Manual de preparación PSU Matemática

Segundos en un día: 86.400 = 8,64 • 10⁴

Días en un año: 365 = 3,65 • 10²

Se calcula el producto de los segundos en un día por la cantidad de días de un año, esto es, (8,64 • 10⁴) • (3,65 • 10²):

En un año hay 3,1536 • 10⁷ segundos.

b) En su órbita alrededor del Sol, la Tierra recorre cerca de 2.573.000 km cada día. ¿Con qué rapidez, en kilómetros por segundos, gira la Tierra en torno al Sol?

Por lo tanto, la Tierra gira alrededor del Sol con una rapidez aproximada de 2,98 • 10¹ km/s.

En ocasiones se utiliza el “peso” y la “masa” como términos equivalentes. Sin embargo no lo son, ya que el “peso” es una magnitud vectorial y la “masa” un escalar.

Actividades

1. Determina cuáles de los siguientes números están escritos en notación científica.

a) 12,5

b) 1,11 • 10

c) 6,05 • 10⁸

d) 3,64 • 10²⁹

e) 10,9 • 10⁴

f) 0,008 • 10²³

g) 2,58 • 10²³

h) 0,154 • 10⁶

2. Escribe los siguientes números en notación científica.

a) 2.200

b) 56.040.000

c) 0,0015

d) 0,00000036

e) 3.520.000

f) 345,876

3. Escribe los siguientes números en notación decimal.

a) 6,8 • 10²⁴

b) 6,72 • 10⁵

c) 2,115 • 10⁴

d) 5,31 • 10²⁵

e) 5,04 • 10²

f) 7,31 • 10²⁵

4. Escribe las siguientes magnitudes usando la notación científica.

a) Una tonelada métrica equivale a 1.000.000 g.

b) Un nanómetro es una unidad de medida que se utiliza para medir la radiación ultravioleta y equivale a 0,000000001 metros.

c) El área de la superficie de Australia es aproximadamente 7.686.850.000.000 m².

d) El número aproximado de átomos en 1 gramo de oro es 278.000.000.000.000.000.000.

e) La precisión de una balanza es 0,00000001 g.

f) El número de Avogadro (número de partículas en una molécula-gramo o mol) es 602.200.000.000.000.000.000.000.

g) La luz recorre 1 metro en aproximadamente 0,000000003 segundos.

5. Calcula y expresa tu respuesta en notación científica.

6. Utilizando notación científica, resuelve los siguientes problemas.

a) El Pioner II voló alrededor de Júpiter con una rapidez cercana a 173.000 km/h. ¿A cuántos kilómetros por segundos viajó?

b) Cierto isótopo tiene una vida media de 1,65 • 10^–4 segundos. Mientras que otro tiene una vida media de 1,64 • 10^–4 segundos. ¿Cuántas veces más larga es la vida media del primer isótopo respecto del segundo?

7. En el análisis de una muestra de sangre de un paciente se encontró que el número de glóbulos rojos por mm³ de sangre es 4,8 • 10⁶. Utilizando notación científica resuelve.

a) ¿Cuál es el número de glóbulos rojos de este paciente si su cuerpo contiene aproximadamente 5 litros de sangre?

b) Si el diámetro de un glóbulo rojo es aproximadamente 10^–2 mm, ¿cuál es la longitud en kilómetros de una hilera formada por los glóbulos rojos de este paciente?

c) Si la longitud del ecuador es aproximadamente de 40.000 km, ¿cuántas veces podría dar la vuelta a la Tierra esta hilera de glóbulos rojos?

3.4 Raíces

Raíz enésima

Propiedades de las raíces

Es importante tener en cuenta que para los exponentes racionales también se cumplen las propiedades de las potencias, y que de estas se pueden deducir las siguientes propiedades para raíces enésimas:

Actividades resueltas

1. Escribe la expresión como potencia y calcula su resultado.

2. Escribe la expresión como una potencia de exponente racional.

3. Aplica las propiedades de las raíces para simplificar la siguiente expresión algebraica.

Actividades

1. Completa la tabla.

2. Explica cuál es el error en el siguiente procedimiento.

3. Numera los pasos para simplificar la siguiente expresión.

4. Aplica las propiedades de las raíces para simplificar las siguientes expresiones.

5. Calcula el valor de m en cada caso.

6. Escribe las expresiones como potencias de exponente racional. Luego, simplifica si es posible,

7. Completa cada una de las siguientes igualdades.

8. Lee y resuelve.

Según la teoría de la relatividad de Einstein, la masa m de un objeto que se mueve a una velocidad v está dada por:

Donde m₀ es la masa del objeto en reposo y c = 3 • 10⁸ m/s.

