Fundamentos teóricos de la música atonal

EJEMPLO 28

EL CONJUNTO DE ALTURAS COMO REPRESENTACIÓN DE UN ACORDE DE REGISTRO FIJO (ARMANDO LUNA, SONATA PARA PIANO: 1ER MOV., DANZA, CC. 1-3)

2.3. Los elementos de un conjunto

Si W es un conjunto y w es uno de los objetos contenidos dentro del conjunto, entonces escribiremos: w ∈ W, lo cual leeremos como “w es un elemento del conjunto W”. En caso de que w no se encuentre entre los elementos de W, escribiremos: w ∈ W, lo cual leeremos como “w no es un elemento del conjunto W”. En el caso del ejemplo 27, tenemos que las clases de alturas 3, 4, 9, A ∈ X, mientras que la c.a. 5 ∈ X. Siempre se utilizarán letras minúsculas para representar a los elementos de un conjunto.

2.3. El agregado y el universo

Es común encontrar en textos de matemática relativos a la teoría de conjuntos, que los términos agregado y conjunto son utilizados como sinónimos.14 En la teoría atonal, sin embargo, se le llama agregado al total cromático ubicado en el espacio-c.a., o sea, al conjunto que contiene las 12 clases de alturas.

El agregado ha jugado un papel muy importante como colección referencial, no sólo dentro de la técnica dodecafónica, sino en la música atonal en general (pre y post-dodecafónica).15 En el caso del ejemplo 29, la disposición de los compases se encuentra determinada por la distribución temporal del agregado, por lo cual se establece una relación de uno o dos agregados por compás.

EJEMPLO 29

COMPASES DETERMINADOS POR EL AGREGADO (JUAN TRIGOS, CUARTETO DA DO, PARA CL., SAX., GUIT. Y BONGÓS: DANZA L, CC. 1-8)

En el ejemplo 30, el agregado juega también un papel fundamental en la conformación del discurso musical, aunque de una forma totalmente distinta a la del ejemplo 29, en el cual el agregado se manifiesta desde el primer compás y mantiene su presencia a lo largo del pasaje, mientras que en el ejemplo 30 representa el objetivo de un proceso acumulativo lineal. Dicho de otra forma, en el primer caso la música fluye desde el agregado; en el segundo, hacia el agregado.

EJEMPLO 30

EL AGREGADO COMO OBJETIVO DE UN PROCESO LINEAL ACUMULATIVO (GEORGINA DERVEZ, FANTASÍA, PARA VIOLÍN Y PIANO: I. PRELUDIO, CC. 1-10)

Veamos el ejemplo 30 un poco más en detalle. La pieza inicia con el conjunto C1 = {7,8,9}; en el segundo compás C2 incorpora la c.a. 6 y forma la colección {6,7,8,9}; el proceso de acumulación de clases de alturas continúa con—C3 y C4, hasta alcanzar el agregado (al que hemos llamado C5) en los cc. 8-9. El lector habrá advertido que todos los conjuntos anteriores son cromáticos. De hecho, el proceso acumulativo es llevado a cabo en el espacio-a dentro de una sola octava, de tal manera que la consolidación del agregado coincida con la saturación cromática de ésta, como se puede apreciar en el ejemplo 31.

EJEMPLO 31

DESPLIEGUE TEMPORAL DEL AGREGADO DEL EJEMPLO 30 EN FORMA CROMÁTICA EN EL ESPACIO-A

Esta condensación extrema de las alturas contrasta con la textura del ejemplo 29, en la cual los agregados se distribuyen libremente en el espacio-c.a. y ninguna de las partes instrumentales es cromática.

La distribución del agregado suele estar íntimamente ligada a la instrumentación. Así, en el ejemplo 29 la mitad de las c.a. de cada agregado es destinada invariablemente al clarinete, mientras las seis restantes se reparten entre el saxofón y la guitarra, excepto en el caso del primer agregado, en el cual la instrumentación hace un énfasis particular en la c.a. 0. En lo que respecta al fragmento del ejemplo 30, cada nuevo elemento que se acumula en el camino hacia el agregado expande cromáticamente el registro del piano en forma descendente, hasta alcanzar una extensión máxima de 60 al momento de ser incorporada la c.a. 3, tal como se muestra en el ejemplo 31.

