Teoría de la medida e integración

DEFINICIÓN 2.10. Sea (Ω, F) un espacio medible. h : Ω → es simple o elemental si es medible y toma un número finito de valores.

Llamaremos ɛ(F) al conjunto de estas funciones.

Si h ɛ (F), entonces existe una partición de Ω con conjuntos A₁,..., A_n F y números a₁,..., a_n tales que:

Es importante notar que esta representación no es única.

PROPOSICIÓN 2.13. Sea (Ω, F) espacio medible, f una Junción numérica positiva sobre Ω. Para que f sea medible es necesario y suficiente que sea límite simple de una sucesión creciente defunciones simples.

Demostración. La condición es evidentemente suficiente.

Demostración de la necesidad: sea f medible ≤ 0, consideramos k = 0,..., n2ⁿ – 1 y definimos:

Entonces .

Sea .

Así, 0 ≤ f_n ≤ f, entonces f_n ɛ(F) para todo n y f_n ↑ f simplemente.

7. Historias y tiempos de parada

En esta sección abordaremos nociones básicas de la Teoría General de Procesos.

La Teoría General de Procesos analiza las estructuras más simples que nos permiten modelar la evolución de los fenómenos naturales. Sus nociones básicas son las de tiempo, historia, proceso, suceso.

DEFINICIÓN 2.11. Sea (Ω, F) un espacio medible y un conjunto totalmente ordenado (en general usaremos ). Una filtración o historia con tiempos en sobre Ω es una familia.

de subtribus de F tales que para todo s, t con s ≤ t se tenga: F_s ⊂ F_t. El sistema (Ω, F, ) se llama espacio filtrado.

Además se introduce una tribu terminal de la historia :

EJEMPLO 2.2.

1. Sea (E, ɛ) un espacio medible. Para fabricar llamamos X_n la proyección de sobre . Cada es una sucesión , así:

cada X_n es medible con . Definimos .

Así es una historia y F_∞ = F.

2. Sea . Así, cada ω Ω es una aplicación de .

Definimos:

entonces es una historia y F_∞ = F.

DEFINICIÓN 2.12. Sea (Ω, F, ) un espacio filtrado. una aplicación, donde , siendo ∞ un elemento que eventualmente no pertenece a y que se añade de modo de tener un mayor elemento por extensión del orden a . Decimos que T es un tiempo de parada de si {T ≤ t} F_t para todo t .

EJEMPLO 2.3. Sea (E, ɛ) un espacio medible. Definimos Ω = y usamos las mismas notaciones que en el ejemplo 2.2, (1).

Sea x E. Definimos (por convención Inf = +∞).

v_x es tiempo de parada de . = (F_n). En efecto:

para todo n y

OBSERVACIóN 2.7. Terminología de la teoría de probabilidades.

Veamos cómo se definen los conceptos básicos de la Teoría de Probabilidades. Dado un espacio medible (Ω, F), Ω se llama universo o espacio maestral o suceso cierto. Cada ω Ω se dice resultado de una experiencia aleatoria.

F se llama familia de los sucesos.

Toda aplicación medible de (Ω, F) en otro espacio medible (E, ɛ) se llama variable aleatoria con valores en E.

Toda aplicación conjunto ordenado) tal que: X(·, t) sea F/ɛ medible para cada t se llama proceso estocástico con estados en E y tiempos en .

Dado un proceso estocástico X con estados en E, su historia natural o filtración natural se define como:

para todo t .

Con esta terminología, el ejemplo de 2.7 nos muestra un proceso estocástico con estados en E y tiempos en , con X = (X_n) su filtración y ^X su historia natural.

EJEMPLO 2.4. Sea Ω = C([0,1],) el conjunto de las funciones continuas en [0,1] con valores reales y la métrica de la convergencia uniforme.

Se verifica que X = (X_t) es un proceso estocástico definido sobre (Ω, F) con estados en y tiempos en [0,1]. En efecto:

Para cada t , X_t es continua y luego medible.

Recíprocamente, F es generado por las funcionales continuas de Ω en .

Sea: r el conjunto de las funciones f : ω → para las cuales existe un conjunto finito I = {t₁,..., t_n} y una función continua de modo que f = ϕ ∘ (Xt1 ,...,Xt_n)

Γ se llama el conjunto de las funciones cilindricas continuas. Se puede demostrar que Γ es denso (se deja al lector como ejercicio) en el conjunto de las funciones continuas de Ω en .

