Manual de preparación PSU Matemática

Si z = a + bi, se tiene:

(–4 + 2i) – (a + bi) = –3 + 2i ⇒ (–4 – a) + (2 – b)i = –3 + 2i

Igualando sus partes real e imaginaria se obtiene:

• Parte real: –4 – a = –3 ⇒ a = –1

• Parte imaginaria: 2 – b = 2 ⇒ b = 0

Por lo tanto, z = –1.

Nota histórica

Si bien los números imaginarios eran conocidos desde el siglo XVI, no fue hasta principios del siglo XIX que se les dio validez a partir de su interpretación geométrica (plano de Argand). Esta interpretación fue dada casi simultáneamente por el matemático Carl F. Gauss (1777-1855) y dos aficionados a la matemática: un noruego de apellido Wessel (1745-1818) y un tenedor de libros parisino llamado Argand (1768-1822).

3. Si z₁ = 3 + 2i, z₂ = 2 – i, z₃ = 5 + i, resuelve y representa las siguientes sustracciones: z₃ – z₂ y z₃ – z₁.

z₃ – z₂ = (5 + i) – (2 – i)

= 3 + 2i

= z₁

z₃ – z₁ = (5 + i) – (3 + 2i)

= 2 – i

= z₂

Actividades

1. Si z₁ = 6 – 4i, z₂ = –4i, z₃ = –3 + 2i, z₄ = 6 + 4i, calcula.

2. Si z₁ = 3 – 4i, z₂ = –5 – 2i, z₃ = –2 – 6i, z₄ = –3 + 4i, calcula y luego representa en un plano de Argand lo siguiente.

3. Verifica si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.

a) La sustracción entre un número complejo y su conjugado da como resultado un número real.

b) La diferencia entre números complejos cumple la propiedad asociativa.

c) El resultado de (1 – i) – (1 + i) – (–1 – i) es igual a 1.

4. Observa el plano de Argand y luego resuelve.

5. Resuelve.

a) Si (3 – 5i) – z = 14 + 5i, ¿cuál debe ser el número complejo z?

b) Si w – (–6 + 13i) = 8 – 5i, ¿cuál debe ser el conjugado del número complejo w?

c) Si z = a – (3 – b)i, w = 12 + (5 – 4b)i y además w – z = –5 – 4i, ¿cuáles son los valores de a y b?

6. Demuestra las siguientes igualdades.

4.6 Multiplicación en

La multiplicación entre dos números complejos z = a + bi, w = c + di se define por:

z • w = (a + bi) • (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

Propiedades de la multiplicación en

En se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación:

Clausura: si z, w , entonces z • w .

Conmutativa: si z, w , entonces z • w = w • z.

Neutro multiplicativo: z • 1 = 1 • z, = z ∀ z .

Inverso multiplicativo: si z = a + bi ≠ 0, existe i tal que z • z^–1 = 1 = 1 + 0i.

Asociativa: si z, w, u , entonces (z • w) • u = z • (w • u).

La propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición o de la sustracción.

∀ z, w, u , entonces z • (w ± u) = z • w ± z • u.

Al relacionar la multiplicación con el conjugado de un número complejo, se tiene que:

• Si z = a + bi, entonces = |z|², ya que = (a + bi) • (a – bi)

• Si z = a + bi y w = c + di, entonces

Actividad resuelta

Si z₁ = –3 – 5i, z₂ = 2 + 3i, verifica que se cumple la propiedad conmutativa.

Actividades

1. Si z₁ = 3 – 5i, z₂ = 4 – 2i, z₃ = 3 + 5i, z₄ = –6 – 8i calcula:

2. Demuestra las siguientes propiedades. Considera z₁, z₂ .

3. Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que:

4. Calcula cada producto y luego represéntalo en el plano de Argand.

5. Calcula el inverso multiplicativo de los siguientes números complejos.

4.7 División en

Para resolver una división entre z₁ = a + bi, z₂ = c + di es posible amplificar por el conjugado del denominador y determinar el resultado:

De manera equivalente:

Actividades resueltas

1. Si z₁ = –2 + 3i, z₂ = 1 + 2i, calcula z₁ : z₂.

2. La impedancia es un fenómeno físico que se describe por medio de oscilaciones y es de gran importancia en ingeniería electrónica. La impedancia Z (en ohms) afecta la corriente en un circuito y se determina mediante la fórmula: . Determina la impedancia cuando V = 1,5 – 0,6i e I = –0,3i.