En el compás 8, la entrada del violín propicia un relevo instrumental en lo que se refiere a la asignación de las cinco últimas notas del agregado (cada una de ellas podrá aparecer en el piano sólo después de haber sido escuchada en el violín). En el ejemplo 31, este relevo instrumental va asociado a un cambio de dirección en el despliegue del agregado, que ahora asciende cromáticamente a partir de la altura A5, la cual se encuentra a un intervalo de +10 con respecto a la altura superior del piano, hasta alcanzar la altura 26 (en la partitura la altura 26 aparece dos dieciseisavos antes que la 16: ver el compás 9 del ejemplo 30). Desde la perspectiva de la dinámica, la compositora ha cuidado también que el punto climático del pasaje se localice cerca del lugar en el que es alcanzado el agregado: el piano logra su máxima dinámica al inicio del compás 10, solamente un tiempo después de que el violín completa el agregado, mientras que el clímax dinámico del violín es diferido un tiempo más, para hacerlo coincidir con la nota más aguda del pasaje, la altura 76.

El universo o conjunto universal, al que representaremos con la letra U, no es una colección fija, sino un conjunto que contiene el número total de elementos disponibles dentro de un contexto determinado. Veamos, por ejemplo, el caso de la pieza Dérive, de Boulez, en la que todas las alturas tienen un registro fijo y se distribuyen con base en un sistema de seis acordes, que son empleados como zonas de influencia armónica.

EJEMPLO 32

DISTRIBUCIÓN ESPACIAL DE LOS SEIS ACORDES GENERADORES EN DÉRIVE

Dado que las alturas fijadas por los seis acordes del ejemplo 32 son las únicas que se utilizan en la pieza (salvo algunos casos aislados de notas fuera de registro que aparecen sobre todo hacia el final de la obra), el universo de Dérive se encontrará representado por el conjunto U ={B2,23,53,A3,14,24,34,44,64,74,94,A4,B4,05,35,45,55,65,85,A5,06,26,46,66,86,57}, que contiene todas las alturas del ejemplo 32, sin duplicaciones.

El universo del ejemplo anterior es susceptible de ser traducido al espacio-c.a. y generar un agregado, ya que contiene una representación de las 12 clases de alturas. De hecho, el agregado es la colección mayor que se puede obtener en el espacio-c.a. Sin embargo, puede ocurrir, tanto en el espacio-a como en el espacio-c.a., que el universo sonoro de una pieza atonal sea menor que el agregado.

EJEMPLO 33

EL CONJUNTO UNIVERSAL COMO COLECCIÓN CONTEXTUAL (IGOR STRAVINSKY, QUATRE ÉTUDES, PARA ORQUESTA: I, DANSE, CC. 38-41)

El ejemplo 33 expone un fragmento del primero de los cuatro estudios para orquesta de Stravinsky. El pasaje orquestal del ejemplo integra a todos los instrumentos que participan en la pieza. El estudio se desarrolla en el espacio-a, ya que cada instrumento tiene asignado un conjunto de alturas fijas que se mantiene sin variación a lo largo de toda la pieza. Esto quiere decir que cualquier altura emitida por un instrumento se encontrará también presente, en el mismo instrumento, en el fragmento del ejemplo 33.

Las maderas tienen asignada la función melódica principal en la obra y se mueven paralelamente a distancia de octava(s), como se aprecia en el ejemplo 33. Podemos ignorar las diferencias de octava traduciendo el pasaje al espacio-c.a., lo que nos permite expresar el material melódico de las maderas por medio del conjunto J = {0,7,9,B}. Por su parte, los violines primeros y segundos, reforzados por los cuatro cornos y las violas, presentan un breve motivo melódico de cuatro notas descendentes. Esta melodía secundaria, que a lo largo de la pieza interactúa de manera intermitente con la melodía principal de las maderas, se encuentra representada en el ejemplo por el conjunto de c.a. K = {1,3,4,6}. Un último grupo instrumental, conformado por el piano, el arpa, los timbales, las violas, los chelos y los contrabajos, tiene a su cargo la función del acompañamiento y su contenido de c.a. es expresado por el conjunto L = {0,1,2,3}. Si reunimos en un solo conjunto las c.a. de J, K y L, obtenemos el conjunto universal de la pieza, que es U = {0,1,2,3,4,6,7,9,B}. Por lo tanto, la obra presenta un universo sonoro más pequeño que el agregado, ya que 5, 8, A ∈ U.

