Fundamentos teóricos de la música atonal

EJEMPLO 39

Diagrama de la relación de intersección entre los conjuntos S y Q

2.10. Conjuntos ajenos

Si S y Q son dos conjuntos, y S ∩ Q = ∅, entonces se dice que los conjuntos S y Q son ajenos o disjuntos, ya que no tienen ningún elemento en común.

En el ejemplo 40, la relación de conjuntos ajenos enfatiza el contraste entre el discurso dinámico del instrumento solista, localizado en un primer plano, y la desintegración rítmica de la sección de cuerdas, que es empleada como textura de fondo.

EJEMPLO 40

RELACIÓN DE CONJUNTOS AJENOS ENTRE CONJUNTOS DE CLASES DE ALTURAS (WITOLD LUTOSLAWSKI, CHAIN 2, PARA VIOLÍN Y ORQUESTA: 1. AD LIBITUM, Nº DE ENSAYO 2-3)

El conjunto del violín es: V = {0,1,3,4,5,8,B}, mientras que el correspondiente a la sección de cuerdas, que actúa en el pasaje sin los violines primeros, es S = {2,6,9,A}. Obsérvese que V ∩ S = ∅, ya que estos dos conjuntos no comparten ninguna c.a.

EJEMPLO 41

Diagrama de la relación de conjuntos ajenos entre S y Q

El conjunto S - Q

Si S y Q son dos conjuntos, entonces podemos tener un tercer conjunto que denotaremos con el símbolo S - Q, que leeremos “S menos Q” o “complemento de Q relativo al conjunto S”, que se caracteriza por ser el subconjunto más grande de S que es ajeno a Q :

En el ejemplo 38 se representó con el conjunto V = {1,2,3,8,9,A,B} el material del violín solista y con S = {0,4,6,7,8} el de la sección de cuerdas, por lo que S - V = {0,4,6,7}. Este último contiene todas las clases de alturas de los instrumentos de la sección de cuerdas que inician a principio de compás, quedando excluida la c.a. 8 que aparece posteriormente en los contrabajos (ver ejemplo 38).

EJEMPLO 42.

2.12. Conjuntos complementarios

Si S y Q son dos conjuntos, entonces Q será el complemento de S si contiene todos los elementos del universo que no aparecen en el conjunto S. El complemento de un conjunto se indica normalmente trazando una línea horizontal sobre la letra que lo representa. Así, S será el complemento del conjunto S y viceversa:

S = { x I x ∉ S ∧ x ∈ U }

Observemos que U - S = S, por lo que S ∪ S =U, mientras que S ∩ S = ∅.

EJEMPLO 43

CONJUNTOS DE C.A. COMPLEMENTARIOS (WITOLD LUTOSLAWSKI, CHAIN 2, PARA VIOLÍN Y ORQUESTA: 1. AD LIBITUM, Nº DE ENSAYO 15-16)

En el ejemplo 43, el conjunto V = {2,3,4,5,6,7,8,9} contiene las c.a. utilizadas por el violín solista, mientras que el conjunto W = {0,1,A,B} contiene las c.a. utilizadas tanto por el piano como por la sección de cuerdas (sin violines primeros). Obsérvese que el conjunto W = V, ya que contiene todas las c.a. del universo que no se encuentran en V, además de no compartir ninguna c.a. con dicho conjunto.

No olvidemos que nos encontramos en el espacio-c.a., por lo que U = agregado =V ∪ V.

El ejemplo 44 presenta otro caso de conjuntos complementarios.

EJEMPLO 44

EL COMPLEMENTO DE LA UNIÓN DE DOS CONJUNTOS (ARMANDO LUNA, SONATA PARA PIANO: 1ER MOV., DANZA. CC. 21-32)