Así,

Veamos un ejemplo de variable aleatoria sobre el espacio Ω:

Y es continua, luego es v.a. (variable aleatoria); también podemos definir

es proceso estocástico.

Además, si fijamos t [0,1], Y_t la podemos considerar como una v.a. definida sobre , notemos que:

Así, Y_t es –medible. Esta es una propiedad de medibilidad más rica. Decimos que Y es un proceso estocástico adaptado a ^X.

DEFINICIÓN 2.13. Dado un proceso estocástico X definido sobre (Ω, F) con estados en (E, ɛ) y tiempos en , diremos que X es adaptado a una historia si para cada t , X_t es F_t/ɛ–medible.

OBSERVACIóN 2.8. Es claro que cada proceso estocástico X es adaptado a su historia natural ^X.

EJEMPLO 2.5. (Continuación de 2.4).

Sea fijo. Para ver si esto es un tiempo de parada, estudiamos el conjunto {T_a ≤ t} (ínf ϕ = ∞).

Supongamos que existe ω Ω tal que T_a(ω) ≤ t.

Así, es tiempo de parada.

OBSERVACIóN 2.9. Sea (Ω, F) un espacio medible y una historia sobre Ω.

Un proceso estocástico sobre (Ω, F) con estados en y tiempos en es continuo a la derecha con límites a la izquierda, que anotaremos cadlai, si para cada ω ω, la función real X(ω, ·) es continua por la derecha y posee límites por la izquierda en cada punto t de ; se dice continuo, si para cada ω Ω, X(ω, ·) es continua.

Sobre consideramos las tribus:

proceso estocástico cadlai y adaptado a ).

proceso estocástico continuo y adaptado a ).

se llama tribu opcional.

se llama tribu previsible.

Se tiene .

Dadas dos funciones numéricas positivas U, V : Ω → con U < V, denotamos:

análogo para: es el gráfico de U.

Con estas notaciones, dado T : Ω → diremos que T es un tiempo opcional o de parada (resp. tiempo previsible) si

(respectivamente si

Las tribus introducidas aquí arriba nos permiten abordar de otra forma el análisis de los tiempos de parada. La “previsibilidad” está asociada a la idea de que los tiempos que satisfacen ese tipo de medibilidad, pueden ser “anunciados”. En efecto, se puede probar que para todo tiempo previsible T existe una sucesión de tiempos de parada (T_n)_n que crecen hacia T si n → ∞ y 0 < T_n(ω) < T(ω) sobre cada ω tomado en el conjunto en que T(ω) > 0.

8. Comentarios

Ahora disponemos de estructuras suficientemente ricas para introducir funciones de conjuntos. Es lo que haremos en el capítulo siguiente.

El punto de vista adoptado hasta aquí es el de la llamada “medida abstracta”. Más adelante explicaremos cuál es el punto de vista “funcional” en la Teoría de la Integración. Nuestro propósito es mostrar cómo las capacidades pueden unificar ambos puntos de vista. Las capacidades permiten también demostrar ciertos resultados de medibilidad que en su forma más general no pueden ser probados en el contexto de la Teoría de la Medida clásica. Nos referimos a la caracterización de una vasta clase de tiempos opcionales en la Teoría de Procesos.

Respecto a los procesos, cuya primera tímida aparición se ha dado en este capítulo, nos acompañarán aún desde lejos en este volumen, para ir abriendo camino al estudio posterior de otras ramas del Análisis.

9. Ejercicios propuestos

1. Sea la sucesión (A_n)_n>1 de conjuntos definida por:

Demostrar que la sucesión es convergente pero no monótona.

2. Considerar el espacio de las funciones continuas definidas sobre [0,1], con valores reales, dotado de la métrica de la convergencia uniforme, que denotamos C = C([0,1],). Este es un espacio polaco, vale decir, es un espacio métrico separable y completo. Llamamos K el pavimento de sus compactos; F, el de sus cerrados.

a) Demostrar que todo K K es denso en ninguna parte;

b) Demostrar que el subconjunto Lip de las funciones Lipschit-zianas es de tipo K_σ;

c) Probar que el subconjunto C^r de las funciones r veces continuamente derivables es de tipo F_σδ. Deducir que C^r es un boreliano, y asimismo C∞;, el subconjunto de las funciones que admiten derivadas continuas de cualquier orden.