2.5. El conjunto vacío.

Un conjunto sin elementos recibe el nombre de conjunto vacío o nulo, y se representa con el símbolo Ø.

2.6. Cardinalidad de un conjunto

La cardinalidad de un conjunto X expresa el número de elementos que éste contiene y se indica como “|X|”. Así, diremos que los conjuntos J = {0,7,9,B}, K = {1,3,4,6} y L = {0,1,2,3} del ejemplo 33 tienen, todos, una cardinalidad de 4 (ya que cada uno de ellos cuenta con cuatro elementos), lo que indicaremos como |J| = 4, |K| = 4 y |L| = 4. También tenemos, por ejemplo, que |Ø| = 0, mientras que en el espacio-c.a., |U| = 12.

2.7. Relación de inclusión entre conjuntos

Si S y Q son dos conjuntos, diremos que S está incluido en Q, o que S es un subconjunto de Q, cuando todo elemento de S sea también elemento de Q. Dicha relación se escribe: S ⊂ Q.

Lo anterior puede ser expresado por medio de la siguiente proposición:

(S ⊂ Q) ≡ (∀ s ∈ S, s ∈ S ⇒s ∈ Q)

En la teoría atonal, la inclusión será siempre estricta, lo que significa que el conjunto incluido será de cardinalidad menor que el que lo incluye. Lo anterior queda expresado en la siguiente proposición:

(S ⊂ Q) ≡ (∀ s ∈ S, s ∈ S ⇒s ∈ Q) ∧ (∃q | q ∈ Q ∧ q ∉ S)

En el caso anterior, S se encuentra literalmente incluido en Q, por lo que dichos conjuntos recibirán el nombre de subconjunto y superconjunto, respectivamente.

Si, por otro lado, S y Q son dos conjuntos, tales que |S| < |Q|, y al menos un elemento de S no es elemento de Q, escribiremos S ⊄ Q, lo que significa que S no está incluido en Q, o lo que es lo mismo, S no es un subconjunto de Q:

(S ⊄ Q) ≡ (∃ s | s ∈ S ∧ s ∉ Q)

Apéndice 1: Conceptos básicos de lógica y teoría de conjuntos, ver punto A1.4.

EJEMPLO 34

RELACIÓN DE INCLUSIÓN ENTRE CONJUNTOS DE CLASES DE ALTURAS (GEORGINA DERBEZ, FANTASÍA, PARA VIOLÍN Y PIANO: I, PRELUDIO, CC. 1-10)

En el ejemplo 34 se cita el pasaje de la Fantasía para violín y piano de Georgina Derbez, previamente analizado en el ejemplo 30. En esta ocasión, nos concentraremos en algunos aspectos concernientes a la organización de las c.a. en el piano.

Los conjuntos K contienen las c.a. tocadas por el piano a lo largo del pasaje y han sido ordenados cronológicamente por medio de una sucesión numérica ascendente K1, K2, ..., K5. Aquí, la relación de inclusión expresa el proceso acumulativo de K hacia la obtención del agregado, ya que K1 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ K4 ⊂ K5. No nos debe sorprender el hecho de que la cardinalidad máxima alcanzada por los conjuntos K, que es de 9 en K5, sea menor al agregado: recordemos que la tarea de completarlo ha sido asignada al violín.

Los conjuntos J contienen únicamente las c.a. correspondientes a la mano derecha del pianista (ubicadas en el pentagrama superior de la parte del instrumento); por definición, entonces, tenemos que cada conjunto K incluirá un conjunto J (de hecho, veremos un poco más adelante que puede llegar a incluir a más de uno).