Resolución:

Respuesta: La impedancia es (2 + 5i) ohms.

3. En la igualdad: z(–5 + 4i) = 4 – 4i, ¿cuál es el valor de z?

Actividades

1. Resuelve las siguientes divisiones.

a) (3 – 2i) : (5 + 3i)

b) 9i : (4 – i)

c) (1 + i) : (–1 – i)

d) (5 + 2i) : (7 + i)

e) (12 – 2i) : 5i

f) (2 – i) : 8i

g) (4 – 2i) : (1 + 5i)

h) (4 + 2i) : (1 – i)

i) (5 – 5i) : (1 – i)

2. Determina si cada igualdad es verdadera o falsa. Para ello, considera z₁ = 3 + 2i, z₂ = 2 – i.

3. Determina el valor de z según corresponda.

a) z(1 + i) = (3 + i)

b) (2 + 2i)z = 5i

c) 9 = z(7 + 2i)

d) (1 – 2i)z = (3 + 2i)

e) 7zi = (8 – i)

f) i = (6 + 8i)z

g) z(3 – i) = (1 + i)

h) (4 – i) = (3 + 5i)z

i) (3 + i)z = (6 + 3i)(–1 + i)

4. Resuelve las siguientes divisiones. Para ello, considera z₁ = 4 + 2i, z₂ = –1 – i, z₃ = 2 – i,

5. En el plano de Argand se han representado los números complejos z₁, z₂, z₃ y z₄. Considerando lo anterior, resuelve.

4.8 Potencias de números complejos

Si z y n , la potencia zⁿ se define como la multiplicación de z por sí mismo n veces.

Para exponentes negativos se tiene que z^–n = . Si n = 0, se define z⁰ = 1, para todo z ≠ 0.

Se puede calcular la potencia de un número complejo utilizando las expresiones del cuadrado y del cubo de binomio y luego remplazar los valores de las potencias de i cuando corresponda.

Para calcular potencias de mayor grado, se pueden combinar las propiedades de las potencias con cuadrados y cubos de un binomio.

Actividad resuelta

Calcula el valor de la potencia de cada número complejo.

Actividades

1. Calcula el valor de las siguientes potencias.

4.9 Raíces cuadradas de números complejos

Se define la raíz cuadrada de un número complejo z como un número complejo w, tal que w² = z, es decir, .

Para determinar las raíces cuadradas de un número complejo z = a + bi, con b ≠ 0, se puede plantear la ecuación a + bi = (x + iy)², con x e y números reales. Luego, para resolverla se reescribe como un sistema de ecuaciones, esto es, escribiendo una ecuación para igualar las partes reales y otra, para las partes imaginarias. Si en algún caso se obtuviera que x o y no fueran números reales, dicho caso se descarta. A partir de este proceso, se tiene que siempre existe, y corresponde a dos números complejos distintos, que tienen como característica que son inversos aditivos uno del otro.

Actividades resueltas

1. Determina las raíces cuadradas de z = 6i.

Se buscan los números complejos w = x + iy, tales que w² = z. Es decir:

2. ¿Cuáles son las raíces cuadradas de z = 2i?

Se resuelve la ecuación (x + iy)² = 2i, luego se tiene:

Actividades

1. Calcula las raíces cuadradas de cada número complejo.

a) z₁ = 4i

b) z₂ = 3 – 4i

c) z₃ = 15 + 8i

4.10 Números complejos en forma polar

Dado un número complejo z = a + bi, representado en el plano de Argand, se tienen las siguientes relaciones:

Actividades resueltas

1. Escribe en forma polar el número complejo z = 1 + i.

Para profundizar el estudio de las razones trigonométricas puedes revisar el Anexo de Trigonometría (pág. 326).