3. Descubriendo algunos monstruos: el conjunto de Cantor.

Si I = [a, b] es un intervalo cerrado de que no se reduce a un punto, llamamos SI el conjunto .

Si A es una reunión de intervalos , disjuntos dos a dos, cerrados y no reducidos a un punto, se define

Sea K₀ = [0,1]. Para cada n ≥ 1, se define por recurrencia:

K_n = SK_n–1

a) Dibujar K1, K₂, K₃. Mostrar que

b) Se define . Probar que K no es vacío. K se llama conjunto de Cantor.

c) ¿Cuál es la suma de las longitudes de los intervalos que forman K_n? Probar que dicha suma tiende a 0.

d) Demostrar que el interior de K es vacío y que K no tiene puntos aislados.

e) Deducir que U = K₀\K es la reunión numerable de intervalos abiertos disjuntos dos a dos, tales que dos cualesquiera de ellos no tienen jamás una extremidad común.

f) Probar que K es idéntico al conjunto de los números x de la forma

donde u_n {0,2}, para todo n ≥ 1.

¿Cuáles son los números x para los cuales u_n = 2 (respectivamente u_n = 0) a partir de un cierto rango?

g) Para todo x K, cuya representación está dada por (2.4), definimos:

Demostrar que f es una aplicación continua de K sobre [0,1]. Deducir que K tiene la potencia del continuo.

4. Descubriendo algunos monstruos: la función singular de Le-besgue

Sea I = [a, b] un intervalo real cerrado, no reducido a un punto y f una función real creciente, lineal, definida sobre I. Denotamos α = f(a), β = f (b).

Llamamos T f la función que se define como sigue sobre I:

Conservamos en lo que sigue las notaciones del ejercicio precedente. Sea f₀(x) = x para todo x K₀. Se define una sucesión de funciones (f_n)_n≥1 por recurrencia:

a) Dibujar los gráficos de f₀, f₁, f₂.

b) Probar que f_n es continua, creciente, derivable sobre K₀\K_n. ¿Cuál es el valor de su derivada sobre este conjunto?

c) Probar que la sucesión (f_n)_n converge uniformemente sobre [0,1]. Llamamos f a su límite.

d) Probar que f es creciente y continua sobre [0,1], derivable salvo sobre K. ¿Cuánto vale la derivada de f en un punto de [0,1]\K ?

Compare la función f con aquella introducida en (2.5)

5. Sea G una familia de partes de un conjunto Ω tal que, para cada G en G, exista una sucesión (G_n; n ) de elementos de G tal que

Probar que la más pequeña clase estable por reunión numerable e intersección numerable, que contenga a G es idéntica a la tribu σ(G) generada por G.

6. Sea D un conjunto denso en . Sea (Ω, F) un espacio medible y f una función numérica definida sobre Ω. Demostrar que las siguientes propiedades son equivalentes:

7. Sea E un espacio topológico, B(E) su tribu boreliana. Sea X un subespacio de E. Estudiaremos la tribu boreliana B(X) del subespacio topológico X.

a) Sea S(X) = {A ∩ X : A B(E)}. Probar que S(X) es una tribu sobre X que contiene sus abiertos. Deducir que B(X) ⊂ S(X).

b) Sea F una tribu sobre X y F′ una tribu sobre E\X. Probar que la familia de partes de E:

es una tribu sobre E, y que las trazas de elementos de G sobre X y E\X, son exactamente los elementos de las tribus F y F′.

c) Si X es boreliano en E, probar que se tiene:

d) Probar que en el caso general se tiene:

e) Deducir que si X es boreliano en E, se tiene S(X) = B(X). Si X no es boreliano, ¿qué se puede decir?

8. Sea V un espacio vectorial de funciones reales acotadas, definidas sobre un conjunto X, que satisface las siguientes propiedades:

(i) La función constante 1: x ↦1 pertenece a V;

(ii) Si f, g , entonces f ∧ g ;

(iii) Si (f_n)_n es una sucesión creciente uniformemente acotada de elementos de V, entonces lím_n ↑ f_n .