J, al igual que K, es sometido a un proceso acumulativo, expresado por la relación J1 ⊂ J2 ⊂ J3. Existen varias razones para aislar a la mano derecha como objeto de estudio particular. En primer lugar, el comportamiento lineal de las dos manos es contrastante: la mano derecha tiene a su cargo únicamente sonidos simultáneos, que reciben una sola articulación por compás durante los cc. 1 a 3; en el cuarto compás da inicio un pulso isócrono de cuarto, primero sugerido por la articulación de la resonancia bajo la presión silenciosa de las teclas y, a partir del compás 6, ejecutado en forma tradicional. De hecho, es este pulso isócrono el que activa el proceso acumulativo de la mano derecha J1 ⊂ J2 ⊂ J3, que se traduce en acordes cuya densidad creciente va de dos a tres y, finalmente, cuatro notas por ataque, respectivamente. La mano izquierda, en cambio, toca exclusivamente sonidos no simultáneos, de duración variable, que a partir del compás 6 se contraponen rítmicamente al pulso de la mano derecha. En segundo lugar, el proceso acumulativo de la mano derecha se desarrolla en forma independiente al del piano, considerado en su totalidad (véase el desfasamiento de los ciclos J y K en el ejemplo 34): J1⊂ (K1, K2, K3); J2 ⊂ (K3, K4, K5); J3 ⊂ K5. Esto crea una tensión discursiva entre el desarrollo lineal de la mano derecha y el movimiento hacia el agregado del piano. Por último, la conformación interválica de los conjuntos J contrasta con la de los conjuntos K; si éstos se aglutinan cromáticamente en el espacio-a, las alturas (contiguas) de los primeros se encuentran conectadas por el intervalo 20. Esto quiere decir que mientras el piano en su totalidad tiende hacia el agregado, la mano derecha, por su parte, parece dirigir su atención hacia una colección de tonos enteros. Antes de abandonar el fragmento, vale la pena destacar un par de congruencias estructurales. La primera tiene que ver con la manera en que los conjuntos J llevan a cabo su proceso de incorporación de alturas: la díada vertical {75, 95} incorpora primero a la altura 55 (en J2), que se encuentra al intervalo -20 de la altura 75, y después incorpora a la altura B5 (en J3), que se encuentra al intervalo +20 de la altura 95. Este proceso es una réplica a escala de la forma en la cual el agregado es desplegado por los conjuntos C en el ejemplo 30. Allí, el piano lleva a cabo la incorporación de alturas por medio del intervalo -10 en los cc. 1-7 (conjuntos C1 a C5) y después, en los cc. 8- 10 (conjunto C5), el violín culmina el proceso con base en el intervalo +10, tomando como punto de partida la nota más alta del piano, la altura 95 (ver ejemplo 31).

La segunda congruencia involucra tanto al proceso acumulativo de la mano derecha del pianista, como a la tendencia hacia el agregado del piano y su obtención final por parte del violín. Ya vimos (e ilustramos en el ejemplo 31) que el registro del piano alcanza una extensión máxima de 60, antes de que aparezca el violín, en el compás 8, para llevar a cabo el relevo instrumental en el despliegue del agregado. Pues bien, la misma extensión máxima de 60, asociada a una densidad máxima de cuatro notas por ataque, es alcanzada por la mano derecha en J3, precisamente en el momento en el que el violín completa el agregado, como se puede ver en el ejemplo 34. Esta coordinación entre el punto climático de la mano derecha y la obtención del agregado por parte del violín sugiere una atractiva hipótesis para explicar la permutación de los dos últimos elementos del agregado del violín, las alturas 16 y 26. Recordemos que el violín empieza desplegando el agregado en forma cromática ascendente, en dirección opuesta al piano, por lo que se esperaría que concluyera con la altura 26, precedida por la 16, tal como se muestra en el ejemplo 31. Sin embargo, el orden de estas últimas dos alturas se encuentra permutado en la partitura, lo que propicia una coincidencia exacta entre la nota más alta del agregado en el violín, la altura 26, y el primer ataque del acorde, también climático, de la mano derecha del pianista, representado por J3.

En el ejemplo 35 se presenta un diagrama del tipo de Euler-Venn que ayudará a visualizar la relación de inclusión entre conjuntos. La letra U representa al universo.

EJEMPLO 35.

Diagrama de la relación de inclusión entre los conjuntos S y Q

También se puede indicar la inclusión invirtiendo los términos, es decir, escribiendo S ⊃ Q, que significa “S contiene a Q”, como se puede ver en el diagrama anterior.

