Fundamentos teóricos de la música atonal

3.2 Números ordinales de los elementos de un segmento

Los números ordinales se utilizan para precisar el lugar que ocupan los elementos dentro de un segmento. Para ubicar cualquier elemento dentro de un segmento de cardinalidad n en el espacio-a o el c.a., es conveniente asignar un subíndice a la letra que representa a dicho segmento, de manera que el primer elemento se clasifique con el subíndice “0”, el segundo con el subíndice “1”, y así hasta llegar al último elemento, que recibirá el subíndice n - 1.

Por ejemplo, en el segmento S = <35,55,85,55,B5,95,55,35,55,B4,35,55> discutido en el ejemplo 50, tenemos que S0 corresponde a 35, la primera altura del segmento, mientras que S2 corresponde a la altura 85 (otra forma de expresar lo anterior es diciendo que los ordinales 0 y 2 del segmento S corresponden a las alturas 35 y 85 respectivamente). También se observa que S1,3,6,8,11 corresponde a la ubicación de la altura 55 dentro del segmento (es decir, la altura 55 se ubica en los ordinales 1, 3, 6, 8 y 11 de S). Se puede apreciar que las repeticiones locales de la altura 55 en S1 han sido clasificadas con un solo ordinal.

En el punto 3.1 se comentó que los valores de duración de los elementos de S se mantienen invariantes en las dos apariciones del segmento en el ejemplo 50; sin embargo, al observar el fragmento con más detalle se aprecia que S8 presenta una duración de 7 dieciseisavos en el segmento de la flauta, mientras que en el piano se encuentra reducido a 4 dieciseisavos (véase la linea punteada diagonal en el ejemplo 50). Este ajuste en la duración de S8 tiene por objeto que los tres últimos ordinales del segmento S del piano se escuchen inmediatamente después de los ordinales correspondientes del segmento S de la flauta. De otra manera se perdería el impulso rítmico en la imitación del piano, al romperse el pulso isócrono de dieciseisavo que caracteriza el accionar simultáneo de los dos instrumentos a lo largo del fragmento.

Imaginemos ahora un segmento Q que consta de 37 alturas (Q se desarrolla en el espacio-a), clasificadas con los ordinales 0 a 36.

EJEMPLO 53

SEGMENTO DE ALTURAS Q CON 37 ORDINALES

Si reinterpretamos a Q no como segmento, sino como conjunto, obtenemos Q = {65, 75, 85, 95, A5}. El hecho de que Q sea generado a partir de un conjunto cromático Q de cardinalidad 5, introduce en el segmento un alto grado de redundancia lineal, ya que únicamente es capaz de producir cuatro intervalos 10, tres intervalos 20, dos intervalos 30 y un intervalo 40. Esta fuerte constricción interválica le confiere a Q un carácter estático.

En el ejemplo 54 vemos que el despliegue de Q en cuatro partes simultáneas determina el material de los primeros tres compases del Concierto de cámara de Ligeti. También se puede apreciar que Q es asignado en forma individual a la flauta, el clarinete y el clarinete bajo, mientras que se encuentra repartido entre el violonchelo y el contrabajo para facilitar la ejecución de los armónicos.

EJEMPLO 54

CUATRO SEGMENTOS Q SIMULTÁNEOS PERO NO SINCRONIZADOS (GYÖRGY LIGETI, KAMMERKONZERT, PARA 13 INSTRUMENTISTAS: I, CC. 1-3)

Debajo del pentagrama se han escrito los ordinales de cada segmento Q con el fin de ilustrar una característica esencial de su despliegue lineal simultáneo, a saber: la no coincidencia temporal de sus ordinales correspondientes. Esta asincronía se debe en gran medida, a que los cuatro segmentos Q presentan una estructura rítmica independiente, además de que la flauta y el clarinete se mueven mucho más rápidamente que el clarinete bajo y el violonchelo-contrabajo. Sin embargo, el desfasamiento también es producto del tratamiento canónico de los segmentos: el clarinete bajo es el único instrumento que comienza en el ordinal 0 de Q, mientras que la flauta lo hace en el ordinal 2, el clarinete en el 3, y el violonchelo en el 1, lo que crea una saturación vertical de los cuatro primeros ordinales de Q en el primer tiempo de la obra. Este tratamiento canónico de los segmentos Q, aunado al alto grado de redundancia de su expresión lineal, cuestiona la percepción del inicio de la obra como tal: el compositor nos sugiere que la pieza no inicia realmente en el primer compás, sino que nosotros la empezamos a escuchar en ese punto, que no es lo mismo.