Probar que existe una tribu T sobre X tal que V coincida con el espacio vectorial de las funciones T-medibles acotadas. Llamamos espacio de Riesz defunciones un espacio vectorial que satisface las hipótesis (i), (ii), (iii) anteriores.

[Indicación: tomar . Para probar que una función f es T-medible, notar que para todo .

Este ejercicio será utilizado posteriormente en la prueba del Teorema 5.8.

9. Sea f una función real continua sobre ]0,1[. Consideramos las derivadas por la derecha en cada punto x ]0,1[:

a) Probar que D₊ f y D₊ f son B(]0,1[)–medibles.

b) Probar que si f es derivable, entonces su derivada f′ es B(]0,1[)–medible.

10. Probar que las funciones semi–continuas inferiormente y semi–continuas superiormente sobre son medibles.

FIGURA 1. Georg Cantor, 1845- 1918

FIGURA 2. Emile Borel, 1871 – 1956

Capítulo 3

Medidas positivas

Nuestro propósito en este capítulo es estudiar el concepto de medida, que consiste esencialmente en una aplicación que asocia un número a un conjunto, cumpliendo además ciertas propiedades adicionales que se precisan en la definición siguiente. El lector podrá comparar esta definición con lo recordado en el primer capítulo respecto a las ideas básicas del cálculo de áreas en la geometría Euclididana.

DEFINICIÓN 3.1. Sea Ω un conjunto no vacío y S una semi-álgebra sobre Ω. Una medida positiva μ sobre S (o sobre (Ω, S), o sobre Ω cuando no hay ambigüedad respecto a S, es una aplicación tal que:

μ(Ø) = 0

Cumple la propiedad de σ-aditividad: para toda sucesión (A_n) de elementos disjuntos de S tal que se tenga:

donde Σ_ℕ A_n denota la unión disjunta de (A_n), i.e. Σ_ℕ A_n = ∪_ℕA_n y A_n ∩ A_m = Ø para n ≠ m.

Si μ(Ω) es finita, decimos que la medida es acotada o finita.

Si existe una partición (A_n) de Ω, con cada A_n S y tal que μ(A_n) < ∞, para cada n ℕ, diremos que μ es σ-finita.

En el caso en que S es álgebra, la condición anterior es equivalente a la existencia de una sucesión creciente (Ω_n)_n de elementos de S de medida finita, cuya reunión sea igual a Ω. En efecto, si μ es σ-finita, los conjuntos Ω_n se pueden construir como la reunión de los n primeros conjuntos A_k; recíprocamente, dados los Ω_n, los elementos A_n S se pueden definir en la forma: A₀ = Ω₀; A_n = Ω_n\Ω_n-1, (n ≥ 1).

EJEMPLO 3.1. Veamos algunos ejemplos de medidas.

1. Sea Ω un conjunto no vacío cualquiera, ω Ω y S = P(Ω)

δ_ω se conoce con el nombre de medida de Dirac concentrada en ω.

2. Sea Ω un conjunto no vacío cualquiera, S = p(Ω)

(card(A) es la cardinalidad de A). Se tiene que μ es finita si y sólo si Ω es finito; μ es σ-finita si y sólo si Ω es numerable.

3. Ω = ℝ, S conjunto de los intervalos semi-abiertos de la forma

se llama medida de Lebesgue y es σ-finita (probarlo como ejercicio).

4. Sean Ω y S como en (3), sea creciente.

donde

se llama medida de Stieltjes-Lebesgue.

En este caso μ es finita si F(∞), F(–∞) ℝ y siempre es σ– finita.

Casos particulares:

F(x) = x : medida de Lebesgue.

así

y μ = δ_x0: es la medida de Dirac concentrada en x₀.

es la función de distribución normal o de Gauss.

5. Sean μ,ν medidas sobre (Ω,S), entonces:

ƞ(A) := μ(A) + ν(A) (∀A S)

es otra medida positiva sobre (Ω, S) y escribimos ƞ = μ + ν.

6. Sea μ_i medida sobre (Ω_i, S_i), i = 1,2.

define una medida sobre (Ω₁ × Ω₂, S₁ × S₂).

1. Espacios de Medida

Sea (Ω, F) espacio medible, μ una medida positiva sobre (Ω, F), entonces (Ω, F, μ) se llama espacio de medida.

