Manual de preparación PSU Matemática

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando productos notables.

Factorización de trinomios cuadráticos

Un trinomio de la forma x² + px + q se puede factorizar como producto de dos binomios con un término común (x + a)(x + b) si se cumple que a + b = p y a • b = q.

En general, para saber si un trinomio de segundo grado x² + px + q con coeficientes reales se puede factorizar como (x + a)(x + b), existe el siguiente criterio:

• Si p² – 4q ≥ 0, entonces el trinomio es factorizable en .

• Si p² – 4q < 0, entonces el trinomio no es factorizable en .

Además, si p² – 4q es un cuadrado perfecto, entonces el trinomio es factorizable en .

Existen trinomios que se pueden factorizar como el producto de dos binomios sin tener un término en común. Por ejemplo, la expresión 2x² – 3x + 1 se factoriza por 2, y se obtienen coeficientes fraccionarios.

Luego, se factoriza como el producto de dos binomios con un término en común.

Finalmente, uno de estos binomios se multiplica por el factor común 2.

Actividades resueltas

1. Factoriza cada expresión algebraica como producto de binomios con un término común.

a) x² – 5x + 6

Identificamos un par de divisores de 6 que multiplicados resulten 6 y sumados, –5.

En este caso, se eligen –2 y –3, ya que (–2) • (–3) = 6 y (–2) + (–3) = –5

Luego, la expresión se puede factorizar como (x – 2)(x – 3).

b) y² + 7xy + 12x²

Identificamos un par de divisores de 12x² que multiplicados resulten 12x² y sumados, 7x.

En este caso, se eligen 3x y 4x, ya que (4x) • (3x) = 12x² y (4x) + (3x) = 7x.

Luego, la expresión se puede factorizar como (y + 3x)(y + 4x).

c) x² – 17x – 60

Si aplicamos la estrategia de los ejercicios anteriores, se tiene que:

x2 – 17x – 60 = x² + (–20 + 3)x + (–20 • 3) = (x – 20)(x + 3)

d) 4x² – 4x – 3

Si aplicamos la estrategia de los ejercicios anteriores, se tiene que:

4x² – 4x – 3 = (2x)² – 2 • 2x – 3 = (2x)² + (–3 + 1) • 2x + (–3 • 1) = (2x – 3)(2x + 1)

2. Factoriza la expresión 2x² – 3x + 1 como el producto de dos binomios utilizando dos métodos diferentes al desarrollado en la actividad anterior.

• Se puede descomponer el término lineal (3x) en forma conveniente, para luego factorizar por agrupación de términos.

2x² – 3x + 1 = 2x² – 2x – x + 1 = (2x² – 2x) – (x – 1) = 2x(x – 1) – (x – 1) = (2x – 1)(x – 1)

• Se puede amplificar el trinomio por el coeficiente del término cuadrático, luego se factoriza el numerador de la expresión resultante como un producto de binomios con un término en común.

Finalmente, se factorizan estos binomios y se simplifica la expresión por el coeficiente del término cuadrático.

Observación: Algunas expresiones son irreducibles según el conjunto numérico en el que se quieran factorizar. Por ejemplo, la expresión 2x + 5 es irreducible en . Sin embargo, en admite la factorización Del mismo modo, la expresión x² – 3 es irreducible en sin embargo, en puede factorizarse como .

Algunos casos especiales

• La expresión x^3m ± y³ⁿ, con m, n se puede factorizar utilizando la suma y diferencia de cubos.

x^3m ± y³ⁿ = (x^m)³ ± (yⁿ)³ = (x^m ± yⁿ)(x^2m ∓ x^myⁿ + y²ⁿ)

• La expresión a²m^2k ± 2am^k + 1, con k se puede factorizar como un trinomio cuadrado perfecto.

a2m^2k ± 2am^k + 1 = (am^k)² ± 2 • am^k • 1 + 1² = (am^k ± 1)²

Actividades resueltas

1. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

a) a⁵ – 18a³ + 81a

Se factoriza por el factor común a.

a(a⁴ – 18a² + 81) = a((a²)² – 2 • a² • 9 + 9²) Se factoriza como un trinomio cuadrado perfecto. a(a² – 9)² = a(a² – 3²)² Se factoriza como una diferencia de cuadrados. a((a + 3)(a – 3))² = a(a + 3)²(a – 3)²

b) –7c² + 42cd – 63d²

Se factoriza por el factor común –7.