Calcula la masa de un protón que se desplaza con v = 0,5c si su masa en reposo es 1,6 • 10^–27 kg.

9. Un cono es un cuerpo de revolución generado por un triángulo rectángulo que gira sobre uno de sus catetos. El cateto sobre el que gira es la altura y la hipotenusa es la generatriz del cono.

Determina la generatriz g del cono si:

3.5 Operaciones con raíces

Adición y sustracción de raíces

Para resolver adiciones o sustracciones con raíces es posible realizar un procedimiento similar a la operatoria con términos semejantes.

Actividad resuelta

Si y h = b – c + a, ¿cuál es el valor de h?

Por lo tanto, el valor de h es

Multiplicación y división de raíces

Para multiplicar y dividir raíces se pueden considerar los siguientes casos:

Con igual índice	Con distinto índice
Multiplicación: se multiplican tanto los coeficientes como las cantidades subradicales entre sí y se aplica la propiedad de la raíz de un producto. Luego, se simplifica el resultado. División: se dividen los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales se escriben dentro del mismo radical. Se simplifican hasta donde sea posible.	Cuando se multiplican o dividen raíces con distinto índice se transforman a raíces con igual índice y se procede como en el caso anterior. Para determinar el índice común: • se calcula el mínimo común múltiplo entre los índices de las raíces, el cual será el índice común. • se divide el índice común por el índice de la raíz y se eleva la cantidad subradical a ese resultado.

Actividad resuelta

Calcula el siguiente producto .

Actividades

1. Resuelve las siguientes operaciones.

2. Determina los números que hacen verdadera cada igualdad.

3. Calcula el producto en cada caso. Simplifica el resultado.

4. Ordena cada grupo de números de mayor a menor.

5. Deduce una expresión algebraica para expresar el área del cuadrado.

6. Determina el área de un triángulo equilátero cuyo lado tiene la misma medida que el lado de un cuadrado, como se muestra en la figura.

7. Determina la expresión del volumen del siguiente cuerpo.

8. Calcula el valor de si:

9. Demuestra que:

10. Determina el valor de k para que se cumpla la igualdad.

3.6 Racionalización

Cuando una fracción tiene raíces en el denominador es posible encontrar una expresión equivalente sin raíces en el denominador por medio de la racionalización. Para ello se amplifica por una expresión adecuada, de forma que permita expresar el denominador sin raíces.

Actividad resuelta

Racionaliza las expresiones

Actividades

1. En cada caso, multiplica por una expresión que permita simplificar las raíces. Justifica tu respuesta.

2. Enumera los pasos para racionalizar la expresión.

3. Racionaliza las siguientes expresiones.

4. En el movimiento de un péndulo, el período T está determinado por la expresión.

l: longitud y g: gravedad.

a) Racionaliza la expresión asociada al período de un péndulo.

b) Calcula el período si l = m, considerando g = 9,8 m/s².

5. La velocidad del agua en canales abiertos está determinada por la fórmula de Manning.

a) Escribe en forma de radical la expresión de la velocidad del agua.

b) Racionaliza la fórmula de Manning.

6. Determina el orden de menor a mayor entre los siguientes números.

7. La siguiente figura está formada por un cuadrado dentro del cual se dibujaron otros tres cuadrados cuyas áreas se especifican en las figuras. Determina el área de la figura pintada.

3.7 Aproximación en

Dado que un número irracional tiene infinitas cifras decimales no periódicas, no es posible tener una representación exacta de la cantidad de cifras decimales que tiene. Es por ello que se pueden aproximar por truncamiento y por redondeo.