El conjunto V = {0,B} del compás 21 representa, desde la perspectiva del registro, el punto climático de un pasaje previo de contorno ascendente, no incluido en el ejemplo. Se puede apreciar que la influencia de V como punto climático se mantiene a lo largo de todo el pasaje, y que su actividad rítmica se ve incrementada paulatinamente hasta el momento en que finalmente desemboca en el acorde del compás 32.16 El conjunto V interactúa con otros dos objetos sonoros a lo largo del fragmento (sin contar el acorde final del compás 32); éstos son: los nonillos con valor de dieciseisavo, representados por el conjunto W en la mano derecha y X en la mano izquierda, y el conjunto formado por las c.a. 0 y 6, que aparecen a principio del compás 24 y en el compás 26. Dejando a un lado este último conjunto, así como el acorde final del pasaje, que serán discutidos en el capítulo 4 (punto 4.1), tenemos que los conjuntos W = {2,4,5,7,9} y X = {1,3,6,8,A} son conjuntos ajenos, ya que W∩ X = ∅. Debido a que W y X aparecen siempre en forma simultánea, además de que tienen la misma duración y comparten un contorno simétrico invertido, dicho par de conjuntos son percibidos auditivamente como una sola sonoridad, a la que llamaremos conjunto Y, que se define por la relación W ∪ X =Y = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,A}. Podemos observar también que V = Y, y viceversa, ya que V ∩ Y = ∅ y V∪ Y =U dentro del contexto del espacio-c.a. La relación de complementos mutuos entre V e Y se encuentra resaltada en la partitura por la cercanía que ambos conjuntos mantienen durante todo el pasaje.

EJEMPLO 45

Diagrama de conjuntos complementarios

Ya se comentó que no importa la cardinalidad de cada conjunto, por lo que S ≤ S, ó S > S.

2.13. Diferencia simétrica o suma booleana

Esta relación entre conjuntos se define en función de la unión, intersección y diferencia relativa. Si S y Q son dos conjuntos, entonces S ∆ Q = (S ∪ Q)- (S ∩ Q).

La diferencia simétrica indica que S ∆ Q es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a S o a Q, pero no a ambos (es decir, los elementos de S y Q que quedan fuera de la intersección entre ambos conjuntos).

El pasaje musical del ejemplo 46 hace un uso extenso de la diferencia simétrica.

EJEMPLO 46

DIFERENCIA SIMÉTRICA ENTRE CONJUNTOS DE C.A. (HEBERT VÁZQUEZ, LAS NOSTÁLGICAS MUTACIONES DEL NÚCLEO, PARA GUITARRA AMPLIFICADA Y ORQUESTA: CC. 260-266)

Los conjuntos en los que están organizadas las clases de alturas del fragmento son α = {0,2,3,5,6,8,9,B}, β = {0,1,3,4,6,7,9,A}, y γ = {1,2,4,5,7,8,A,B}. Estos tres conjuntos de cardinalidad 8 poseen la misma estructura interválica, basada en la alternancia de intervalos 1 y 2 entre elementos contiguos. A este tipo de conjuntos se le conoce con el término genérico de colección octáfona y únicamente existen tres ejemplares diferentes de ellos, justamente los que hemos denominado α, β y γ. Un aspecto interesante de los tres conjuntos octáfonos es que α Δ β = γ; α Δ γ = β; y β Δ γ = α. Esto quiere decir que la diferencia simétrica entre dos conjuntos octáfonos cualesquiera será siempre igual al tercer conjunto octáfono faltante, como podrá comprobar el lector.

El material generador del ejemplo 46 es la línea melódica que inicia en los violines primeros y lleva a cabo un relevo instrumental en la guitarra para regresar a los mismos violines en los últimos dos compases. Se puede apreciar que dicha melodía está conformada exclusivamente por conjuntos α, β y γ en sucesión ininterrumpida (en realidad, la mayor parte son subconjuntos de α, β y γ, ya que su cardinalidad es menor a 8). El resto de las c.a. del fragmento, que se organizan en diversos grupos instrumentales, son generadas a partir de la diferencia simétrica entre los conjuntos adyacentes de esta melodía principal. Así, el grupo constituido por los violines segundos, las violas y los chelos se encuentra asociado a los violines primeros, y sus c.a. son definidas por la diferencia simétrica entre los conjuntos contiguos de estos últimos. En los dos primeros compases, por ejemplo, la línea de los violines primeros se compone de β seguido de γ, de manera que es precisamente la diferencia simétrica entre estos dos conjuntos la que establece las c.a. de los violines segundos, las violas y los chelos (ver ejemplo 46). De hecho, el trazo melódico de estos instrumentos podría ser continuo, como el de los violines primeros, pero en lugar de esto todos ellos presentan silencios en los puntos en que se localizan las c.a. de los violines primeros, que pertenecen a la intersección entre β y γ, es decir, en las c.a. 1, 4, 7 y A. Lo anterior se debe a que estas c.a., al quedar excluidas por definición de la relación β Δ γ (no olvidemos que β Δ γ = (β ∪ γ) - (β ∩ γ), son incapaces de ser decodificadas por los violines segundos, las violas y los chelos, para producir sus propias notas. Lo mismo sucede con el clarinete y el fagot, cuyo contenido de c.a., así como su rítmica común, se derivan de la diferencia simétrica entre los conjuntos adyacentes de la guitarra, a la que acompañan.