–7(c² – 6cd + 9d²) –7(c² – 2 • c • 3d + (3d)²) Se factoriza como un trinomio cuadrado perfecto. –7(c – 3d)²

2. Determina el valor de k, con k > 5, para que el trinomio 4x⁶u² – 16x^k – ⁵y⁴u + 16y⁸ corresponda al desarrollo de un cuadrado de binomio.

Se representan el primer y el último término como potencias de exponente 2.

4x⁶u² – 16x^k – ⁵y⁴u + 16y⁸ = (2x³u)² – 16x^k – ⁵uy⁴ + (4y⁴)²

El término central corresponde al doble de la base del primero por la base del último. Es decir:

2 • 2x³u • 4y⁴ = 16x³uy⁴

Al igualar las expresiones, se tiene 16x^k – 5uy⁴ = 16x³uy⁴ Por lo tanto, resolviendo para los exponentes de igual base se tiene: x^{k – 5} = x³ ⇒ k – 5 = 3 ⇒ k = 8.

Actividades

1. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

a) 16 – x⁴

b) 36m² – 81y²

c) 32a⁴b – 162b⁵

d) x²ⁿ – y²ⁿ

e) 1 – (x – 2y)²

f) (a – b)² – c²

g) (5x + 2y)² – (3x – 7y)²

h) 4m²n⁶ – 225t⁴y⁴ⁿ

i) 9x⁴ – 4x^{8m – 2y}

j) 64(x + y)² – 121(x – 2)²

2. Factoriza las siguientes sumas y diferencias de cubos.

a) 8 + x³

b) 8y³ – 27x³

c) a⁶ + b⁶

d) a¹² – b¹²

e) (x + y)³ – (x – y)³

f) (p² + 1)³ – 125

3. Aplica la factorización trinomio cuadrado perfecto en cada caso.

a) x² – 6xy + 9y²

b) 4a² + 4a + 1

c) 81a² – 36ab + 4b²

d) 1 + 6a + 9a²

e) 25m² + 49n² – 70mn

f) a²b² – 10ab + 25

g) 25a²c² + 4b² – 20abc

h) 289a² + 68abc + 4b²c²

i) 4m² + 20m + 25

j) 9m² + 16n¹⁰ + 24mn⁵

k) p¹² + 16p⁶q⁴ + 64q⁸

l) a^2m + 2a^{2m + 1} + a^{2m + 2}

4. Completa con el término que falta en el desarrollo del cuadrado de un binomio.

5. Resuelve los siguientes problemas.

a) La altura de un prisma recto es (2x + 3) cm y el área de su base es (4x² – 6x + 9) cm². ¿Cuál es su volumen?

b) El área de la base de un prisma recto es (9a² + 3a + 1) cm². Si su volumen es (27a³ – 1) cm³, ¿cuál es su altura?

c) Si el área de un cuadrado es (4x² + 20x + 25) cm², ¿cuánto mide uno de sus lados?

6. Representa como una multiplicación de expresiones algebraicas el área sombreada de la siguiente figura.

7. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas como el producto de dos binomios con un término en común.