PROPOSICIÓN 3.1. Sea f una aplicación medible de un espacio medible (Ω, F) en otro (Ω′, F′). Sea μ una medida sobre (Ω, F). La aplicación f[μ] : F′ → definida por: f[μ](A′) : μ(f^–1(A′)) es una medida sobre (Ω′, F′) y se llama la medida imagen de μ por f.

Demostración. El resultado es consecuencia inmediata de la medibilidad de f, de las propiedades de la preimagen de conjuntos y de la definición de medida.

EJERCICIO 3.1. Sea (Ω, F, μ) espacio de medida y sea A F.

(a) Probar que F ∩ A := {B ∩ A : B F} es tribu sobre A. La llamamos tribu inducida o traza sobre A por F.

(b) Probar que μ|F∩A define una medida sobre (A, F ∩ A), se llama medida inducida sobre A; (A, F ∩ A, μ) se llama espacio inducido.

PROPOSICIÓN 3.2. Sea Ω un conjunto no vacío, A un álgebra de partes de Ω, μ una medida positiva sobre A.

1. Si A ⊂ B, A,B ∈ A entonces μ(A) ≤ μ(B).

2. Si A, B ∈ A entonces μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B).

3. Si (A_n)_n es sucesión creciente de A tal que , se tiene:

4. Si (A_n)_n ⊂ A tal que entonces:

5. Dada (A_n)_n sucesión decreciente de A tal que y existe al menos un n tal que μ(A_n) < ∞ entonces:

Demostración.

1. B = (B\A) ∪ A. Entonces, μ(B) = μ(B\A) + μ(A), luego μ(B) ≥ μ(A).

2. μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B\A) ≤ p(A) + μ(B) ya que B\A ⊂ B.

3. Supongamos (A_n)_n sucesión creciente con y definamos B₀ := A₀, B_n = A_n – A_n–1 (n ≥ 1).

4. Sea (A_n)n ⊂ A tal que , sea así (C_n)_n es una sucesión creciente de elementos de A cuyo límite es . Entonces, μ(lím ↑ C_n) = lím ↑ μ(C_n). Pero, para todo n ∈ ℕ. Así, .

5. Supongamos que μ(A₀) es finito, así μ(A_n) < ∞ para todo n ∈ ℕ.

De modo que , pero

OBSERVACIÓN 3.1. Si no se tiene la condición μ(A_n) < ∞ para algún n, la última parte de la proposición anterior no es válida como lo muestra el ejemplo siguiente. Considerar Ω = ℕ , A = P(ℕ) y la medida que cuenta puntos: μ({n}) = 1. Entonces, dada la sucesión A_n = {n,n + 1,...} esta es decreciente hacia Ø, sin embargo μ(A_n) = ∞ para todo n ∈ N N, luego lím ↓ μ(A_n) = ∞ ≠ 0 = μ(Ø).

PROPOSICIÓN 3.3. Sea Ω un conjunto y A un álgebra de partes de Ω. Unafunción μ : A → (es decir μ(Ω) < ∞), es medida si y sólo si

1. μ(Ø) = 0;

2. μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B) para todo par de conjuntos disjuntos A, B ∈ A;

3. Si (A_n)_n ⊂ A tal que (A_n) ↓ Ø se tiene: μ(A_n) ↓ 0.

Entonces μ es medida positiva sobre A.

Demostración. Por la proposición anterior se obtiene que las condiciones enunciadas son necesarias, ya que μ(Ω) < ∞.

Demostremos la suficiencia, que se reduce a verificar que μ es σ-aditiva. Sea (A_n) sucesión disjunta de A tal que Σ A_n ∈ A, definamos:

La sucesión (B_n)_n decrece a Ø cuando n ↑ ∞.

Así, (3) equivale a que μ(B_n) ↓ 0, pero y por (2) se puede escribir como:

finalmente, haciendo n ↑ ∞ se obtiene:

COROLARIO 3.1. Sea (Ω, F, μ) un espacio de medida σ-finita. Sea (f_n) una sucesión de funciones numéricas medibles sobre Ω que converge simplemente hacia f. Para todo ∈ > 0 existe entonces T ∈ F tal que μ(T) < ∈ y que (f_n) converge uniformemente hacia f sobre Ω\T.

Demostración. Supongamos primero μ(Ω) < ∞ y ∈ > 0.