El código armónico que establece las clases de alturas de los instrumentos acompañantes es el que se muestra en las tablas del ejemplo 47.17

EJEMPLO 47.

Código armónico del pasaje correspondiente al ejemplo 46

Cada tabla posee ocho columnas de tres c.a. cada una; siempre nos referiremos a estas columnas numerándolas de izquierda a derecha. La c.a. ubicada en el extremo superior de cada columna pertenecerá invariablemente a la línea generadora y las dos restantes a los instrumentos que la acompañan. Tomemos como ejemplo la línea generadora de la guitarra, que inicia en el tercer compás del ejemplo 46: sus dos primeros compases están conformados por el conjunto g seguido de a. Por lo tanto, las c.a. del clarinete y el fagot, que la acompañan, son obtenidas de la relación α Δ γ, que es la que corresponde a la tabla 3. En la partitura, la guitarra inicia con la c.a. 1, que en la tabla 3 se encuentra como nota superior de la segunda columna, acompañada por las c.a. 9 y 4, que son tocadas por el clarinete y el fagot, respectivamente. La guitarra procede, entonces, con la c.a. 4, que ubicamos como nota superior de la cuarta columna, acompañada por la c.a. 6 en el clarinete y la c.a. 7 en el fagot. La tercera nota de la guitarra es la c.a. 2, pero dado que 2 ∉ (α Δ γ), el clarinete y el fagot, incapaces de decodificarla, la sustituyen por un silencio de dieciseisavo. Y así, podemos seguir con la lectura de la partitura. De esta manera, el código de las tres tablas no se limita a la generación de contenido armónico, sino que igualmente extrae variantes rítmicas de la línea continua original, al imponer silencios en los instrumentos que la acompañan.

Hay un último ingrediente del código armónico que fue concebido para otorgar mayor plasticidad al discurso musical. Se trata de una regla que establece que toda nota que aparezca por segunda ocasión en una línea melódica generadora, dentro de un pasaje continuo definido por la misma diferencia simétrica, será decodificada por un nuevo grupo instrumental en forma de notas tenidas asociadas a un crescendo. Tal es el caso de la c.a. 7, que es emitida dos veces por la guitarra en el quinto compás del ejemplo 46. En ese momento, las c.a. del clarinete y el fagot se encuentran bajo el dominio de α ∆ β, cuyo código armónico es generado por la tabla 2. De esta manera, la primera c.a. 7 de la guitarra es acompañada por la c.a. 5 del clarinete y A del fagot, de acuerdo con lo estipulado en la quinta columna de dicha tabla. Pero al ejecutar la guitarra su segunda c.a. 7, las c.a. 5 y A del acompañamiento (que ahora incorpora también a la propia c.a. 7) son transferidas a la flauta (c.a. 7), el oboe (c.a. 5), el corno (c.a. A) y los contrabajos (c.a. 7), y asociadas con una duración de cinco dieciseisavos y un crescendo de piano a mezzoforte (salvo en el caso de los contrabajos, cuya dinámica es de mezzoforte).

El código armónico-rítmico-instrumental estudiado en el pasaje del ejemplo 46 se extiende a lo largo de 25 compases, en los que sigue estando definido por los conjuntos octáfonos y sus diferencias simétricas (que también son conjuntos octáfonos, como ya vimos). Esto le confiere a la música una sonoridad característica.

EJEMPLO 48

Diagrama de la relación S ∆ Q

2.14. Algunos ejemplos de relaciones entre conjuntos en el espacio-a

Los seis acordes en los que está basada la obra Dérive de Boulez, expuestos en el ejemplo 32, nos servirán para explorar algunas relaciones entre conjuntos, ahora en el espacio-a.

Tenemos los siguientes conjuntos derivados de los acordes correspondientes:

Podemos empezar por investigar qué posibilidades de notas comunes tenemos entre dos acordes dados dentro del sistema; para esto, utilizaremos la relación de intersección:

De lo anterior se desprende la siguiente información:

1. Dado cualquier par de acordes, tendremos no menos de una nota común, ni más de dos, entre ambos; salvo en el caso de los acordes 3 y 5, que no presentan notas comunes entre sí.

2. El acorde 5 no tiene dos notas comunes con ningún otro acorde (0 acordes); el acorde 6 tiene dos notas comunes con el acorde 4 (1 acorde); el acorde 2 tiene dos notas comunes con el acorde 1 (1 acorde); el acorde 4 tiene dos notas comunes con los acordes 3 y 6 (2 acordes); el acorde 3 tiene dos notas comunes con los acordes 1, 2 y 4 (3 acordes).

3. Las posibilidades de notas comunes entre más de dos acordes son:

Esto es, la altura 94 actúa como nota común entre los acordes 1, 2 y 5; los acordes 4, 5 y 6 comparten la altura 14; mientras que la altura 35 es compartida por todos los acordes, excepto el acorde 5.

Si bien es cierto que esta información es meramente estadística y que su importancia real depende totalmente de las intenciones estructurales del compositor, es también indiscutible que nos da una perspectiva del potencial del material, lo cual puede resultar muy valioso como punto de partida analítico.

Por ejemplo, en el siguiente pasaje, tomado del inicio de la obra, las notas comunes entre los acordes 1 y 2 actúan a manera de puente entre ambos.

EJEMPLO 49

LA INTERSECCIÓN UTILIZADA COMO ENLACE ENTRE SONORIDADES (PIERRE BOULEZ, DÉRIVE, PARA FL., CL. EN LA, VN., VC., Y PF.: CC. 1-2)

En el ejemplo 49 se lleva a cabo un cambio del acorde 1 al 2 a mitad del primer compás. Las primeras dos notas tocadas por el piano al inicio del acorde 2 (esto es, las alturas 94 y 35) representan la intersección entre ambos acordes y son usadas por el compositor en el momento de pasar de una sonoridad a la otra, destacando su función de notas comunes. La entrada de la flauta coincide con el cambio de acorde,18 y su primera nota, la altura 3 , es también una nota común (dado que las alturas de los acordes son todas de registro fijo, la flauta no puede emitir la altura 94, ya que queda fuera de su ámbito). Las alturas 06 y 46 del grupo de notas de adorno de la flauta, sin embargo, pertenecen al acorde 1, tal como se señala en el ejemplo.

Ahora, digamos que nos interesa, por ejemplo, investigar la propiedad contraria, qué alturas son privativas de cada acorde y no se encuentran en ninguno de los demás. Para esto utilizaremos una variante de la relación S - Q vista en el punto 2.11:

Con la relación anterior se crea, en cada caso, un subconjunto del acorde inicial, cuya característica será tener por elementos a las alturas que no se pueden encontrar en otros acordes. Dicho subconjunto, por consiguiente, representa la porción del acorde cuya sonoridad es totalmente original. Así, en a) tenemos que {24, B4, 46} es el subconjunto de las notas del acorde 1 que no se encuentran en ningún otro acorde; en b) el subconjunto {A5, 66, 86, 57} es privativo del acorde 2, etcétera.

Operaciones con segmentos
3.1. Segmento

Un segmento es un conjunto ordenado de alturas o de clases de alturas. A diferencia de lo que ocurre con el conjunto (no ordenado), en el segmento la repetición de alturas o clases de alturas es significativa. Los segmentos, al igual que los conjuntos no ordenados, se representan por medio de letras mayúsculas, con la diferencia de que éstas deberán ir subrayadas y sus elementos aparecerán encerrados entre ángulos (<·>). También se puede recurrir a la notación exponencial para indicar la repetición inmediata de elementos. Veamos un ejemplo.