a) x² – 6x + 8

b) x² – 2x – 8

c) x² + xy – 12y²

d) x² – 7x + 10

e) y⁴ + 7y² + 12

f) x⁴ + 9x² + 8

g) x⁶ + 5x³ + 6

h) x¹⁰ – 17x⁵ + 70

i) x⁴⁰ – 9x²⁰ + 18

j) x²ⁿ + 15xⁿ + 54

8. Representa los siguientes polinomios como el producto de expresiones algebraicas.

a) 3x² + 10x + 3

b) 2x² – 7x + 3

c) 7p² + 13p – 2

d) 11ab – 6b² – 4a²

e) 2x² + 5x – 12

f) 3x² + 7x + 2

g) 8a² – 3ab – 5b²

h) 6a² + 23ab – 4b²

i) 5x² + 8xy – 4y²

j) 10m⁸ + 3 + 11m⁴

k) 6x⁴ + 7x² + 2

l) 5x⁶ – 12 + 4x³

9. Representa la medida de los lados de cada rectángulo a partir de sus áreas (A).

10. De acuerdo con el área de cada rectángulo, representa la medida del lado que falta.

2. Expresiones algebraicas fraccionarias

2.1 Expresión algebraica fraccionaria

Una expresión algebraica fraccionaria es una expresión de la forma , donde P y Q son expresiones algebraicas y Q ≠ 0.

Ejemplos:

En los ejemplos se han anotado los valores que no pueden tomar las variables para evitar que la expresión algebraica fraccionaria se indefina, es decir, que el denominador sea cero.

Valorización de expresiones algebraicas fraccionarias

Valorizar una expresión algebraica fraccionaria consiste en asignar un valor numérico a los factores literales que componen las expresiones algebraicas de la fraccion. Por ejemplo, el valor de la expresión (con x ≠ 1) para x = 2 es .

Actividad resuelta

Calcula el valor de las siguientes expresiones para x = 2.

Actividades

1. Escribe una fracción algebraica para cada condición.

a) El numerador es un monomio.

b) El numerador y denominador son binomios.

c) El denominador tiene un término más que el numerador.

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias para x = 2 y x = –2.

3. Las fracciones ,... , son generadas por la expresión algebraica fraccionaria , porque se obtienen al valorizarla para n = 1, 2, 3, 4, 5,... respectivamente.

Determina la expresión algebraica fraccionaria que genera cada secuencia de fracciones, considera n .

4. Determina, para cada caso, cuál de las expresiones algebraicas fraccionarias y es mayor.

a) x > 0, a > 0, x > a.

b) x > 0, a < 0, x < –a.

c) x > 0, a > 0, x < a.

d) x > 0, a < 0, x > –a.

5. Resuelve los siguientes problemas.

a) El volumen V de agua que lleva un canal de regadío está dado por V(t) = 2t⁴ + 3t³. Si el tiempo F de este flujo corresponde a F(t) = t² – t, ¿cuál es la expresión que representa el caudal en función de t?

b) Si las toneladas T de arroz que produce cierto país para su consumo interno están dadas por

T(a) = 4a² + a + 1 y la cantidad de habitantes C por C(a) = 3a³ + a + 1, ¿cuál es la cantidad de arroz (P)por habitante en función de a?

c) Se sabe que la relación representa a la densidad D. Si la masa de cierto material está dada por una función que depende de la temperatura t: M(t) = t² + 2t + 1, y que su volumen V corresponde a la expresión V(t) = 3t³ – t + 1, ¿cuál es la densidad D del material en funcion de la temperatura t?

d) En una ciudad, la producción de agua potable corresponde a A(t) = t² + 5t – 3. Si el número de habitantes está dado por H(t) = 2t² + t – 1, donde t es el tiempo, ¿cuál es la expresión (Q) que representa la cantidad de agua potable por habitante?

6. Identifica cuáles de las siguientes expresiones son positivas para x > 1.

2.2 Análisis de expresiones algebraicas fraccionarias

Anulación de expresiones algebraicas fraccionarias

Una expresión algebraica fraccionaria se anula para un valor a si al remplazarlo en el numerador se obtiene como resultado el cero y en el denominador uno distinto de cero. Por ejemplo, la expresión se anula para x = –4, ya que al valorizarlo en el numerador se obtiene 3 • –4 + 12 = –12 + 12 = 0, y en su denominador 5 • –4 – 2 = –22 ≠ 0.

Una expresión algebraica fraccionaria de la forma con a – {0} y P una expresión algebraica distinta de cero, no se anula. Por ejemplo ≠ 0 para todo x ≠ –1.

Actividad resuelta

Si x ≠ 0, ¿qué valores anulan la expresión ?