Sea

Tenemos que, por convergencia simple, crece a Ω cuando n ↑ ∞ para todo k, luego la sucesión de los respectivos complementos decrece y aplicamos 3.3.

Escogemos entonces un índice n(k) tal que se tenga

para todo n > n(k).

Además,

para todo p ≥ n(k), para todo k.

En el caso μ σ-finita, existe (Ω_n)_n ⊂ F sucesión disjunta tal que Ω = Σ_ℕ Ω_n con μ(Ω_n) < ∞ para todo n ∈ ℕ. En cada conjunto Ω_q, se fabrican conjuntos T_q siguiendo el procedimiento anterior, de modo que la sucesión (f_n|Ω_q)_n converja uniformemente sobre T_q y que μ(Ω_q\T_q) < ∈2^–q. El conjunto T = Σ_q T_q ⊂ Ω satisface entonces las propiedades requeridas.

2. Conjuntos Despreciables

DEFINICIÓN 3.2. Sea Ω un conjunto, A un álgebra de partes de Ω y μ una medida sobre A. D ⊂ Ω es μ-despreciable (o despreciable) si existe A ∈ A tal que A ⊃ D y μ(A) = 0.

Dada una propiedad sobre los elementos de Ω diremos que ella se satisface μ-casi en todas partes (c.t.p.) si el conjunto de los ω ∈ Ω que no verifican la propiedad es despreciable.

Denotamos D_μ la familia de los conjuntos μ-despreciables.

OBSERVACIÓN 3.2. En un espacio de medida, D_μ es estable para (∪_n, ∩_n).

EJERCICIO 3.2. Sea (Ω, F, μ) un espacio de medida. Definimos

1. Probar que la tribu (3.5) se escribe también:

2. Probar que se puede extender μ a por:

DEFINICIÓN 3.3. Dado un espacio de medida (Ω, F, μ) se define la completación del espacio con respecto a μ como el triple donde se definen como en el ejercicio 3.2.

Decimos que el espacio de medida es μ-completo si D_μ ⊂ F.

EJERCICIO 3.3. Sea (Ω,F, μ) un espacio de medida. Probar que una función -medible si y sólo si existe , F-medible, y .

3. Extensión de medidas

Hemos visto que una semi-álgebra es una estructura relativamente pobre. Por el contrario, la tribu generada por ella es, intuitivamente un “enorme” conjunto. El resultado siguiente, que será probado en la siguiente sección, nos permite prolongar medidas desde la estructura más pobre (la semi-álgebra) A la más rica (su tribu engendrada). Esto nos provee de un procedimiento de construcción de medidas: es más fácil definirlas en las semi-álgebras y luego extenderlas.

TEOREMA 3.1. (Carathéodory) Sea S una semi-álgebra de partes de un conjunto Ω.

1. Toda medida positiva μ sobre S se prolonga de manera única en una medida positiva sobre el álgebra a(S) generada por S.

2. Toda medida positiva μ sobre S se prolonga en una medida positiva sobre la tribu σ(S) generada por S.

3. Si la medida μ es σ-finita., la extensión a σ(S) es única.. Además, para todo T ∈ σ(S) y todo ∈ > 0, existe una sucesión (S_n)_n de elementos de S tal que T esté contenido en la reunión de los S_n y se tenga

El caso interesante es por supuesto aquél en que la medida es σ-finita. En ese caso, el teorema afirma no sólo la existencia y la unicidad de la extensión, sino que también provee, para cada T ∈ σ(S), de un procedimiento de cálculo aproximado de la medida de T. Este es un resultado crucial en la Teoría de la Integración. En la sección siguiente se verá su demostración como una aplicación de un procedimiento de extensión de capacidades. Por el momento nos contentamos con deducir algunos de sus corolarios más directos e importantes.

PROPOSICIÓN 3.4. Sea λ la aplicación definida sobre la semi-álgebra I_d de los intervalos reales cerrados por la derecha dada por:

λ(]a, 6]) := b – a

Entonces existe una única extensión de λ a B() que designaremos también por λ.

Esta medida cumple además la propiedad de aproximación siguiente. Si B es un conjunto boreliano, para todo ∈ > 0 existe una sucesión de intervalos (I_n)_n cuya reunión contiene a B y tal que

El espacio se conoce con el nombre de espacio de Borel y el triple se llama espacio de Lebesgue, la medida λ la llamamos medida de Lebesgue.