2.8 Relación de unión entre conjuntos

Si S y Q son dos conjuntos, entonces podemos tener un tercer conjunto S ∪ Q, al que llamaremos “la unión de S y Q”, que es el conjunto más pequeño posible que contiene a S y Q como subconjuntos. Esto lo representamos como:

S ∪ Q = {x | x ∈ S v x ∈ Q}

Lo que significa que S ∪ Q es el conjunto cuyos elementos son aquellas x tales que x es uno de los elementos de S, o x es uno de los elementos de Q. En otras palabras, S ∪ Q es el conjunto que resulta de reunir en uno solo a los elementos de S y Q.

En el ejemplo 28 se abordó un pasaje de la sonata para piano de Armando Luna, que es reproducido ahora en el ejemplo 36. Viéndolo más detenidamente, se puede observar que el pasaje está basado en un gesto musical que involucra dos elementos: 1) un acorde de cinco notas que aparece en el primer tiempo de los compases 1 y 2, así como en el compás 3, y 2) un arpegio ascendente que se mueve por cuartas y que va incorporando elementos en cada una de sus apariciones (la primera vez que se escucha contiene las c.a. 0 y 6, mientras que en su segunda aparición contiene las c.a. 0, 6 y B). Si bien en el ejemplo sólo se muestran los primeros tres compases de la pieza, la tendencia acumulativa del arpegio es un elemento fundamental del discurso inicial de la obra.

En el ejemplo 36, el proceso acumulativo de los arpegios queda expresado en la relación K ⊂ L; mientras que la sonoridad total del fragmento, concebida como el producto de la reunión de dos procesos (conjuntos) independientes, queda expresada en la relación L ∪ J = X

EJEMPLO 36

RELACIÓN DE UNIÓN ENTRE CONJUNTOS DE CLASES DE ALTURAS (ARMANDO LUNA, SONATA PARA PIANO: 1ER MOV., DANZA, CC. 1-3)

El siguiente diagrama nos ayuda a visualizar la relación de unión entre conjuntos:

EJEMPLO 37.

Diagrama de la relación de unión entre los conjuntos

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2.9. Relación de intersección entre conjuntos

Si S y Q son dos conjuntos, entonces podemos tener un tercer conjunto que resulta de quedarse únicamente con los elementos que S y Q tienen en común. Este nuevo conjunto, al que llamaremos S∩Q, denota la intersección entre ambos.

Podemos representar la definición anterior por medio de la siguiente proposición:

S∩Q = {x | x ∈ S ∧ x ∈ Q}

Lo que significa que S ∩ Q es el conjunto cuyos elementos son aquellas x tales que x es elemento de S y x es elemento de Q.

En el ejemplo 38 tenemos un pasaje de Chain 2, para violín y orquesta, de Lutoslawski, en el que solamente participan el instrumento solista y la sección de cuerdas.

EJEMPLO 38

RELACIÓN DE INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS DE CLASES DE ALTURAS (WITOLD LUTOSLAWSKI, CHAIN 2, PARA VIOLÍN Y ORQUESTA: 4. A BATTUTA, Nº DE ENSAYO 116-117)

El conjunto V = {1,2,3,8,9,A,B} representa las c.a. empleadas por el violín en el pasaje, mientras que el conjunto S = {0,4,6,7,8} corresponde a las c.a. de la sección de cuerdas. La intersección entre ambos conjuntos aparece representada por el conjunto V ∩ S = {8}, ya que ésta es la única c.a. que comparten.

Se puede observar que la c.a. 8 juega un papel muy particular dentro del fragmento, ya que se escucha dos veces dentro del primer grupo de dieciseisavos en la parte del violín, mientras que en la sección de cuerdas es diferida hasta la entrada de los contrabajos; sin embargo, una vez que es incorporada al conjunto de la sección de cuerdas, desaparece de la parte del solista y es sustituida por la c.a. 1, que hace su aparición en el segundo grupo de dieciseisavos (en la parte del violín). De esta forma, la intersección entre los dos conjuntos es utilizada para llevar a cabo una transferencia de material entre el solista y la sección de cuerdas.

La relación de intersección entre conjuntos se ejemplifica en el siguiente diagrama: