Teoría de la medida e integración

Una vez demostrada esta propiedad, el teorema de cambio de variables resulta por una aplicación directa de ella y del cambio de variables para funciones escalonadas.

Asimismo, la prueba de la última parte del teorema se obtiene por aplicación de (1.34): la superficie de la figura comprendida entre dos funciones escalonadas se expresa claramente como la integral de su diferencia; en el caso general, la aproximación por funciones escalonadas provee el resultado usando (1.34).

Nos preguntamos ahora qué tan extensa puede ser la clase de las funciones integrables en el sentido de Riemann. Sabemos que contiene a las funciones continuas salvo en un número finito de puntos, pero, ¿qué tanto más podemos relajar la condición de continuidad? Este problema fue planteado y resuelto por Du Bois-Reymond en 1882.

DEFINICIÓN 1.3. Un subconjunto N de la recta real se dice de extensión nula (más tarde diremos de medida nula) si para cada > 0 existe una colección finita de intervalos cuyo largo total (calculado como la suma de las longitudes respectivas) sea menor que e y su reunión cubre a N.

TEOREMA 1.2. Sea f una función con valores reales definida en un intervalo [a, b] de y acotada. Ella es integrable en el sentido de Riemann sobre [a, b] si y sólo si su conjunto de discontinuidades D_f es de extensión nula.

Demostración. Designemos por ω(f, E) la oscilación de f sobre un subconjunto E de [a, b] dada por la expresión

Observar que ω(f, E) ≤ ω(f, E′) si E ⊂ E′. Así, la oscilación de f en un punto x [a, b] es

Claramente f es continua en x si y sólo si ω(f, x) = 0. Entonces D_f se escribe en la forma

Comenzaremos por probar que f es integrable sobre [a, b] si y sólo si para cada p ≥ 1 el conjunto E_p = {x [a, b] : ω(f, x) > 1/p} es de extensión nula.

Supongamos f R([a, b]). Sea (π(n))_n una sucesión de particiones de [a, b], π(n) : . Examinemos (1.24). Dado p > 1, E_p queda contenido en los intervalos de la partición π(n) en los cuales la oscilación es mayor que 1/p. Llamemos l_n(p) la suma de las longitudes de dichos intervalos. Se tiene entonces

y la integrabilidad de f determina la convergencia a 0 de las sumas de (1.38) si n → ∞, de donde, para cada p fijo, l_n(p) → 0. Esta última propiedad nos dice que E_p es de extensión nula para cada p ≥ 1.

Recíprocamente, supongamos E_p de extensión nula para cada p > 1. Entonces, dado > 0 existe una colección finita de intervalos que cubren E_p y cuya suma de longitudes es menor que . Dada una partición cualquiera π de [a, b], designemos por I₁,..., I_k los subintervalos disjuntos de [a, b] que ella determina. Refinemos π de la siguiente manera: llamemos π la partición definida por las extremidades de los intervalos que resultan al considerarlos de la forma I y las intersecciones de aquellos con los de la forma J. De esa manera, la partición π contiene intervalos de extremidades y , entre los cuales hay algunos contenidos en los de la forma J. Sea N₀() el subconjunto de índices j N() para los cuales existe algún m de modo que . Así tenemos:

Pero, para cada j N\N₀(), se tiene M_j–m_j < 1/p; para j N₀(), En consecuencia, se obtiene:

La desigualdad (1.39) y (1.24) nos permiten concluir, ya que y p pueden ser escogidos arbitrariamente.

Por último, para probar que D_f es de extensión nula si y sólo si cada E_p lo es, se deja al lector el ejercicio de verificar las dos aserciones siguientes:

Todo subconjunto de un conjunto de extensión nula es de extensión nula;

Toda reunión numerable de conjuntos de extensión nula es de extensión nula.

4. La integral de funciones con valores complejos

La integral de Riemann admite una extensión inmediata al caso de funciones complejas. Si f es una función definida en un intervalo [a, b] de , con valores complejos, le asociamos dos funciones reales: su parte real y su parte imaginaria , que permiten representarla

DEFINICIÓN 1.4. Una función f : [a, b] → es integrable en el sentido de Riemann si . Su integral es entonces

Llamamos el conjunto de tales funciones f.

PROPOSICIÓN 1.1. Si f es una Junción en , su integral satisface la desigualdad

Demostración. Sean . Entonces:

En un ejercicio al fin del capítulo estudiaremos en qué caso se tiene la igualdad en (1.42).

5. Comentarios

Observemos que los tres procedimientos del “arte de medir” analizados en este capítulo: cálculo de sumas de series, cálculo de superficies, integración en el sentido de Riemann, descansan en propiedades básicas relativamente simples.

En primer lugar, hemos visto que los conjuntos que pueden ser medidos, satisfacen ciertas propiedades con respecto a las operaciones usuales sobre conjuntos. Lo mínimo necesario corresponde a la estabilidad para reuniones e intersecciones finitas (por ejemplo, la reunión finita de conjuntos con superficie posee superficie).

En segundo lugar, la aplicación que mide los conjuntos debe ser creciente, en el sentido de la inclusión de conjuntos: si un conjunto con superficie contiene a otro, la superficie del primero es mayor que la del segundo.

En tercer lugar, es necesario establecer una regla para medir una reunión finita de conjuntos (ver (S2)).

Finalmente, es necesario un “buen comportamiento” con respecto a límites crecientes y decrecientes de conjuntos. Estas últimas son propiedades llamadas de continuidad inferior y superior cuyo sentido riguroso se estudiará más tarde, (ver (S4) y el ejercicio 1.3).

Estas ideas básicas nos acompañarán a lo largo de este volumen: constituyen los pilares de la teoría de capacidades y de la medida. Respecto a la primera, la teoría de capacidades, que no constituye requisito para los cursos básicos de Análisis e Integración, hemos reservado un capítulo anexo al final del libro para quienes deseen tener una introducción al tema.

Para el lector interesado en seguir el desarrollo histórico de la teoría de la integración, se recomienda la lectura del excelente libro de Pesin [39], que pasa en revista los pasos dados en su formalización.

6. Ejercicios propuestos

1. Sea f una función continua definida sobre el intervalo compacto real [a, b] y con valores en .

a) Se supone f positiva y . Probar que f es nula.

b) Se supone que para todo n , la integral es nula. Probar que f es nula.

2. Sea z \{0}: z se escribe en la forma z = |z|exp(iArg z) con 0 ≤ Arg z < 2π; Arg z es el argumento de z.

a) Sea z₁ = u₁ + iv₁ y z₂ = u₂ + iv₂ dos elementos de . Probar que:

y que la igualdad significa ya sea z₁z₂ = 0 o bien Arg z₁ = Arg z₂ módulo π.

b) Probar que si f es una función compleja continua definida sobre [a, b], entonces la igualdad

significa que el argumento de f es constante sobre el conjunto {t ]a, b[; f(t) ≠ 0}.

Enseguida probar que si se tiene la igualdad:

entonces f es constante sobre [a, b].

3. Sea f una función de en , periódica, de período 2π, integrable en el sentido de Riemann sobre [0,2π]. Sus coeficientes de Fourier están dados por la expresión:

Sea

a) Probar que |a_n| ≤ M para todo n .

b) Se supone f continua. ¿Bajo qué condición se puede tener |a_n| = M ?

4. El propósito de este ejercicio es probar el llamado “Teorema Fundamental del Cálculo”, que relaciona primitivas e integrales de una función.

a) Sea f una función integrable en el sentido de Riemann sobre [a, b]. Se define F sobre [a, b] mediante la expresión:

Probar que F es continua en cada punto x [a, b].

b) Si el conjunto D_f de discontinuidades de f es finito, probar que F es derivable en ]a, b[\D_f, y se tiene: F′(x) = f (x) para todo x ]a, b[\D_f. F es una primitiva de f, mejor aún, es la única que se anula en a.

FIGURA 1. Pitágoras, 570 a.C.– 469 a.C.

FIGURA 2. Euclides, aprox. 325 a.C.– 265 a.C.

FIGURA 3. Bernhard Riemann, 1826- 1866

Capítulo 2

Estructuras Básicas

En este capítulo estudiaremos las estructuras de la Teoría de Conjuntos que permiten definir los conceptos básicos de la Teoría de la Medida. Las ideas esenciales son las que hemos evocado en la Introducción: necesitamos trabajar con familias de conjuntos sobre las cuales definiremos operaciones como reuniones, intersecciones, paso al complemento y otras, que son las que usualmente se ocupan al calcular áreas o medir volúmenes.

Comencemos por fijar algunas notaciones tradicionales de la Teoría de Conjuntos.

1. Complementos sobre la teoría de conjuntos

1.1. Familias de conjuntos. Consideremos un conjunto no vacío I arbitrario, que en lo que sigue será llamado conjunto de índices. Si X es otro conjunto no vacío, convengamos en denotar P(X) el conjunto de todas sus partes.

Una familia de conjuntos es una aplicación de I en P(X) que a cada i I asocia X_i P(X). Corrientemente se usan las notaciones , o simplemente (X_i) cuando el conjunto de índices está suficientemente claro. A continuación definiremos algunas operaciones sobre las familias de conjuntos.

DEFINICIÓN 2.1. El producto es el conjunto de las familias de elementos tales que x_i X_i para cada i I. La notación del producto se simplifica a menudo escribiendo Π_i X_i o también Π_I X_i.

En este curso suponemos válido el Axioma de Selección. En virtud de él, si los conjuntos X_i son no vacíos, se tiene que es no vacío. Si algún X_i es vacío, convenimos que el producto es vacío.

Dado k I se llama k–ésima proyección canónica, y se denota π_k, la aplicación de Π_i X_i en X_k que a cada elemento asocia x_k X_k.

Se llama cilindro o adoquín una parte del conjunto de la forma donde, para cada índice i, A_i es un subconjunto de X_i

El conjunto suma de , que se denota , es el conjunto de pares (i, x) formados de un elemento i I y de un elemento x X_i. Para cada k I, se llama k–ésima inyección canónica la aplicación de X_k en que a cada x asocia el par (k, x).

es claro que .

OBSERVACIóN 2.1. Se tiene la siguiente propiedad de asociatividad para el producto: Si es una familia de conjuntos, entonces:

donde y para abreviar hemos escrito Π_S(…) el producto .

EJERCICIO 2.1. Probar que ∪, ∩ son asociativas, es decir: para la familia se cumple

También se tiene la propiedad de distribución:

donde

¿Qué relación de distributividad puede establecer en el caso de

DEFINICIÓN 2.2. Dada una colección F de subconjuntos de un conjunto X diremos que F es estable o cerrada para reunión finita (o intersección finita o reunión numerable, intersección numerable, reunión finita e intersección numerable, etc.), si dados A, B F se cumple A ∪ B F (y respectivamente: para , etc.) y lo anotamos de la siguiente manera:

EJERCICIO 2.2. Sea F una colección de subconjuntos de X. Designamos por F_s la colección más pequeña, en el sentido de la inclusión, que contenga a F y sea estable para (∪f), y F_d la colección más pequeña, en el sentido de la inclusión, que contenga a F y sea estable para (∩f). Demostrar que F_sd = F_ds, es decir (F_s)_d = (F_d)_s y que ésta es la clase más pequeña que contiene a F y es estable para (∪f, ∩f).

Llamamos F_σ a la colección más pequeña (en el sentido de inclusión) que es estable para (∪n) y contiene a F. Fδ la colección más pequeña estable para (∩_n) que contiene a F. ¿Es F_δσ igual a F_σδsi?

EJERCICIO 2.3. La operación de Souslin: Sea F un conjunto, la operación S de Souslin asocia a una familia (F(_n1,.., n_k)) de partes de F, con índices en el conjunto de las sucesiones finitas de enteros positivos, el conjunto

E = ∪_vF_v donde v = (v₁, v₂, . . .)

varía sobre la sucesión infinita de enteros positivos y donde

Se llama F_S la clase de subconjuntos de F obtenidos por aplicación de la operación de Souslin a todas las familias (F(_n1,..,nk)) extraídas de una clase F de partes de F.

1. Probar que ∪n, ∩n son casos particulares de la operación de Sous-lin.

2. Probar que F_S es estable para S, es decir: estable para la aplicación de la operación de Souslin.

EJERCICIO 2.4. Sea (F, d) un espacio métrico. Denotamos G el conjunto de los abiertos, F el conjunto de los cerrados, K el conjunto de los compactos.

1. Probar que todo F F pertenece a G_δ.

2. Sea H = F_σ ∩ G_δ. ¿Es H estable para (∩f, ∩f), (∩n, ∩f), (∪n, ∩n), (∩f, ∩n), (∩f, ∩n)?

3. Responder la pregunta (2) para K.

DEFINICIÓN 2.3. Sea F un conjunto no vacío. Consideremos una sucesión de partes de F.

Se define:

Límite superior de .

Límite inferior de .

Anotamos también límsup_n A_n como y lím inf_n A_n como . En muchos casos se suprime también el sub–índice n de las notaciones de límites cuando ello no introduce confusión.

Si x lím sup_n A_n decimos que x está en una infinidad de conjuntos A_n y si x lím inf_n A_n decimos que x está en todos los A_n salvo un número finito de ellos.

En general, lím inf_n A_n ⊂ lím sup_n A_n. Cuando se tiene la inclusión inversa, diremos que el límite de existe y en este caso:

Una sucesión A_n es monótona creciente si A_n ⊂ A_n+1 y es monótona decreciente si A_n+1 ⊂ A_n, para cada n .

EJERCICIO 2.5. Probar que se cumplen las siguientes propiedades

Dado A_n = [0, a_n[, (n ) encontrar: lím sup A_n, lím inf A_n y decir en qué caso existe lím A_n.

DEFINICIÓN 2.4. La Junción indicatriz (o característica) de un conjunto A se define por la expresión:

EJERCICIO 2.6. Probar que si (A_n) es una sucesión de conjuntos, entonces:

OBSERVACIóN 2.2. Dados dos conjuntos no vacíos, X, Y, se acostumbra designar por Y^X el conjunto de todas las aplicaciones definidas en X y con valores en Y. Si Ω es un conjunto no vacío, la aplicación definida sobre P(Ω) y con valores en {0,1}^Ω es biunívoca. En efecto, si A y B son conjuntos distintos, entonces sus funciones características son también diferentes, es decir, para todo ω Ω, 1_A(ω) ≠ 1_B(ω). Por otra parte, dada f {0,1}^Ω, se define A = {ω Ω : f (ω) = 1} y se cumple 1_A(ω) = f (ω).

Otra notación curiosa para el conjunto de partes de un conjunto proviene de la construcción de Cantor del conjunto de los números naturales . A saber, todo se obtiene partiendo de dos símbolos: las llaves {...} usadas para definir conjuntos (por extensión o comprensión) y el conjunto vacío ; a lo cual se agrega el Principio de Inducción. Es decir, 0 se define como el conjunto vacío , luego 1 es , enseguida , suponiendo que se han construido los n primeros naturales: 0,1,2,..., n, se define el sucesor de n, denotado n + 1 como el conjunto

n + 1 = {0,1, 2,... , n} .

El Principio de Inducción consiste en admitir que este procedimiento no tiene fin.

Así entonces, 2 = {0,1} y el conjunto {0,1}^Ω se puede escribir 2^Ω. Como este conjunto está biunívocamente relacionado con P(Ω), podemos escribir

P(Ω) = 2^Ω.

EJERCICIO 2.7. Designamos por card (A) la cardinalidad de un conjunto A. Probar que si Ω es finito, entonces card (2^Ω) = 2^card(Ω). ¿Qué puede decir en el caso que Ω sea numerable?

1.2. La recta real extendida. Procedemos ahora a extender el conjunto de los números reales, para que el nuevo conjunto posea un mayor y un menor elemento denotados –∞, +∞, respectivamente. Estos elementos no son números reales, pero quedan caracterizados por los siguientes axiomas.

DEFINICIÓN 2.5. El conjunto de los números reales se extiende agregando dos elementos no reales –∞ , +∞ tales que, en primer lugar:

El nuevo conjunto de números, llamado de los números reales extendidos o recta real extendida, se denota

(en general escribimos +∞ como ∞).

Extendemos también las operaciones algebraicas a , definiendo

para todo a .

a + (b + (±∞)) = (a + b)+ (±∞) = ±∞,

a, b . No definimos +∞ – ∞ (tampoco –∞ + (+∞)), para preservar la continuidad de las operaciones algebraicas en el conjunto en que están definidas. Por último, prolongamos la propiedad distributiva de · con respecto a + allí donde la operación + está bien definida.

Nótese que en todo conjunto tiene supremo e ínfimo y toda sucesión monótona tiene límite.

2. Pavimentos, semiálgebras, álgebras, tribus, clases monótonas

En esta sección introduciremos familias de conjuntos que serán estables para diferentes operaciones. Siguiendo las ideas intuitivas sobre superficies de figuras planas, queremos establecer ahora, de una manera general, qué tipo de estabilidad es la que permite tener la más vasta familia de conjuntos que posean “superficie”.

DEFINICIÓN 2.6. Dado un conjunto X, una familia F ⊂ P(X) es un pavimento si F. El par (X, F) se llama espacio pavimentado.

El pavimento F es una semi–álgebra si:

X F

F es estable para (∩f)

Para cada F F, su complemento F^c se puede escribir como reunión finita de elementos disjuntos de F.

El pavimento F es álgebra si: F es estable para (∩f) y el paso al complemento. Esta definición establece entonces que es estable para (∪f, ∩f,^c).

F es una tribu o σ-álgebra si es álgebra y es estable para (∪n), es decir:

estable para (∩n, ∪n,^c). En este caso el par (X, F) se llama espacio medible.

F es clase monótona si contiene todos los límites de sucesiones monótonas de elementos de F.

EJEMPLO 2.1. es semi–álgebra sobre conocida como la semi–álgebra de los intervalos cerrados por la derecha y abiertos por la izquierda.

Sea A ⊂ X, entonces las familias de conjuntos siguientes son pavimentos y además:

PROPOSICIÓN 2.1. Sea una familia de semi–álgebras (respectivamente: álgebra, tribu, clase monótonona) de partes de X. Sea , entonces F es semi–álgebra (respectivamente, álgebra, tribu, clase monótona).

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

DEFINICIÓN 2.7. Sea C ⊂ P(X), definimos la semi–álgebra (respectivamente: álgebra, tribu, clase monótona) engendrada por C a la más pequeña, en el sentido de la inclusión, de la estructura respectiva que contiene a C.

Adoptaremos las siguientes notaciones:

α(C): álgebra engendrada por C.

α(C): tribu engendrada por C.

M(C) : clase monótona engendrada por C.

PROPOSICIÓN 2.2. Sea S una semi–álgebra departes de X. Entonces α(S) está constituida por los conjuntos de laforma: donde la reunión es disjunta (I es finito y A_i S).

Demostración. Sea A un álgebra que contenga a S y sea A₀ la familia de todos los subconjuntos A de X que se expresan en la forma de una reunión disjunta con I finito y A_i S, entonces se tiene:

A ⊃ A₀ ⊂ S

A₀ es álgebra,

y ambas propiedades implican que A₀ = α(S).

PROPOSICIÓN 2.3. Sea A un álgebra de partes de X. A es tribu si y sólo si A es clase monótona.