2. ¿Cuál es la forma polar del número complejo z₂ representado en el plano de Argand?

Actividades

1. Representa en forma polar los siguientes números complejos.

4.11 Potencias y raíces de números complejos en forma polar

Dado un número complejo z = |z| (cos(θ) + i sen(θ)), se tiene que:

• La potencia enésima es: zⁿ = |z|ⁿ (cos(n • θ) + i sen(n • θ)), n .

• La raíz enésima es:

Así, se obtienen n raíces, cuyos ángulos correspondientes tienen una diferencia igual a .

Al representarlas en el plano de Argand, se obtienen n puntos sobre una circunferencia con centro en el origen y radio .

Actividad resuelta

Si la representación en forma polar del número z = –2 + 2i es z = (cos(135˚) + i sen(135˚)), calcula z³

Con los valores de k se obtienen las 3 raíces, que en este caso son w₀, w₁ y w₂.

Actividades

1. Calcula lo pedido y luego grafica las raíces en el plano de Argand.

Capítulo II

Álgebra

Temas

1. Álgebra

2. Expresiones algebraicas fraccionarias

3. Ecuaciones e inecuaciones lineales

4. Ecuaciones cuadrÿticas

5. Funciones

1. Algebra

1.1 Introducción al Algebra

Expresiones algebraicas

En una expresión algebraica se combinan letras, números y operaciones. Estas expresiones están formadas por términos algebraicos. Por ejemplo, la expresión 3x⁴y + xy + 1 está compuesta por los términos algebraicos 3x⁴y, xy, 1.

Término algebraico

En un término algebraico es posible distinguir el coeficiente numérico, que corresponde al número que lo multiplica; el factor literal, que es la letra o grupo de letras que forman cada término, y el grado de un término, que es la suma de los exponentes de las letras que componen el factor literal. Por ejemplo, en el término 2ab² el coeficiente numérico es 2, el factor literal es ab² y el grado es 3. El grado de una expresión algebraica corresponde al mayor de los grados de los términos algebraicos que la componen. En 3x²y + x⁴y + 1 el grado es 5.

Actividades resueltas

1. Identifica los términos algebraicos de cada expresión.

2. Identifica el coeficiente numérico, el factor literal y el grado de los siguientes términos algebraicos.

Clasificación de expresiones algebraicas

Según la cantidad de términos algebraicos que forman una expresión algebraica, estas se clasifican en:

Actividad resuelta

Clasifica la expresión algebraica 3x – 2 + 5abc – yz, luego determina su grado.

La expresión algebraica tiene 4 términos algebraicos (3x, –2, 5abc, –yz), por lo tanto es un polinomio, y el término de mayor grado es 5abc, luego el grado de la expresión es 3.

Lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico se utiliza para generalizar diversas expresiones, ya sean escritas en lenguaje natural o en distintas relaciones numéricas. El lenguaje algebraico está compuesto por números, letras y signos (operaciones) que se relacionan para formar expresiones algebraicas.

Actividades resueltas

1. Representa en lenguaje algebraico cada enunciado escrito en lenguaje natural.

2. Carlos tiene 3 años más que Juan, Valentina tiene 5 años menos que Juan y Andrés tiene el doble de años que Juan. Si la edad de Juan es x años, ¿qué expresión representaría la edad de los demás?

Valentina: (x – 5) años. Carlos: (x + 3) años. Andrés: 2x años.

Actividades

1. Representa mediante una expresión algebraica la medida del segmento AB.

2. Clasifica las siguientes expresiones algebraicas y determina su grado.

3. Analiza la información de la tabla y luego complétala según corresponda.

1.2 Operaciones básicas con expresiones algebraicas

Valorización de expresiones algebraicas

Valorizar una expresión algebraica consiste en asignar un número a cada letra del factor literal de los términos que componen la expresión y resolver las operaciones que correspondan. De esta manera se obtiene un valor numérico asociado a dicha expresión.