Vale la pena desarrollar un poco más esta concepción. Por un lado, se nos sugiere que la flauta, el clarinete y el violonchelo-contrabajo han iniciado su ejecución en un hipotético punto localizado antes del compás 1, definido por la articulación del ordinal 0 de Q en cada uno de esos instrumentos. Por otro lado, nada nos asegura que el ordinal 0 de Q sea realmente su primer sonido, ya que la redundancia lineal del segmento, esto es, su ausencia de movimiento dirigido, priva a sus elementos de cualquier distinción jerárquica, haciéndolos similares entre sí. Esto quiere decir, entre otras cosas, que desde la perspectiva de la percepción, lo mismo da que la pieza empiece en el compás 1, 2 o 3. La paradoja de Q es que, mientras más se prolonga, —es decir, mientras más tiempo se desarrolla linealmente—, se vuelve más estático (se autoanula) debido a la acumulación de redundancia, tanto en su contenido de alturas como en el interválico.

La discusión anterior nos lleva a reconsiderar brevemente el tema de la desarticulación de la identidad sonora (temática) de un segmento, que en el punto 3.1 se centró en los dos segmentos de la Sequencia I de Berio, ilustrados en el ejemplo 51. Ahí se vio cómo la redistribución espacial de los elementos de un segmento, apuntalada por cambios en la asignación de la articulación, duración y dinámica, pueden alterar significativamente su identidad estructural, inclusive hasta el punto de impedir su reconocimiento auditivo. En el ejemplo 54, en cambio, todos los segmentos Q presentan las mismas alturas fijas en el espacio-a y comparten la misma dinámica, articulación, así como un timbre relativamente homogéneo. En este caso, es la ejecución no sincronizada de los segmentos, aunada a su carencia de un perfil lineal definido, la que impide identificarlos como líneas individuales y los pone al servicio de la textura. Efectivamente, lo que escuchamos en el ejemplo 54 es una textura compleja, densa, concentrada y estática. Esta técnica de entrelazar segmentos desfasados para producir redes complejas de sonidos, cuyas partes se mueven constantemente mientras que el contorno general se mantiene estático, ha sido bautizada por Ligeti como “micropolifonía”.

Los segmentos estudiados hasta el momento se caracterizan por organizar sus elementos conforme a un orden temporal (cronológico); sin embargo, cualquier tipo abstracto de ordenamiento de los elementos de un conjunto lo convierte en un segmento. Así, el recorrido de un acorde a través de sus diferentes c.a. resultará en un segmento no definido por orden temporal alguno sino, digamos, de asignación instrumental.

EJEMPLO 55

ORDEN INSTRUMENTAL COMÚN A TRES SEGMENTOS VERTICALES

En el ejemplo 55 tenemos tres segmentos verticales —M, N y O—, pertenecientes a un hipotético quinteto de alientos. Los números asignados a cada segmento representan ordinales y las flechas expresan el recorrido instrumental que éstos imponen a los acordes. Así, vemos que el ordinal 0 siempre corresponde a la c.a. de la flauta, el 1 a la del oboe, el 2 a la del corno, el 3 a la del clarinete y el 4 a la del fagot. Obsérvese cómo esta trayectoria se mantiene constante en los tres segmentos, independientemente del registro de sus alturas individuales. Por ejemplo, el hecho de que la altura del clarinete (escrito, como el corno, en notas reales) se encuentre por debajo de la del fagot en O, no intercambia sus respectivos ordinales. Esto se debe a que el único criterio utilizado para definir a los segmentos es el ya referido orden instrumental. Pero, ¿puede tener este tipo de segmentos alguna utilidad analítica?

EJEMPLO 56

EXPRESIÓN VERTICAL Y TEMPORAL DE LOS ELEMENTOS DE TRES SEGMENTOS (FRANCO DONATONI, BLOW, PARA QUINTETO DE ALIENTOS: CC. 13-15)

El ejemplo 56 incorpora a nuestros segmentos M, N y O un quinteto de alientos verdadero. Aquí, cada una de sus c.a. ha sido clasificada por medio de un par ordenado (a, b), en donde a denota su ordinal (que coincide, por supuesto, con el del ejemplo 55) y b corresponde a su notación numérica (mód. 12). Así, por ejemplo, los pares ordenados (0, 4) y (1, 0) pertenecientes al segmento M representan, respectivamente, a la c.a. 4 ubicada en su ordinal 0 y a la c.a. 0 ubicada en su ordinal 1.

