,3} = {A,9,3,4} = {A,9,4,3}. En otras palabras, los elementos de X pueden ser escritos en cualquier orden sin que la integridad del conjunto se vea afectada. Esta propiedad es inherente a todo conjunto no ordenado.13

También se pueden emplear los conjuntos para representar alturas en el espacio-a. Éstos se conocen como conjuntos de alturas y se utilizan para clasificar grupos de notas de registro fijo, sobre todo acordes. Así, en el ejemplo 28, el acorde ubicado en el primer tiempo de los compases 1 y 2 y en el compás 3 se representaría como Q = {02, 03, 06, 26, 07}. En este caso, tampoco importa el orden en que aparezcan los elementos de Q.