PROPOSICIÓN 3.5. La medida de Lebesgue sobre es invariante por translaciones.

Demostración. Para todo a ∈ , denotemos θ_a la translación de vector a, es decir, θ_a(x) = x + a, (x ∈ ). La proposición significa que para todo a ∈ y todo B ∈ B(), se tiene:

Ahora bien, la aplicación λ' de B() en que A todo boreliano B asocia λ(θ_a(B)), es una medida sobre B() como se verifica de inmediato. Si B = ]α,β] ∈ I_d, se tiene:

Luego, las dos medidas coinciden sobre la semi-álgebra I_d. Como ambas son σ-finitas, ellas son iguales a causa de la unicidad de la extensión que resulta del Teorema de Carathéodory.

OBSERVACIÓN 3.3. Una generalización de la medida de Lebesgue: la medida de Stiejes-Lebesgue. Dada una función creciente continua a la derecha en cada punto, definimos una medida

μ_F(]a, b]) = F(b) – F(a)

Entonces existe una única medida μ_F sobre (y respectivamente sobre que la llamamos medida de Stieltjes-Lebesgue asociada a F.

OBSERVACIÓN 3.4. Es natural preguntarse sobre la relación que existe entre las tribus de Borel, de Lebesgue y el conjunto de todas las partes de . Es evidente que se tiene , pero no es tan claro que las inclusiones sean estrictas. El lector podrá satisfacer su curiosidad a este respecto en los ejercicios propuestos al fin del capítulo.

4. Demostración del Teorema de Carathéodory

En esta sección nos concentraremos en la prueba del Teorema de carathéodory 3.1.

Comencemos por una pequeña aplicación del Teorema de las Clases Monótonas.

LEMA 3.1. Sea A un álgebra de partes de un conjunto no vacío Ω y sea μ una medida σ-finita sobre A. Si σ admite una extensión a la tribu σ(A) esta extensión es única.

Demostración. Supongamos que μ admite dos extensiones μ₁, μ₂ a la tribu σ(A). Definimos entonces:

M = {A ∈ σ(A) : μ₁(A) = μ₂(A)}.

Las extensiones restringidas al álgebra coinciden, por lo tanto A ⊂ M.

Por otra parte, si (A_n)_n es una familia creciente de elementos de At, su reunión pertenece a esta misma familia. Es una consecuencia de la proposición 3.2. Si la sucesión es decreciente, para probar que su intersección pertenece a M mediante la proposición 3.2, usamos la hipótesis adicional de la σ-ñnitud. Sea (Ω_p)_p una partición de Ω donde cada Ω_p ∈ A y μ(Ω_p) < ∞ Dada (A_n)_n familia decreciente de elementos de M, los conjuntos A_n ∩ Ω_p decrecen con n para cada p y tienen medida finita. Luego,

En consecuencia,

para todo p. Y finalmente, como los conjuntos Ω_p constituyen una partición de Ω, se tiene μ₁(∩_n A_n) = μ₂(∩_n A_n).

Por lo tanto, M es una clase monótona que contiene al álgebra A. El Teorema de las Clases Monótonas implica entonces que σ(A) = M(A) ⊂ M. Por ende σ(A) = M y μ₁ coincide con μ₂.

Ahora nos concentraremos en la prueba de la existencia de una extensión, partiendo del caso de una función de conjuntos aditiva y finita, definida sobre una semi-álgebra.

PROPOSICIÓN 3.6. Sea S una semi-álgebra de subconjuntos de Ω ≠ Ø. Sea μ una función aditiva de conjuntos definida sobre S, que satisface:

(i) μ (Ø) = 0, μ (Ω) < ∞

(ii) μ es aditiva sobre S

(iii) Si (S_n)_n∈ℕ es una sucesión de S que decrece hacia Ø, entonces μ(S_n) ↓ 0.

Entonces μ se extiende en una medida única a la tribu F = σ(S) generada por S. Más aún, esta medida verifica que para todo F ∈ F y todo ∈ > 0, existe una sucesión (S_n)_n∈ℕ de elementos de S, donde S_n ∩ S_m = Ø para n ≠ m, y ∪_n∈ℕ S_n ⊂ F de modo que

Demostración. Comenzamos por extender μ al álgebra A = σ(S) generada por S. Cada elemento de esta álgebra se escribe en la forma

donde I es ñnito y cada S_i ∈ S siendo estos elementos disjuntos dos a dos. Definimos simplemente

Es una definición que no es ambigua pues si es otra representación de A, con propiedades análogas a la primera, se tiene que

Luego, aplicando la Proposición 3.3, μ así definida es una medida sobre el álgebra A.