Actividades resueltas

1. Calcula el valor de la expresión 2a – b + ab para

2. Para a, b se define la operación como a b = a² + ab – b². ¿Cuál es el valor de 4 ?

3. El costo ($) de una cuenta de telefonía móvil está determinado por la expresión $(6.990 + 120x + 50y + 72z), donde x representa la cantidad de minutos utilizados; y, la cantidad de mensajes de texto enviados, y z, la cantidad de MB usados. Si durante un mes se emplearon 240 minutos, se enviaron 20 mensajes de texto y se utilizaron 100 MB, ¿cuál es el costo por pagar?

Se valoriza la expresión 6.990 + 120x + 50y + 72z para x = 240, y = 20 y z = 100, obteniendo:

6.990 + 120 • 240 + 50 • 20 + 72 • 100 = 6.990 + 28.800 + 1.000 + 7.200 = 43.990

El costo por pagar es $ 43.990.

Reducción de términos semejantes

En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a los términos algebraicos que tienen el mismo factor literal. Para reducir términos semejantes, se agrupan aquellos con el mismo factor literal y luego se suman o se restan los coeficientes numéricos.

También se pueden reducir términos semejantes aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, es decir, ab + cb – (a + c) • b.

Si la expresión algebraica tiene paréntesis, estos se pueden eliminar cuando el signo que lo antecede es positivo (+); mientras que, si es negativo (–), se multiplican por –1 todos los términos que están dentro de él.

Actividades resueltas

1. Encierra los términos semejantes a –9a²b.

2. Reduce los términos semejantes de 3x + 5y + 2z – 8x + y.

3. Aplica la propiedad distributiva y reduce los términos semejantes.

a) 4rs – 2rs = (4 – 2)rs = 2rs

b) 3m³p + 5m³p – 11m³p = (3 + 5 – 11)m³p = –3m³p

4. Elimina los paréntesis y reduce los términos semejantes.

5ab + (–4a – b) – (–3a + 2b) = 5ab – 4a – b + 3a – 2b

= 5ab + (–4a + 3a) + (–b – 2b) = 5ab – a – 3b

Actividades

1. Calcula el valor numérico de cada expresión algebraica.

2. Resuelve el siguiente problema.

En un juego, Lucas dice un número, luego, Javiera dice otro a partir de una regla creada por ella. El objetivo es hacer que Lucas descubra la regla que Javiera creó. Observa la sucesión de números que ellos dijeron.

a) Escribe la regla creada como una expresión algebraica.

b) Si Lucas dice el número 25, ¿qué número dirá Javiera?

3. Si a, b , se define la operación a ♣ b como a ♣ b = 3ab + a²b. Según la información anterior, calcula el valor numérico de las siguientes expresiones.

4. Identifica, en cada caso, si los términos algebraicos son semejantes o no. Para ello escribe Sí o No.

a) 3x, 27x

b) 8a², 9b²

c) 4x, 4

d) 7a², 10a

e) a, –2a

f) 5a, 5b

g) 3a²b, 3ab²

h) xy², –xy²

5. Reduce los términos semejantes en cada una de las siguientes expresiones algebraicas.

6. Analiza las siguientes igualdades y luego completa con los términos que faltan.

7. Elimina los paréntesis y reduce los términos semejantes.

a) (2a + 3b) + (4a – 7b)

b) (a + 2b) – (7a – 3b)

c) (3x² – 2xy + 7y²) – (7x² + 11xy – 11y²)

d) (17x – 2y) – [x – (y – x)]

e) [12 – (3x + 4)] – [7 + (8 – 9x)]

f) 7 – 3x² – (12 – [4 – (3x² + 1) + 2] – 3x²)

8. Responde las preguntas de acuerdo con la siguiente sucesión de términos.

3a, 7a, 11a, 15a, …

a) Si a = 3, ¿cuál es el término 10?

b) Si a = 21, ¿cuál es el término 30?