Véase cómo el ordenamiento vertical común a M, N y O adquiere aquí relevancia al ser traducido al plano lineal en la parte de la flauta (véanse recuadros). En los tres casos, la traducción se lleva a cabo de forma inmediata, ya que el ordinal 0 de la flauta actúa como pivote entre la expresión acórdica y lineal de cada segmento.

3.3. Sucesión interválica (INT) de un segmento

La sucesión de intervalos ordenados entre elementos adyacentes de un segmento puede ser expresada en un nuevo segmento, al que llamaremos el INT del segmento original. En el espacio-a por ejemplo, el segmento S =<35 ,55 5,85 ,55 ,B5 ,95 ,55 ,35 ,55 ,B5 ,35 ,55 > genera el INT(S) = <i.s.<35 , 55 >, i.s.<55 ,85>, i.s.<85, 55>, i.s.<55, B5>, ..., i.s.<35, 55>> o, más propiamente, el INT(S)= <+20, +30, -30, +60, -20, -40, -20, +20, -60, +40, +20>, que expresa el resultado de las fórmulas anteriores y que se ilustra en el ejemplo 57 a).

EJEMPLO 57

A) EL INT DE UN SEGMENTO DE ALTURAS: B) REDUCCIÓN ANALÍTICA; C) CONTORNO SIMÉTRICO (SEGMENTO EXTRAÍDO DE LA PARTE DE FLAUTA DEL EJEMPLO 50)

El INT de S nos revela algunos rasgos interesantes de la estructura interválica de este segmento, con el que Lavista da inicio a la actividad de la flauta en la Danza de las bailarinas de Degas. En primer lugar, se puede observar en el ejemplo 57 a) que el intervalo más amplio utilizado en S es 60, y que éste se presenta una sola vez, tanto en forma ascendente como descendente. En ambos casos, el intervalo es aplicado exclusivamente con el fin de abordar notas climáticas. Así, +60 desemboca en la altura B5, la nota climática superior de S, mientras que -60 es utilizado para alcanzar su nota climática inferior, la altura B4, como se aprecia en el ejemplo (nótese que ambas alturas pertenecen a la c.a. B). Así, al adjudicar el intervalo más amplio a la obtención de alturas climáticas, el compositor las pone en relieve todavía más.

Otro rasgo notorio de S es la relevancia estructural que se le confiere a la altura 55 dentro del segmento. Esta importancia no sólo obedece al hecho de que la altura 55 mantiene una presencia estadística mucho mayor a la de las demás alturas a lo largo del segmento, sino también a que es la única que presenta repeticiones locales y valores de duración superiores al dieciseisavo. A esto hay que agregar la posición de privilegio que le confiere el ocupar el tiempo fuerte del segundo compás, así como su ubicación en el último ordinal del segmento. En la teoría de la música atonal, a una altura o c.a. (o conjunto de alturas o clases de alturas) que ha sido destacada de tal manera, se le llama “céntrica”, por erigirse como centro de atracción o de gravedad discursiva.

En el ejemplo 57 b) se presenta una reducción (simplificación) de S que jerarquiza la presencia de la altura 55 en el segmento. Se han utilizado plicas para indicar la preeminencia estructural de la altura 55 sobre las demás notas, así como ligaduras puntedas para denotar la prolongación de dicha altura a lo largo del segmento. Las ligaduras (no punteadas) señalan la dependencia estructural de las notas sin plica con respecto a la altura 55 a la que se encuentran asociadas. Obsérvese cómo las dos notas climáticas del segmento se relacionan con sus respectivas alturas 55 por medio de un mismo gesto lineal invertido. La inversión se verifica tanto en la dirección de los intervalos como en el orden en que éstos se presentan.

En el ejemplo 57 c) se resume el diseño simétrico de S al representar sus dos alturas climáticas y el centro de gravedad (la altura céntrica 55) en torno al cual orbitan.

Para extraer el INT de un segmento en el espacio-c.a., se lleva a cabo el mismo procedimiento que en el espacio-a, sólo que fundamentado en la definición de intervalo ordenado de c.a. (véase punto 1.10). Así, por ejemplo, el INT del segmento Y que vimos en el ejemplo 51 es <8 - 9, 7 - 8, 9 - 7, 8 - 9, 6 - 8, 7 - 6, 5 - 7, 6 - 5, 4 - 6> (mód. 12), o lo que es lo mismo, el INT(Y) = <B,B,2,B,A,1,A,1,A>, tal como se señala en el ejemplo 58.

EJEMPLO 58

EL INT DE UN SEGMENTO DE CLASES DE ALTURAS (SEGMENTO EXTRAÍDO DEL EJEMPLO 51 A))

Obsérvese que a todo segmento de n elementos le corresponde un segmento INT de n -1 elementos.