EJEMPLO 50

SEGMENTO DE ALTURAS (MARIO LAVISTA. DANZA DE LAS BAILARINAS DE DEGAS, PARA FLAUTA Y PIANO: CC. 1-4)

La flauta inicia su participación en el segundo compás del ejemplo 50 con un segmento de alturas al que se ha llamado S, que contiene los elementos <35 ,55 5,85 ,55 ,B5 ,95 ,55 ,35 ,55 ,B4 ,35 ,55 >. El segundo elemento del segmento, la altura 55, se repite cinco veces antes de que se escuche la altura 85, como lo indica el exponente que la acompaña. Dos tiempos después de la entrada de la flauta en el compás 2, S es expuesto en forma imitativa en la parte del piano. Obsérvese cómo los valores de duración de las notas individuales, al igual que sus articulaciones y repeticiones, coinciden en las dos apariciones de S, lo que refuerza la identidad del segmento. La repetición local de la segunda nota de S, que hemos denotado como 55 5, es sin duda un componente esencial del segmento al inicio de la obra y se encuentra, incluso, anunciada en el compás 1 por la altura 17 5 en el pentagrama superior del piano. Por supuesto, puede ocurrir que en ciertos contextos las repeticiones contiguas de notas no sean estructuralmente significativas, o que simplemente se desee ignorarlas por razones analíticas, como suele hacerse, por ejemplo, al llevar a cabo el “conteo de serie” en la música dodecafónica. En esos casos, se prescinde de la notación exponencial para caracterizar al segmento. Bajo estas circunstancias, el segmento S que acabamos de ver se reinterpretaría como <35,55,85,55,B5,95,55,35,55,B4,35,55>.

Parecería poder inferirse del ejemplo 50 el principio general de que todo segmento debe poseer una fuerte identidad melódica, como si se tratara de una especie de equivalente de lo que en el lenguaje tonal se conoce como “tema” o “motivo”. Esta noción, aunque correcta en algunos casos, resulta muy limitante al ser generalizada. En realidad, el segmento puede ser sometido a una gran variedad de tratamientos ajenos a las manipulaciones temáticas propias del sistema tonal. Estos tratamientos pueden incluir la transformación total de su identidad lineal, como sucede en el ejemplo 51.

EJEMPLO 51

SEGMENTO DE CLASES DE ALTURAS (LUCIANO BERIO, SEQUENZA 1, PARA FLAUTA: A)=INICIO DE LA PIEZA, B)=2A PÁGINA, 9º SISTEMA)

Lo primero que salta a la vista al comparar el segmento S del ejemplo 50 con el segmento Y, es que este último se encuentra ubicado en el espacio- c.a., mientras que S se desarrolla en el espacio-a.19 Esta diferencia resulta fundamental al abordar a ambos segmentos desde una perspectiva auditiva, ya que mientras que en S todos los esfuerzos están dirigidos a consolidar la identidad sonora del segmento, en Y, en cambio, el objetivo es la reinvención total de su organización interna, lo cual impide que el segmento llegue a establecerse como referencia auditiva. Así, en a) Y se distribuye en dos pulsos de 70 M.M., mientras que en b) aparece mucho más expandido. En ambos casos, el segmento se divide en tres niveles de registro o estratos, que crean una polifonía interna. Sin embargo, la dirección del movimiento dentro de cada nivel es muy diferente en cada caso.

EJEMPLO 52

COMPORTAMIENTO LINEAL DE LOS TRES NIVELES DE REGISTRO EN QUE SE DIVIDEN LAS DOS APARICIONES DE Y CITADAS EN EL EJEMPLO 51

En el ejemplo 52 a) se muestra la trayectoria lineal de los registros grave, medio y agudo en que se divide el segmento Y citado en el ejemplo 51 a). Se puede apreciar que la actividad lineal ha sido distribuida en forma homogénea, ya que cada registro lleva a cabo un descenso total de 1 (registro grave) o 2 semitonos (registro medio y agudo).

En el ejemplo 52 b), toda la actividad se concentra en el registro intermedio, que exhibe un descenso total de 4 semitonos, mientras que los registros grave y agudo no presentan movimiento alguno.20 Además de los cambios de registro, las diferencias de articulación y dinámica contribuyen también de manera importante al contraste entre las dos apariciones de Y (véase ejemplo 51).