9. El volumen de una pirámide se calcula mediante la expresión , donde A_B es el área de la base y h, la altura.

a) Si en una pirámide la altura es 5 cm y el área de la base es 16 cm², ¿cuál es el volumen de la pirámide?

b) Si la base de la Pirámide Roja de Egipto tiene 221,5 m de largo y 218,5 m de ancho, ¿cuál es su volumen si su altura es de 104,4 m?

1.3 Multiplicación de expresiones algebraicas

Multiplicación de un monomio por un monomio

Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí. De ser necesario, se aplican propiedades de las potencias. Por ejemplo:

(–3xy²z) • 4yz³ = (–3 • 4) • x • (y² • y) • (z • z³) = (–3 • 4) • x • y^{2 + 1} • z^{1 + 3} = –12xy³z⁴

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición o de la sustracción en y se reducen términos semejantes. Por ejemplo:

Multiplicación de un polinomio por un polinomio

Se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación y luego se reducen términos semejantes. Por ejemplo:

(x – y) • (xy + 2) = (x – y) • xy + (x – y) • 2 = x • xy – y • xy + 2 • x – 2 • y = x²y – xy² + 2x – 2y

Actividad resuelta

¿Cuál es el área (A) del rectángulo?

Actividades

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones de expresiones algebraicas.

a) (3x²y⁴) • (–x³y³)

b) 4m³(7m² + 9m – 1)

c) (x – 7z)(x + z)

d) (3m – 2)(m² – 2m – 3)

e) (x – y – z)(3x + 2y – 5z)

f) –3xy(7x²y – 5xy³)

g) (3x + 2y – 3z)(2y – 3x)

h) (4z + xy)(x²y – x²)

i) –2x²y (3xy² – 5xy + 8x²y²)

j) (2m + 3n + 5)(2m + 3n – 4)

k) (a³ – 3)(a³ – 8)

l) (a² – b²)(a² + b²)

2. Calcula el área (A) pintada de las siguientes figuras.

3. Representa el área (A) del rectángulo mayor como el producto de dos polinomios. Luego, calcula dicho producto.

4. Explica cuál es el error o los errores en cada multiplicación. Luego, corrígelo.

a) (8x⁵y⁷ + 7x³y⁴)(3x⁶) = 24x¹¹y¹³ + 21x¹⁸y¹⁰

b) (4x²y⁷z)(x³y – 3x⁵y²z) = 4x⁵yz – 12x⁷y³z²

5. Resuelve el siguiente problema.

El dueño de un centro comercial quiere que la fachada, que es de forma rectangular, tenga una franja blanca y que lo demás sea gris, como se muestra en la figura.

Las dimensiones están dadas en metros y el costo de pintar un metro cuadrado de blanco es de $ 8.000 y el de pintar un metro cuadrado de gris es de $ 5.000.

a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el costo total de pintar la fachada?

b) Responde la pregunta anterior considerando que x = 0,5 m.

1.4 Productos notables

Los productos notables resultan al generalizar ciertas multiplicaciones entre expresiones algebraicas, ya que presentan regularidades. Ellos permiten determinar un resultado sin efectuar las operaciones propias de una multiplicación.

Algunos productos notables se pueden representar geométricamente como el área de ciertas figuras:

El área del cuadrado con lado de medida (a + b) se puede representar por:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

El área del rectángulo de largo (x + a) y ancho (x + b) se puede representar por:

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

El área de la región sombreada se puede representar por:

(a + b)(a – b) = a² – b²

El cubo de un binomio se puede representar como el volumen de un cubo con arista de medida (a + b).

Actividad resuelta

Identifica y resuelve los siguientes productos notables.