Aproximación por truncamiento

Para truncar un número en cierta cifra decimal, se eliminan las cifras decimales que le siguen.

Actividad resuelta

Aproxima truncando a la milésima el número irracional 3,141516171819...

Al truncarlo a la milésima se obtiene: 3,141.

Aproximación por redondeo

Para redondear un número en una cierta cifra decimal hay que fijarse en el valor de la cifra siguiente; si es mayor o igual a 5, se suma 1 a la cifra por redondear y las restantes no se consideran. Si la cifra es menor que 5, se mantiene igual y las restantes cifras decimales no se consideran.

Actividad resuelta

Aproxima redondeando a la milésima el número irracional 3,141516171819...

Al redondearlo a la milésima se obtiene 3,142.

Algunos tipos de aproximaciones para números correspondientes a raíces cuadradas no exactas son la aproximación pitagórica y la aproximación por acotación sucesiva.

Aproximación pitagórica

Si es una aproximación por exceso de (mayor que ), entonces es una aproximación por defecto (menor que y aún más precisa. A su vez, si es una aproximación por defecto (menor que ), lo es por exceso. En general, siempre se cumple una de las siguientes desigualdades, siendo n un número entero no negativo.

Actividad resuelta

Calcula una aproximación de .

Una fracción que cumple . Como 16 > 13 > 9, entonces 4 > > 3. Considerando 4 > , aproximando por defecto se tiene:

Ahora, aproximando por exceso, se considera que .

Luego, se tiene que:

Se puede aplicar este proceso reiteradamente para obtener una mejor aproximación.

Aproximación por acotación sucesiva

Se acota el número irracional x, tanto inferior como superiormente, es decir, se determinan dos números racionales a y b tal que a < x < b, luego se calcula el promedio entre estos números y se prosigue tantas veces como sea necesario.

Actividad resuelta

Determina una aproximación .

El proceso continúa tantas veces como se quira, según la aproximación conseguida.

Orden en

es un conjunto ordenado. Asi, para comparar numeros reales, y en particular numeros irracionales, se pueden representar como numeros decimales, para luego compararlos. Una manera alternativa si se consideran raices cuadradas, consiste en com-parar sus cuadrados, ya que para numeros mayores que 1, mientras mayor sea un numero, mayor es su expresion al cuadrado.

Actividad resuelta

Ordena de menor a mayor .

Al elevarlas al cuadrado resulta: = 50, luego se tiene lo siguiente: .

Actividades

1. Aproxima por truncamiento y redondeo cada número.

a) 3,14151617… a la centésima.

b) 15,3698765… a la décima.

2. Aproxima las siguientes raíces utilizando cada método según corresponda.

3. Ordena de menor a mayor según corresponda.

3.8 Números irracionales en la recta numérica

Para ubicar números irracionales en la recta numérica es necesario aproximarlos, ya que tienen infinitas cifras decimales. Por ejemplo, para π se puede considerar 3,1415 y se marca dicha aproximación con un punto en la recta. Sin embargo, para situar en la recta numérica la raíz cuadrada de un número natural, es posible utilizar algún procedimiento geométrico.

Actividad resuelta

Ubica el número en la recta numérica.

Sobre el número 1 se traza un segmento AB perpendicular que mida 1 unidad, luego se forma un triángulo uniendo el número 0 con B. Al aplicar el teorema de Pitágoras se tiene que la hipotenusa mide , luego con centro en 0 y radio igual a la hipotenusa se traza un arco de circunferencia que corta a la recta numérica en .

Prosiguiendo de esta forma se pueden ubicar en la recta numérica , etc.

Esta construcción geométrica que representa las raíces cuadradas de los números naturales se conoce como la espiral de Teodoro.

Actividades

1. Determina qué número se ha representado con una letra en la recta numérica.

2. En cada recta numérica determina qué números representan las letras A, B y C.

3.9 Logaritmos

El logaritmo de a en base b (log_b a) es el exponente de una potencia de base b cuyo valor es a, es decir, si a , b – {1} y x , se define lo siguiente:

log_b a = x ⇔ b^x = a

Para relacionar la potencia, el logaritmo y la raíz enésima, con n y a, b , b ≠ 1, se tiene lo siguiente:

bⁿ = a ⇔ n = log_b a ⇔ b =

Cuando la base del logaritmo es 10 log₁₀ a = log a.