Al factorizar el numerador se obtiene (x – 2)(x + 2); luego, (x – 2)(x + 2) = 0, es decir:

Si x – 2 = 0 entonces x = 2. Si x + 2 = 0 entonces x = – 2

Por lo tanto, la expresión se anula para los valores x = 2 y x = –2.

Expresiones algebraicas indefinidas

Una expresión algebraica fraccionaria se indefine para un valor a si al remplazarlo en el denominador y evaluarlo se obtiene como resultado cero. Es decir, una fracción algebraica se indefine cuando el denominador se anula. Por ejemplo, la expresión se indefine para x = 0, ya que al valorizar su denominador en x = 0 este se anula.

Los valores de la o las variables para los que el denominador de la expresión algebraica es igual a cero se conocen como restricciones de la expresión algebraica fraccionaria.

Actividades resueltas

1. ¿Para qué valores la expresión se indefine?

La expresión se indefine para x = –4, ya que al factorizar su denominador se obtiene 7(x + 4) y este es igual a cero al valorizarlo en x = –4, es decir:

7 • –4 + 28 = –28 + 28 = 0

2. ¿Para qué valores la expresión se indefine?

Al factorizar el denominador de la expresión se obtiene (x +7)(x – 7) y al igualarlo a cero se obtiene:

(x + 7)(x – 7) = 0, es decir:

Si x + 7 = 0, entonces x = –7.

Si x + 7 = 0, entonces x = 7.

La expresión se indefine para los valores x = 7 y x = –7.

Actividades

1. Analiza las siguientes fracciones algebraicas. Determina los valores de x para los cuales se anulan y aquellos para los que se indefinen.

2. En la expresión algebraica fraccionaria el numerador se anula para x = –1 y el denominador se anula en x = 2. Luego, la expresión es positiva para los valores de x menores que –1 y para los valores de x mayores que 2. Para los valores de x mayores que –1 y menores que 2 la expresión es negativa.

Determina para qué valores de x las siguientes expresiones son positivas y para qué valores de x son negativas. Considera x .

2.3 Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias

Para simplificar una expresión algebraica fraccionaria se deben factorizar su numerador y su denominador, y luego simplificar aquellos factores numéricos o algebraicos comunes hasta obtener una expresión algebraica fraccionaria irreducible.

Por ejemplo, para simplificar la expresión , con a , se factoriza el denominador y se dividen el numerador y el denominador por el factor común 4.

Observación: Para simplificar algunas expresiones algebraicas fraccionarias se puede utilizar la propiedad de la división de potencias de igual base.

Actividades resueltas

1. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias.

2. Se pide a Mateo y a Josefina que simplifiquen la expresión , con x ≠ –3 y x ≠ –1. Mateo obtuvo y Josefina, .¿Quién obtuvo una fracción algebraica irreducible?

Al factorizar el numerador y el denominador de la expresión se tiene:

Y al dividir el numerador y el denominador de la última expresión por el factor común 3(x + 1) resulta . Por lo tanto, Josefina obtuvo una fracción algebraica irreducible.

3. Simplifica la expresión , con x ≠ y, x ≠ 2y.

Al factorizar el numerador y el denominador de la expresion es posible notar que (2y – x) es el inverso aditivo de (x – 2y). Por lo tanto, se factoriza por –1 y se dividen el numerador y el denominador por el factor comun (x – 2y).

Nota:

La expresion (b – a) es el inverso aditivo de (a – b). Entonces: , con a ≠ b.

Actividades

1. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias.

2.4 Multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias

Para multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se debe calcular el producto entre los numeradores y los denominadores de las expresiones.

con P, Q, R y S expresiones algebraicas distintas de cero. Luego, si es posible, se simplifican los factores comunes.

En ocasiones, es conveniente factorizar los numeradores y los denominadores de las expresiones involucradas para simplificar aquellos factores comunes y luego multiplicarlas.

Actividades resueltas

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones.

2. Calcula el área (A) del siguiente rectángulo.

Al multiplicar la base cm por la altura cm se tiene . Por lo tanto, el área del rectángulo es .