Demostración. La condición es obviamente necesaria. Probemos la suficiencia. Si A es clase monótona y álgebra a la vez, entonces es estable para (∩n, ∪n,^c) y X A. En consecuencia, A es tribu.

TEOREMA 2.1. (de clases monótonas): Para toda álgebra A, la clase monótona que engendra coincide con la tribu engendrada por A.

Demostración. Llamemos M a la clase monótona engendrada por A. Tenemos que σ(A) es clase monótona por ser tribu y además A ⊂ σ (A), luego M ⊂ σ (A).

Demostremos que M contiene a σ(_A): como M ⊃ A, basta probar que M es tribu. Para ello es suficiente verificar que M es álgebra ya que por hipótesis es clase monótona.

Sea P M, definimos M_P como la clase de todos los Q M tales que: Q ∪ P^c, P ∪ Q^c, P ∩ Q están en M. Tenemos que:

Para todo P M, M_P es álgebra;

Q M_P si y sólo si P M_Q;

Si P, Q A se tiene P M_Q y Q M_P.

Claramente A ⊂ M_Q para cada Q A. Además, es fácil verificar que límites de sucesiones monótonas en M_Q están también en M_Q, vale decir, M_Q es clase monótona . Luego: A ⊂ M ⊂ M_Q xpara cada Q M. En consecuencia, M es álgebra (igual a cada álgebra M_Q, Q M) y la demostración está completa.

EJERCICIO 2.8. Estudiar qué forma asumen las definiciones de álgebra, tribus y clases monótonas, usando funciones características.

3. Ejemplos de Tribus

Sea X un espacio topológico y G su topología o familia de abiertos.

Designaremos por B(X) la tribu σ(G) generada por los abiertos, que llamaremos tribu Boreliana de X. También se puede caracterizar B(X), de manera equivalente, como la tribu generada por la familia de todos los subconjuntos cerrados de X.

Consideremos la familia de intervalos introducida en 2.1 : (el subíndice d indica cerrado por la derecha, e indicará cerrado por la izquierda si en lugar de d tenemos i). Observamos que:

1) Todo intervalo abierto de se obtiene como reunión numerable de elementos de I_d.

2) Todo abierto de se obtiene como reunión numerable de intervalos abiertos y por ende de elementos de I_d.

3) I_d es semi–álgebra y el álgebra que engendra está constituida por reuniones finitas disjuntas de elementos de I_d.

Se tiene así el resultado siguiente:

PROPOSICIÓN 2.4. La tribu boreliana está engendrada por los intervalos de la forma: (o bien de la forma.: , con a,b y a ≤ b).

La tribu boreliana está engendrada por la familia de todos los intervalos de la forma ]a, b] (ó [a, b[, ó [a, b]) con a, b y a ≤ b.

Sea X un espacio métrico cuya métrica denotamos d. Escribimos G el conjunto de sus abiertos y F el conjunto de sus cerrados.

Sea A = F_σ ∩G_δ, usando las notaciones del Ejercicio 2.2. Es claro que F ⊂ A y A es álgebra, luego:

Luego, en un espacio métrico, B(X) es generado por los abiertos o por los cerrados o por los conjuntos que son F_σ y G_δ a la vez.

4. Funciones y Aplicaciones Medibles

Comenzamos esta sección adoptando la siguiente convención: las “funciones” serán las aplicaciones con valores en o y las calificaremos respectivamente de funciones reales, numéricas o complejas.

Sean (Ω, F), (Ω′, F′) dos espacios medibles. Una aplicación h : Ω → Ω′ es F/F′–medible si: para todo F′ F′ se tiene h^–1(F′) F. En el caso de que los espacios medibles hayan sido explicitados y no haya riesgo de confusión, escribiremos simplemente que la aplicación h es medible, sin otra mención, a fin de alivianar las notaciones.