El logaritmo de base e se conoce como logaritmo natural. Así, log_e a = ln a.

Actividades resueltas

1. Calcula el valor de log₅ 125.

Por definición se tiene que: log₅ 125 = x ⇔ 5^x = 125. Como 5³ = 125, se tiene que x = 3.

2. Si log_x 8 = 3, ¿cuál es el valor de x?

Se sabe que log_x 8 = 3 ⇔ x = , luego x = 2.

3. ¿Cuál es el valor de log 10.000?

Considerando x = log 10.000 ⇔ 10^x = 10.000, se obtiene que x = 4, luego log 10.000 = 4.

4. Si ln x = 0 y log y = 5, ¿cuál es el valor de x + y?

De ln x = 0 se obtiene que e⁰ = x, luego 1 = x; además, de log y = 5 ⇔ 10⁵ = y, se obtiene que y = 100.000. Por lo tanto, x + y = 100.001.

Actividades

1. Calcula.

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

3.10 Propiedades de los logaritmos

El logaritmo cumple las siguientes propiedades:

• Logaritmo de la unidad. Si b – {1}, entonces:

log_b 1 = 0

• Logaritmo de un producto. Si a – {1}, b, c , entonces:

log_a (b • c) = log_a b + log_a c

• Logaritmo de una potencia. Si a – {1}, b entonces:

log_a bⁿ = n • log_a b

• Logaritmo de la base. Si b – {1}, entonces:

log_b b = 1

• Logaritmo de un cociente. Si a – {1}, b, c , entonces:

• Cambio de base de un logaritmo. Si a, b, c – {1}, entonces:

Actividades resueltas

1. Calcula el valor de la expresión .

2. Utilizando las propiedades estudiadas, calcula .

Actividades

1. Calcula el valor de cada expresión.

2. Considerando log₃ 5 = 1,465, log₃ 7 = 1,771, log₆ 5 = 0,898 y log₆ 2 = 0,387, calcula los siguientes logaritmos.

3. Reduce cada expresión. Para ello, aplica las propiedades del logaritmo.

4. Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Justifica en cada caso.

5. Resuelve.

a) Si M • N³ • P = 625, ¿cuál es el valor de la expresión ?

b) Si A = (log₂ 80 – log₂ 5) + (log₃ 135 – log₃ 5), ¿cuánto es A²?

c) Calcula el valor de la expresión A = log₆ (log₃ (log₂ (log₂ 256))).

d) ¿Cuál es el valor de la expresión

e) Si F = 4 log₁₆ (log₈ ), ¿cuál es el valor de 3F?

f) Se define B = log₃₀ 64 + log₃₀ 15³ – 3 log₃₀ 2. ¿Cuál es el valor de log₃ B²?

4. Números complejos ()

4.1 Números imaginarios II

Las ecuaciones de la forma x² + a = 0, a , no tienen solución en el conjunto numérico de los números reales porque el cuadrado de un número real es un número no negativo y al ser sumado con un número positivo su resultado no es cero. En particular en la ecuación x² + 1 = 0, si tuviese solución en el conjunto de los números reales, debiese existir un número real con la condición de que x² = –1. Para resolver el problema se define el número i (unidad imaginaria) como el número cuyo cuadrado es –1, es decir, i² = –1. Por lo tanto la ecuación x² + 1 = 0 tiene como soluciones x₁ = i, x₂ = –i.

Las ecuaciones de la forma x² + a = 0, con a , tienen dos raíces o soluciones imaginarias que son:

Potencias de i

En el desarrollo de potencias de i se tiene:

En general, se tiene ∀ p :

Actividades resueltas

1. Determina si las siguientes ecuaciones tienen solución en .

a) x² + 10 = 0

Al despejar se obtiene x² = –10. Luego, no existe un número real que al elevarlo al cuadrado resulte –10. Por lo tanto, no tiene solución en .

b) 4x² – 16 = 0

Al despejar se obtiene x² = 4. Luego se tiene que existen dos números reales que cumplen la igualdad: 2 y –2. Por lo tanto, tiene solución en .

2. Resuelve las siguientes ecuaciones.

3. Calcula el valor de cada potencia.

4. Calcula el resultado de cada expresión.

Actividades

1. Determina cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución en .

a) x² + 6 = 0

b) x² – 5 = 0

c) 5x² – 25 = 0

d) 0 = 4x² + 32

e) 0 = 12(x² + 3)

f) 15 = 7x² – 15

g) 8(x² + 12) = 16(x² – 7)

2. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x² + 5 = 0

b) 0 = 150 + x²

c) x² + 12 = 0

d) –x² = 200

e) x² + 16 = 0

f) –5x² = 500

g) 0 = 25 + x²

h) –8x² = 288

i) 0 = 100 + x²

j) –9x² = 81

3. Calcula el valor de cada potencia de i, luego resuelve.

4. Determina el resultado de cada expresión.

5. Verifica si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica en cada caso.

a) Toda expresión de la forma , a , representa un número imaginario.

b) Al calcular i se obtiene como resultado –9.

c) Al calcular i⁴⁵⁶ su resultado es un número real.

d) El resultado de i^–7 es un número imaginario.

6. Calcula cada suma.

a) i³ + i⁶ + i⁹ + ... + i⁹⁶ + i⁹⁹

b) i² + i⁴ + i⁶ + ... + i⁹⁸ + i¹⁰⁰

4.2 Números complejos ( )

El conjunto de los números complejos () está formado por los números de la forma z = a + bi con a, b .

= {z = a + bi / a, b }

En todo número complejo z = a + bi se distinguen dos partes: la parte real de z simbolizada por Re(z) = a, y la parte imaginaria de z simbolizada por Im(z) = b.

Los números reales y los números imaginarios son subconjuntos de los números complejos, ya que:

• Números reales: números complejos de la forma z = a + 0i, es decir, Im(z) = 0.

• Números imaginarios: números complejos de la forma z = 0 + bi, es decir, Re(z) = 0.

Igualdad entre números complejos

Dos números complejos z₁ y z₂ son iguales si sus partes real e imaginaria son respectivamente iguales. Es decir:

z₁ = z₂ ⇔ Re(z₁) = Re(z₂) e Im(z₁) = Im(z₂)

Entre los conjuntos numéricos estudiados, se tiene lo siguiente: .

Representado en un diagrama, se tiene:

Actividades resueltas

1. Determina la parte real e imaginaria de cada número complejo.

2. Si z₁ = (12x – 6) + 8i, z₂ = 18 + (5 – y)i, ¿cuáles son los valores de x e y para que z₁ = z₂?

Se debe cumplir Re(z₁) = Re(z₂) e Im(z₁) = Im(z₂), es decir:

• 12x – 6 = 18 ⇒ x = 2

• 8 = 5 – y ⇒ y = –3

Remplazando estos valores se tiene: z₁ = z₂ = 18 + 8i.

Actividades

1. Escribe o , según corresponda.

2. Determina la parte real y la parte imaginaria de cada número.

3. Escribe cada número en la forma z = a + bi según las condiciones dadas.

4. Escribe un número complejo que cumpla con la condición solicitada.

a) La parte real sea el doble de la parte imaginaria.

b) La parte imaginaria sea negativa y la parte real sea un número mayor que –5 y menor que cero.

c) Su parte real sea cero y su parte imaginaria sea un número par primo.

d) Su parte imaginaria sea cero y su parte real 7.

e) La parte real sea menor que 3 y mayor que 1 y la parte imaginaria sea un número negativo.

f) La parte real sea un múltiplo de 5 y la parte imaginaria sea divisor de 8.

5. Resuelve.

a) Si z = x + (16 + y)i, w = – 7yi, ¿cuáles son los valores de x e y para que z = w?

b) Si z₁ = (5a + 12) + 7i, z₂ = 17 – bi, ¿cuáles son los valores de a y b para que z₁ = z₂?

c) Si z = (x + 2y) + (5 + 7y)i, w = – (5 – 12y)i, ¿cuáles son los valores de x e y para que z = w?

d) Si z₁ = z₂ y z₁ = 3 – (5 + y)i, z₂ = (4 – 2x) + (7 – 5y)i, ¿cuáles son los valores de x e y?

e) Si z = 3x + (5y – 4)i, w = 15 – 8yi, para que z = w, ¿cuánto es x + y?