Aplicaciones de los productos notables

Cálculo de cuadrados de números

Ejemplos:

a) 51² = (50 + 1)² = 50² + 2 • 50 • 1 + 1² = 2.500 + 100 + 1 = 2.601

b) 98² = (100 – 2)² = 100² – 2 • 100 • 2 + 2² = 10.000 – 400 + 4 = 9.604

Cálculo de algunos productos

Ejemplos:

a) 17 • 23 = (20 – 3)(20 + 3) = 20² – 3² = 400 – 9 = 391

b) 12 • 17 = (10 + 2)(10 + 7) = 10² + (2 + 7) • 10 + (2 • 7) = 100 + 90 + 14 = 204

Estimaciones

Ejemplo:

Para estimar el valor de 3,1² se puede representar 3,1 como 3 + 0,1, entonces:

3,1² = (3 + 0,1)² = 3² + 2 • 3 • 0,1 + 0,1² = 9 + 6 • 0,1 + 0,1²

Como 0,1² = 0,01 es considerablemente menor que 9, el valor de 3,1² se puede estimar de la siguiente forma:

Actividades

1. Utiliza los productos notables estudiados para calcular el resultado de cada multiplicación.

2. Calcula utilizando productos notables.

a) 11²

b) 19²

c) 23²

d) 52²

e) 49²

f) 99²

g) 199²

h) 13 • 11

i) 18 • 22

j) 38 • 42

k) 99 • 101

l) 997 • 1.003

3. Estima los siguientes valores.

a) 10,5²

b) 1,01²

c) 3,02²

d) 5,5²

e) 20,03²

f) 1,5²

g) 2,07²

h) 13,01²

i) 12,6²

4. Analiza las siguientes igualdades y luego complétalas.

5. Utiliza los productos notables para reducir las siguientes expresiones algebraicas.

a) (a + 5)² + (a – 5)² – 2a²

b) (1 – 2n)(1 + 2n) + (n – 1)(n + 2)

c) (b + 5) (b – 7) + (b² + 35)

d) (3x – 4)³ – (3x + 4)³ + (6x + 5)²

e) (x + 6)(x – 4) – (x + 9)²

f) (y + 1)³ + (y – 1)²

g) (n² – 1)² – (n² + 2)(n² + 1)

h) (k + 2)(k – 2)(k² + 9) – k⁴

i) (a² – b³)² + (a² + b⁴)(a² + b²)

j) (f + d)² + (f – d)² + (2f – 4d)²

k) [(h + g) + (2h + 3g)][(h + g) – (2h + 3g)]

l) (q²r – 3s⁵ + t³)² + (q²r – 3s⁵ – t³)²

6. Representa el área (A) de la región pintada en cada figura. Todas las medidas se encuentran en centímetros.

a) ABCD y MNPQ rectángulos.

b) En la figura se representan tres circunferencias, una de centro O y radio R, otra de centro O₁ y radio R₁, y finalmente una de centro O₂ y radio R₂.

7. Calcula el área (A) de los siguientes cuadrados.

8. Calcula el volumen (V) de los siguientes cubos.

9. Verifica las siguientes igualdades.

a) (a – b)² = (b – a)²

b) (–a – b)² = (b – a)²

c) (a + b)³ = (–a – b)³

10. Resuelve los siguientes problemas.

a) Los lados de un cuadrado miden x cm. Si aumentan en 2 cm, ¿cuál es la expresión que representa la diferencia entre el área del nuevo cuadrado y el área del cuadrado original?

b) Se construye una caja con forma de cubo, sin tapa, de arista (y + 2) cm. ¿Qué expresión representa la superficie exterior de la caja?

c) Si la expresión (2x – 1) corresponde a un número impar, ¿qué expresión representa el producto entre este número y el número impar anterior a él?

d) Un estanque de forma cúbica tiene una altura de t metros y puede contener t³ metros cúbicos de agua. ¿Cuántos metros cúbicos más de agua puede acumular un estanque de altura (t + 5) metros?

e) Si dos números enteros suman –12 y su producto es 35, ¿cuánto suman sus cuadrados?

f) Si el producto entre el antecesor y el sucesor de un número entero negativo es 24, ¿cuál es el doble de dicho número?

g) Un comerciante tiene (p + 4) cajas de bebidas y en cada caja hay 3 bebidas menos que la cantidad de cajas. ¿Cuántas bebidas tiene en total?