3.4. Tipos de operaciones

Una operación es básicamente un mapeo mediante el cual se transforma un objeto en otro. Existen dos tipos básicos de operadores (u operaciones): los operadores dodecafónicos y los operadores de orden. Ambos tipos se utilizan tanto en el espacio-a como en el espacio-c.a.

Los operadores dodecafónicos se dividen, a su vez, en tres tipos: la transposición (T±n m en el espacio-a y Tn en el espacio-c.a.), la inversión (I), y los operadores multiplicativos (M y MI). Los operadores dodecafónicos se pueden aplicar a alturas (exceptuando a los operadores M y MI, cuyo uso en el espacio-a es muy limitado), clases de alturas, segmentos y conjuntos. El nombre “dodecafónicos”, que recibe este tipo de operadores se debe a que fueron desarrollados inicialmente dentro de la técnica dodecafónica, aunque en este libro serán estudiados desde una perspectiva más general.

Los operadores de orden se aplican a segmentos de alturas o de clases de alturas y se dividen en dos tipos: la retrogradación (R) y la rotación (rn). Como su nombre lo indica, estos operadores alteran únicamente el orden de los elementos que conforman un segmento, sin afectar su contenido.

Apéndice 1: Los operadores dodecafónicos y de orden definidos como funciones matemáticas, véase punto A1.6.

3.5. Transposición de segmentos

La operación de transposición en el espacio-a se indica por medio del operador T±nm. 21 De esta manera, transportaremos (ascendente o descendentemente) una altura ac a n semitonos + m octavas, por medio de la siguiente fórmula:

T±nm.(a_c) = (a ± n) mód. 12_{c ± m ± (1)} en donde +(1) indica que se suma +1 si y sólo si a + n ≥ 12 -(1) indica que se resta -1 si y sólo si a - n < 0 Es importante notar que en la fórmula todos los signos ± deberán ser positivos (si la transposición es ascendente) o negativos (si es descendente), pero en ningún caso mixtos.

Para ejemplificar la aplicación de esta operación, transportaremos la altura 0₇ a T--3₂ , lo que quedará expresado de la siguiente manera: T--3₂ (0₇) = (0 - 3) mód. 12_{7 - 2 - (1)}. Nótese que la definición de transposición nos indica que en este caso debemos restar -(1), debido a que 0 - 3 0. Ahora bien, sabemos que (0 - 3) mód. 12 es igual a 9, ya que (0 - 3) + 12 = 9; por lo tanto, tenemos que T--3₂ (0₇) = 9_{7 - 2 - (1)} = 9_{5 - (1)} = 9₄. Esto quiere decir que al aplicarle la operación T--3₂ a la altura 0₇ obtendremos la altura 9₄. Recordemos que T--3₂ (0₇) significa “transportar descendentemente la altura 0₇ a una distancia de tres semitonos y dos octavas”.

EJEMPLO 59

T--3₂(0₇)=9₄

El siguiente ejemplo contiene cinco transposiciones de alturas, expresadas en notación musical y numérica, con las operaciones desglosadas en la parte inferior.

EJEMPLO 60

TRANSPOSICIÓN DE ALTURAS

El segundo de los Ocho estudios y una fantasía de Elliott Carter es una pequeña pieza de 22 compases basada íntegramente en la interacción de un segmento de 28 notas (la última de las cuales se encuentra repetida) con tres de sus transposiciones.

EJEMPLO 61

TRANSPOSICIÓN DE UN SEGMENTO EN EL ESPACIO-A (ELLIOT CARTER, EIGHT ETUDES AND A FANTASY, PARA CUARTETO DE ALIENTOS: II, CC. 19-22))