PROPOSICIÓN 2.5. Dados los espacios medibles (Ω_i, F_i) (i = 1,2,3) y si h : Ω₁ → Ω₂ y g : Ω₂ → Ω₃ son medibles entonces g ∘ h es medible como aplicación de Ω₁ en Ω₃.

La demostración de esta propiedad es consecuencia directa de la definición de medibilidad y se deja al lector como ejercicio.

PROPOSICIÓN 2.6. Sean (Ω, F), (Ω′, F′) espacios medibles tales que F′ = σ(C) con C ⊂ P(Ω′). Para que h : Ω → Ω′ sea F/F′–medible es necesario y suficiente que h^–1 (C) F para cada C C.

Demostración. Si h es medible entonces: h^–1(C) F para todo C C. Supongamos recíprocamente que h^–1(C) F para todo C C.

Sea . El lector podrá verificar como ejercicio que T es tribu. Como T ⊃ C, se tiene entonces que T ⊂ σ(C) = F′; luego T coincide con F′.

Nota: Usando la notación de preimagen de un pavimento introducida en la sección anterior, podemos escribir la proposición precedente en la forma

h^–1(σ(C)) = σ(h^–1C))

COROLARIO 2.1. Si Ω y Ω′ son espacios topológicos entonces toda aplicación continua de Ω en Ω′ es B(Ω)/B(Ω′) medible.

Se acostumbra decir que las aplicaciones continuas son borelianas, vale decir medibles con respecto a las tribus de Borel.

5. Producto de espacios medibles

Sea Ω un conjunto, (Ω′, F′) un espacio medible. Sea h : Ω → Ω′ . Nos preguntamos cuál es la tribu más pequeña sobre Ω que hace que h sea medible. Una aplicación inmediata de 2.6 nos muestra que h^–1(F′) satisface tal requerimiento. En lo que sigue denotaremos y la llamaremos la tribu engendrada por h.

Sea (h_i : i I) una familia de aplicaciones de Ω en Ω′. Buscamos ahora la tribu más pequeña que hace que todas las h_i sean medibles. Cada aplicación h_i es σ(h_i)–medible. Luego para todo i I, pero no es tribu.

Notación. En general, dada una familia de tribus, su reunión no tiene estructura de tribu. Introducimos entonces la siguiente notación:

corresponde a la menor tribu que contiene a cada F_i, i I.

De este modo, es la menor tribu que hace medible a cada aplicación h_i, i I . Usaremos también la notación:

y la llamaremos tribu engendrada por la familia (h_i : i I).

PROPOSICIÓN 2.7. Consideremos un conjunto no vacío Ω y, para cada i I, sean (Ω_i, F_i) un espacio medible; f_i una aplicación definida sobre Ω con valores en Ω_i.

Si a Ω se le dota de la tribu F = a(f_i : i I), entonces, dado otro espacio medible (X, X) y g : X → Ω, esta aplicación es medible si y sólo si f_i ∘ g es X/F_i–medible para todo i I.

Esta proposición es la generalización de 2.5.

Demostración. Si g es medible, tenemos que cada aplicación f_i ∘ g es medible por 2.5, i I. Recíprocamente, supongamos que las aplicaciones f_i ∘ g sean medibles para todo i I. Sea , entonces:

Luego, T = F.

DEFINICIÓN 2.8. Sea una familia de espacios medibles. Definimos sobre la tribu producto en la siguiente forma. Denotamos π_i: Ω → Ω_i la i–ésima proyección canónica (i I), entonces:

EJERCICIO 2.9. Probar que si I es un conjunto finito de índices, entonces:

OBSERVACIóN 2.3. El producto de espacios medibles se escribirá:

PROPOSICIÓN 2.8. Sea (X_i, i I) una familia de espacios topológicos, donde I es un conjunto de índices cualquiera.; sea con la topología producto. Entonces:

Demostración. En efecto, la identidad como aplicación:

es medible porque π_i ∘ id es continua para cada i I.

OBSERVACIóN 2.4. La inclusión inversa en (2.1) se cumple sólo para topologías numerablemente generadas.