6. Determina los valores de p y q para que se cumpla cada igualdad.

4.3 Representación gráfica de números complejos

En el plano cartesiano se utilizan los ejes X e Y, que representan los números reales. Es posible construir el plano complejo, que se conoce como plano de Argand, identificando el eje Y con las partes imaginarias (Im(z)) y el eje X con las partes reales (Re(z)). De esta manera, es posible representar un número complejo cualquiera como un punto en este plano identificando su parte real en el eje X, y su parte imaginaria en el eje Y.

Un número complejo z se puede representar en:

• Forma binomial: z = a + bi

• Forma cartesiana: z = (a, b)

Conjugado de un número complejo

Se define el conjugado de un número complejo z = a + bi, como:

De lo anterior se deduce lo siguiente.

• El conjugado de un número cuya parte imaginaria es cero, es el mismo número.

Si z = a ⇒ = a.

• El conjugado del conjugado de un número complejo es el mismo número complejo.

• Un número complejo z y su conjugado se ubican en forma simétrica respecto al eje real del plano de Argand.

Módulo de un número complejo

En el plano de Argand, el número complejo z = a + bi o z = (a, b), se representa utilizando un vector desde el origen del plano hasta el punto z. La longitud del vector corresponde al módulo del número complejo, que se anota por |z| y se calcula por:

Actividades resueltas

1. En el plano de Argand se han representado los números complejos z₁, z₂, z₃ y z₄. ¿Cuál es su representación en forma binomial y cartesiana?

2. Si z₁ = 3 – 5i, z₂ = –5 + 8i y z₃ = –1,5 – 7i, ¿cuáles son los conjugados?

3. Representa en el plano el número complejo z = –3 + 2i, su conjugado y luego calcula su módulo.

El conjugado del número complejo es , y su módulo es:

Además se observa que .

Actividades

1. Representa en el plano de Argand los siguientes números complejos.

a) z₁ = 2

b) z₂ = 3i

c) z₃ = 4 – 4i

d) z₄ = –3 – i

e) z₅ = –4 + 5i

f) z₆ = 3 + i

g) z₇ = 5 – 2i

h) z₈ = 7 – 5i

i) z₉ = 6 – 4i

j) z₁₀ = –5 – 2i

2. Observa el plano de Argand, luego responde.

a) Escribe en forma binomial y cartesiana los números complejos que tienen la parte real e imaginaria mayor que cero.

b) Escribe en forma binomial y cartesiana los números complejos que tienen la parte real menor que cero e imaginaria menor que cero.

c) Escribe en forma binomial y cartesiana los números complejos que tienen la parte real mayor que cero e imaginaria menor que cero.

d) Escribe en forma binomial y cartesiana los números complejos que tienen la parte real menor que cero e imaginaria mayor que cero.

3. Calcula el módulo de cada número complejo y su conjugado, luego represéntalo en el plano de Argand.

a) z₁ = –2 – i

b) z₂ = –4 + 2i

c) z₃ = 1 + 4i

d) z₄ = 2 – 2i

e) z₅ = 4 + 2i

f) z₆ = –i

g) z₇ = –2 – 5i

h) z₈ = 8 + 2i

i) z₉ = 3 – 8i

j) z₁₀ = –5 – 4i

4. Determina el módulo y el conjugado de cada número complejo según corresponda.

4.4 Adición en

Para resolver una adición entre dos o más números complejos se suman, respectivamente, las partes reales y las partes imaginarias.

Actividades resueltas

1. Si z₁ = –3 + 2i, z₂ = 5 – 6i, luego z₁ + z₂ = (–3 + 5) + (2 – 6)i = 2 – 4i.

2. Si z₁ = –8 – 4i, z₂ = –12 – 8i, luego z₁ + z₂ = (–8 – 12) + (–4 – 8)i = –20 – 12i.

Propiedades de la adición de números complejos

En el conjunto se cumplen las siguientes propiedades para la adición:

Clausura: si z, w , entonces, z + w .