Si se demuestra la existencia de una extensión de esta medida a σ(A), ella será única como consecuencia del lema precedente.

Estudiaremos entonces un método de construcción de una extensión. Para ello introduciremos la noción de medida exterior en dos pasos, en primer lugar, si A ∈ A_σ, su medida exterior se define como

Y luego, para cada C ⊆ Ω,

Comenzaremos por probar ciertas propiedades de la medida exterior sobre el conjunto A_σ. El lector puede verificar por simple aplicación de la fórmula de distributividad entre reuniones e intersecciones, que la familia A_σ es cerrada para reuniones e intersecciones finitas.

Propiedades de μ^* sobre A_σ.

(a) Acotación: , y para todo A ∈ A_σ, se tiene

(b) Aditividad: si A₁, A₂ ∈ A, entonces

μ^* (A₁ ∪ A₂) + μ^* (A₁ ∩ A₂) = μ^* (A₁) + μ^* (A₁) + μ^* (A₂).

(c) Crecimiento: Si A₁ ⊂ A₂ en A_σ, entonces μ^* (A₁) ≤ μ^* (A₂)

(d) Monotonía: Si A_n ↑ A con A_n ∈ A_σ, entonces A ∈ A_σ y μ^* (A) = sup_n μ^* (A_n).

La primera propiedad es inmediata. Consideremos enseguida A₁ = ∪_n A_1,n, A₂ = ∪_n A₂,n, donde A_1,n, A_2,n ∈ A. Se tiene

μ (A_1,n ∪ A_2,n) + μ (A_1,n ∩ A_2,n) = μ (A_1,n) + μ (A_2,n).

Tomando el límite en n y observando que A_1,n ∩ A_2,n ↑ A₁ ∩ A₂ y A_1,n ∪ A_2,n ↑ A₁ ∪ A₂, de la definición de μ^* (·) sobre A_σ resulta la propiedad (b).

La propiedad (c) es inmediata de la definición de medida exterior. Para probar (d), consideremos una sucesión creciente (A_n)_n∈ℕ de elementos de A_σ, donde cada A_n = ∪_m∈ℕ A_n,m, con A_n,m ∈ A, y sea A = lím_n A_n = ∪_n∈ℕ A_n. Sea B_n = ∪_m≤n A_n,m ∈ A, esta sucesión es creciente y su límite es A. Si m ≤ n se tiene A_n,m ⊂ B_n ⊂ A_n y luego

μ(A_n,m) ≤ μ(B_n) ≤ μ^* (A_n).

Basta entonces hacer tender sucesivamente n y m hacia infinito para obtener μ* (A) = lím_n μ* (B_n) = lím_n μ* (A_n).

Nótese finalmente que μ* (A) = μ (A) si A ∈ A.

Enseguida, analicemos las propiedades de la medida exterior sobre el conjunto de todas las partes de Ω.

Propiedades de μ* sobre P(Ω).

(aa) Acotación: Para todo C ⊂ Ω, se tiene 0 ≤ μ* (C) ≤ 1.

(bb) Sub-aditividad: si C₁, C₂ ∈ P(Ω), entonces

μ* (C_i ∪ C₂) + μ* (C₁ ∪ C₂) ≤ μ* (C₁) + μ* (C₂).

En particular, μ* (C) + μ* (C^c) ≥ 1.

(cc) Crecimiento: Si C₁ ⊂ C₂ ⊂ Ω entonces μ* (C₁) ≤ μ* (C₂)

(dd) Monotonía: Si C_n ↑ C ⊂ Ω, entonces μ* (C) = sup_n μ* (C_n).

Procedamos a demostrar estas propiedades. La primera, (aa), es una consecuencia fácil de la definición. Para probar (bb), fijamos un ∈ > 0 arbitrariamente pequeño y para i = 1,2 determinemos A_i ∈ A_σ tales que C_i ⊂ A_i, μ^* (C_i) + ∈/2 ≥ μ^* (A_i). Entonces