1.5 Factorización de expresiones algebraicas

Factorizar una expresión algebraica consiste en representarla como el producto de dos o más factores.

Para factorizar una expresión se debe identificar el factor común en cada uno de los términos que la componen.

Factor común monomio

En este caso el factor común corresponde a un monomio y el coeficiente numérico de este monomio será el máximo común divisor entre los coeficientes numéricos de los términos que forman la expresión, mientras que el factor literal corresponderá a la o las potencias con el mayor exponente común de cada término.

Ejemplo:

Actividades resueltas

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

Factorización por agrupación

Algunas expresiones algebraicas no tienen un factor común para todos los términos, sin embargo, es posible agruparlos de manera conveniente y con ello factorizar.

Actividades resueltas

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas por agrupación.

Actividades

1. Responde.

a) ¿Por qué el factor común está relacionado con la propiedad distributiva?

b) ¿Cuáles son los pasos para factorizar un polinomio por factor común?

c) ¿Cuáles son los posibles casos para aplicar la factorización por factor común?

2. Escribe dos monomios de diferente grado cuyo factor común sea el monomio indicado.

a) 4a²b

b) 7m²np³

c) –12xy³

d) xy⁵

3. Determina en cada caso si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.

a) No existen polinomios que tengan una expresión algebraica común.

b) Todos los factores comunes de un polinomio son monomios.

c) No es posible que el coeficiente de un factor común sea un número racional.

d) Para factorizar un polinomio por agrupación de términos, este debe tener una cantidad par de términos.

4. Identifica el factor común en cada expresión.

a) 2p²q + 3pq²

b) 18a³b² – 12a⁵b³ + 48a²b⁴

c) –9w³x⁴y² + 45w²x + 25x²y

d) –9m⁴n² + 45m²n + 25n²m

e) 2a²b + ab² + 2ab

f) 2c² – 10c³ + 5c⁵

g) 2m²n + 12nm² – 6mn

h) 8xy + 24x² – 16y²

i) 5n⁵m⁴ – nm⁵ + n²m³

j) w²y – w²yz

5. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas en las que n > 4, n .

a) axⁿ + bx^{n – 1} + cxⁿ – 2 + dx^{n – 4}

b) (a – 1)b + (a – 1) + (a – 1)a

c) p(x – 1)³ – q(x – 1)² + r(x – 1)

6. Representa el área del rectángulo de la figura como la suma de las áreas de los rectángulos que lo forman. Todas las medidas se encuentran en centímetros.

7. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas como el producto de un monomio por un polinomio.

a) 24 + 16a

b) –15pq – 12pr

c) 4xy + 2xy²

d) 4x²y – 2xy + 6xy²

e) 3ab – 6abc + 9ac²

f) 8m²n³ + 4mn² – 2m³n³

g) 5p²q³ + 5p³q² + 10p³q

h) 6c⁴d² + 3c²d⁴ – 2c²d³

i) 49a⁴b – 35a²b² + 7a⁴

j) xy – x²y + xy²

8. Factoriza las siguientes expresiones por agrupación de términos.

a) ab + a + cb + c

b) 2a – 2b + ca – cb

c) ax – a + bx – b

d) ax + a + x + 1

e) bx – ab + x² – ax

f) 3ax – ay – 3bx + by

g) ab² + an – cb² – cn

h) 2lp – mp + 3mq – 6lq

i) 6x² – 4ax – 9bx + 6ab

j) x³ + x²y + xy² + y³

k) x⁷ + 27x⁴ – x³ – 27

l) x³y³ – y³ + 8x³ – 8

m) a⁶ + b⁶ – a²b⁴ – a⁴b²

n) a³ – 2ba – 3ba² + 6b²

Factorización de productos notables

Algunas expresiones algebraicas se pueden factorizar utilizando productos notables.

Actividades resueltas