Conmutativa: si z, w , entonces z + w = w + z.

Neutro aditivo: existe un número complejo 0 tal que z + 0 = z.

Inverso aditivo: existe –z tal que z + (–z) = 0.

Asociativa: los sumandos se pueden agrupar de diferentes formas sin alterar el resultado, es decir, (z + w) + u = z + (w + u).

Al relacionar la adición con el conjugado de un número complejo se cumple que:

Si z = a + bi, se tiene que z + = 2a, ya que z + = (a + a) + (b + (–b))i = 2a

Si z = a + bi y w = c + di, se tiene que , ya que:

Interpretación geométrica de la adición de números complejos

Al representar gráficamente la adición entre dos números complejos, esta se puede relacionar con un paralelógramo. Donde cada sumando corresponderá a un lado y la suma a la diagonal.

Si z₁, z₂ y z₃ , se tiene:

• z₁ + z₂ = z₃

Actividad resuelta

Si (7 + 4i) + z = 2 + 7i, ¿cuál es el número complejo z?

Si z = a + bi, se tiene (7 + 4i) + (a + bi) = 2 + 7i ⇒ (7 + a) + (4 + b)i = 2 + 7i

Igualando las partes reales e imaginarias se obtiene lo siguiente:

• Parte real: 7 + a = 2 ⇒ a = –5

• Parte imaginaria: 4 + b = 7 ⇒ b = 3

Por lo tanto, z = –5 + 3i.

Actividades

1. Si z₁ = 5 + 2i, z₂ = –7 – 8i, z₃ = –i, z₄ = 5 – 2i, calcula:

2. Representa en un solo plano de Argand cada adición entre números complejos.

a) z₁ = 3 – 2i, z₂ = 1 + 2i; A = z₁ + z₂

b) z₃ = 7 + i, z₄ = –3 + 2i; B = z₃ + z₄

c) z₅ = 1 – i, z₆ = 4 – 5i; C = z₅ + z₆

d) z₁ = 2 – 2i, z₂ = 4 + i; D = z₁ + z₂

e) z₃ = –3 + i, z₄ = 1 + i; E = z₃ + z₄

f) z₅ = 1 – 2i, z₆ = 3i; F = z₅ + z₆

g) z₁ = –2i, z₂ = –5 + i; G = z₁ + z₂

h) z₃ = – i, z₄ = 2i; H = z₃ + z₄

i) z₅ = 6 – i, z₆ = 3 + 3i; I = z₅ + z₆

j) z₁ = 7 – 2i, z₄ = 5 – 5i; J = z₁ + z₄

3. Verifica si cada afirmación es verdadera o falsa.

a) El inverso aditivo de z = 1 + i es w = –1 + i.

b) Siempre la suma de números complejos es un número real.

4. Observa el plano de Argand y luego resuelve o responde según corresponda.

5. Resuelve.

a) Si (9 – 3i) + z = 15 + i, ¿cuál debe ser el número complejo z?

b) Si w + (–6 – 2i) = 17 + 3i, ¿cuál debe ser el conjugado de w?

c) Si z = –6 + bi, w = c + 7i y además z + w = –9 – 15i, ¿cuáles son los valores de b y c?

4.5 Sustracción en

Para resolver una sustracción entre dos o más números complejos se restan, respectivamente, las partes reales y las partes imaginarias.

Si z, w , z = a + bi, w = c + di ⇒ z – w = (a – c) + (b – d)i

Al relacionar la sustracción con el conjugado de un número complejo, se tiene lo siguiente:

• Si z = a + bi, se tiene que z – = 2bi.

z – = (a + bi) – (a – bi) = (a – a) + (b – –b)i = (b + b)i = 2bi

• Considerando z , se cumplen las siguientes igualdades:

• Si z = a + bi y w = c + di, se tiene

Actividades resueltas

1. Si z = 5 – 7i, w = – 7 + 6i, ¿cuánto es z – w?

z – w = (5 – –7) + (–7 – 6)i = 12 – 13i

2. Si (– 4 + 2i) – z = –3 + 2i, ¿cuál debe ser el número complejo z?