El ejemplo 61 contiene los últimos cuatro compases del estudio. Es necesario señalar que la pieza se desarrolla en el espacio-a, ya que se basa por completo en los cuatro segmentos de registro fijo que se muestran en el ejemplo. El segmento de la flauta, al que llamaremos K, ha sido elegido como referencia para fijar las demás transposiciones, ya que es el primero en escucharse en la pieza. K contiene las alturas < 8 6 , A 6 , 1 7 , B 6 , 9 6 , 0 7 , 5 7 , 9 7 , 2 7 , A 6 , 6 7 , 3 7 , 5 7 , 4 7 , 2 7 , 0 7 ,B 6 ,96 ,86 ,96 ,66 ,96 ,66 ,76 ,A6 ,76 ,86 ,562> y exhibe un contorno general ascendente-descendente cuyo punto climático se encuentra en K7 (la altura 97), mientras que su punto más bajo es alcanzado en sus últimas dos alturas que, además, representan el único caso de repetición entre alturas adyacentes dentro del segmento. Otra característica importante que destaca a las últimas dos notas del resto del segmento es su duración: mientras que todas las otras notas de K tienen un valor de treintaidosavo, las dos últimas presentan siempre (en todos los segmentos K y TnK de la pieza) una duración mayor; de hecho, la última siempre dura más que la penúltima. Observamos que Carter finaliza el estudio con un gesto expansivo que recorre escalonadamente, del extremo grave al agudo, el registro total ofrecido por el accionar simultáneo de los cuatro segmentos. El carácter expansivo del gesto es consolidado por la coincidencia rítmica de las dos alturas extremas de la pieza: la última nota del fagot, la altura 13, y la altura 97 de la flauta, ubicadas en el cuarto treintaidosavo del compás 20.

Para transportar un segmento en el espacio-a (ascendente o descendentemente) a una distancia de n semitonos y m octavas, simplemente se le aplicará T±nm a cada uno de sus elementos.22 Por ejemplo, al aplicar T-91 a cada elemento de K (el segmento de la flauta en el ejemplo 61), obtenemos la versión transportada de K que aparece en el clarinete:

Una característica importante de la operación Tn es que mantiene invariables los intervalos ordenados dentro del segmento, lo que hace que los segmentos relacionados por Tn presenten el mismo INT. Así, los segmentos K, T-B 0 K, T-9 1 K y T-4 3 K de la pieza de Carter comparten el INT = <+20, +30, -20, -20, +30, ..., -30>. Esta propiedad se traduce en la conservación de la identidad sonora del segmento original a través de su transposición, ya que su contorno no se ve alterado.23 Para poder visualizar esto de manera más clara, en el ejemplo 62 se representa gráficamente los segmentos K y T-9 1 K por medio de un sistema de coordenadas cartesianas.

Apéndice 1: El sistema de coordenadas cartesianas es descrito en el punto A1.7.

EJEMPLO 62

GRÁFICA DE LA TRANSPOSICIÓN DE UN SEGMENTO EN EL ESPACIO-A (SEGMENTO EXTRAÍDO DEL EJEMPLO 61)

En la gráfica se ha presentado a K y T-91 K en forma simultánea para facilitar su comparación. El eje horizontal (N) representa los números ordinales de los segmentos, mientras que el eje vertical (A) determina el parámetro de la altura tal como se ha venido haciendo con el espacio-a, esto es, toda altura ac se compone de la c.a. a en el índice acústico c. De esta manera cada coordenada define una altura determinada, así como su localización dentro del segmento. El resultado es una representación gráfica del contorno de los segmentos K y T-91 K, cuyo despliegue temporal se lleva a cabo de izquierda a derecha, en sucesión isócrona.24 Los intervalos entre elementos adyacentes aparecen definidos por la cantidad de semitonos (diferencia numérica) que los separa sobre el eje vertical.

Dado que los intervalos ordenados son los mismos para los dos segmentos, los diagramas generados por K y T-91 K son isográficos, lo que nos clarifica visualmente la propiedad de conservación de contorno que caracteriza a la operación T±nm.

La operación de transposición en el espacio-c.a. se indica por medio del operador Tn, de manera que para toda clase de altura x, Tn(x) = x +n (mód. 12). La aplicación del módulo 12 define a la operación Tn para n = 0, 1, 2, ..., B (como ya sabemos, esto se debe a que la regla de equivalencia de octava limita a 11 semitonos el intervalo más amplio que se puede obtener en el espacio-c.a., lo que hace imposible transportar una clase de altura “más allá” de TB). Recordemos también que el uso del módulo 12 restringe nuestro universo a 12 clases de alturas: 0, 1, 2, ..., B , y que los números que se encuentren fuera de este rango deberán ser convertidos al mismo.

Podemos resumir las observaciones anteriores redefiniendo la operación de transposición en el espacio-c.a. como:

Así, si deseamos transportar la c.a. 5 a una distancia de seis semitonos (aquí no existe el concepto de transposición “ascendente” o “descendente”), realizaremos la siguiente operación: T6(5) = 5 + 6 = B. Otros ejemplos: T6(9) = 9 + 6 = 15 - 12 = 3; TA(A) = A + A = 20 - 12 = 8; T7(0) = 0 + 7 = 7. En el ejemplo 63 se exhiben las operaciones anteriores con el auxilio del pentagrama.