PROPOSICIÓN 2.9. Para todo n entero

Demostración. Por la proposición anterior: . Pero donde G es el conjunto de los abiertos de como producto de pavimentos) y . Por lo tanto,

6. Medibilidad de las funciones numéricas

Comencemos por observar que la tribu boreliana de es generada por y los conjuntos {+∞}, {–∞}, vale decir,

NOTA 2.1. Dadas dos funciones numéricas f,g, introducimos las siguientes notaciones:

PROPOSICIÓN 2.10. Sean (Ω, F) un espacio medible y f,g : Ω → , dos funciones medibles, entonces: f ⋁ g, f ⋀ g, f · g, f + g son medibles.

Demostración. Sea F : una función continua, entonces la medibilidad de f y g implica: x ↦ F(f (x), g(x)) es medible por ser composición de aplicaciones medibles. Así obtenemos la proposición para f ∨ g y f ∧ g.

Para la suma + y el producto :, basta observar que si G es una de estas aplicaciones de tenemos que G restringida a los conjuntos y es continua, luego, es medible.

Para completar la demostración basta probar que G es medible sobre , para ello basta verificar que: G^–1({∞}) y G^–1({–∞}) son elementos de .

NOTA 2.2. Para todo elemento a , introducimos las notaciones de parte positiva y parte negativa como sigue:

Así se tiene:

COROLARIO 2.2. Dada una función numérica medible f se tiene que f⁺, f^–, |f|, son igualmente medibles.

DEFINICIÓN 2.9. Un espacio vectorial de funciones reales se dice espacio de Riesz si es estable para las operaciones ínfimo y supremo.

OBSERVACIóN 2.5. Designando por H el conjunto de las funciones reales medibles sobre un espacio medible (Ω, F), la proposición 2.10 dice que H es un espacio de Riesz.

EJERCICIO 2.10. Sea H un espacio de Riesz de funciones acotadas definidas sobre un conjunto Ω, tales que:

a) H contiene todas las funciones constantes.

b) H es estable para límites monótonos uniformemente acotados. i.e. si (h_n) ⊂ H es tal que |h_n| ≤ M, donde M > 0 es constante, y si h_n(ω) crece (o decrece) hacia h(ω), para todo ω Ω, entonces h H.

Probar que es una tribu sobre Ω y H es el espacio de Riesz de las funciones medibles acotadas con respecto a F.

NOTA 2.3. Para simplificar la escritura, en lo sucesivo usaremos la notación {f ≤ γ} para indicar el conjunto . Análogamente se usarán los símbolos {f < γ}, {f ≥ γ}, {f > γ}.

PROPOSICIÓN 2.11. Sea f : Ω → con (Ω, F) espacio medible. f es medible si y sólo si para todo γ se tiene {f ≦ γ} F.

Demostración. La condición es obviamente necesaria. Probemos la suficiencia. {f ≤ γ} = f^–1([–∞,γ]) F, pero es engendrada por los intervalos de la forma [–∞, γ] con γ .

OBSERVACIóN 2.6. La proposición anterior es válida para funciones reales, y se puede reemplazar {f ≤ γ} por: {f > γ}, {f < γ}, {f ≥ γ}.

COROLARIO 2.3. Sea h_n ↑ h sucesión defunciones numéricas medibles. Entonces h es medible. (También vale para h_n ↓ h)

Demostración. Para todo , donde {h_n ≤ γ} F para todo n. Entonces {h ≤ γ} F.

PROPOSICIÓN 2.12. Sea (h_n) una sucesión de funciones numéricas medibles definidas sobre el espacio medible (Ω, F). Entonces: ∨_nh_n, ∧_nh_n, lím sup h_n, límínf h_n y lím h_n (cuando existe) son medibles.

Demostración. Basta hacer la demostración en el primer caso enunciado; todos los otros se deducen de ése: .

observar que

pero, es medible por Proposición 2.10 (la notación lím ↑ indica límite de una sucesión monótona creciente).