Actividades

1. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias.

2.5 División de expresiones algebraicas fraccionarias

Para dividir dos expresiones algebraicas fraccionarias se puede multiplicar el dividendo con el inverso multiplicativo del divisor.

con P, Q, R y S expresiones algebraicas distintas de cero.

El inverso multiplicativo de una expresión algebraica fraccionaria , con P y Q expresiones algebraicas distintas de cero, es y se cumple que .

Ejemplo:

Al igual que en la multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias, es conveniente factorizar y simplificar, si es el caso, para facilitar los cálculos.

Actividad resuelta

1. Resuelve las siguientes divisiones.

Actividades

1. Resuelve las siguientes divisiones y multiplicaciones de expresiones algebraicas fraccionarias.

2.6 Adición y sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias

Adición y sustracción fraccionarias de igual denominador

Para resolver una adición o una sustracción de dos o más expresiones algebraicas fraccionarias con igual denominador se suman las expresiones algebraicas de los numeradores y se conserva la expresión del denominador. Es decir:

Adición	Sustracción

con P, Q y R expresiones algebraicas distintas de cero. Luego, si es posible, se factorizan el numerador y el denominador y se simplifica hasta obtener una fracción irreducible.

Actividad resuelta

Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.

Mínimo común múltiplo entre expresiones algebraicas

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre dos o más expresiones algebraicas corresponde a la expresión algebraica de menor grado que es divisible por cada una de estas expresiones. Para calcular el mínimo común múltiplo se factoriza cada expresión y luego se escribe el producto de todos los factores, comunes y no comunes, considerando las potencias de mayor grado de aquellos factores que se repiten.

Actividad resuelta

Determina el m.c.m. en cada caso.

Adición y sustracción de fracciones con distinto denominador

Para resolver una adición o una sustracción de dos o más expresiones algebraicas fraccionarias con distinto denominador se debe determinar el m.c.m. de los denominadores, luego se amplifican las expresiones para obtener fracciones con igual denominador. Finalmente, se resuelve una adición o una sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias con igual denominador.

Actividad resuelta

Resuelve las siguientes operaciones.

Actividades

1. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de fracciones algebraicas con igual denominador.

2. Determina el m.c.m. de las siguientes expresiones algebraicas.

a) 8x³, 4x², 12x

b) ax³, bx⁴y, a²xb

c) (10 – 20x), (4x² – 20), (x – 2)

d) (a + 2), (a³ + 8), (a² – 4)

e) (a² – 13a + 30), (a² – 100), (a² – 9)

f) (x² + 6x + 9), (x² – x – 12), (x² – 16)

3. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de fracciones algebraicas con distinto denominador.

2.7 Operaciones combinadas de expresiones algebraicas

Para resolver operaciones combinadas es necesario considerar la prioridad en las operaciones.

1° Resolver los paréntesis.

2° Resolver multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

3° Resolver adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.

Actividad resuelta

Resuelve la siguiente operación combinada.

Expresiones algebraicas fraccionarias compuestas

Una expresión algebraica fraccionaria se dice compuesta si corresponde a una fracción en la que su numerador o su denominador es una o más fracciones algebraicas.

Reducción de expresiones algebraicas fraccionarias compuestas. Primer método

Para reducir expresiones algebraicas fraccionarias compuestas se resuelven las operaciones expresadas en el numerador y en el denominador y finalmente la división entre los resultados obtenidos.

Actividad resuelta

Reduce cada fracción algebraica compuesta.

Resolución de expresiones algebraicas fraccionarias compuestas. Segundo método

Otro método para reducir expresiones algebraicas fraccionarias compuestas consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción compuesta por el m.c.m. de los denominadores de todas las fracciones involucradas.

Si la fracción compuesta tiene potencias con exponentes negativos, es posible representarla utilizando exponentes positivos.

Actividad resuelta

Reduce las siguientes fracciones algebraicas compuestas.

Actividades

1. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

2. Reduce las siguientes expresiones.

3. Escribe los paréntesis, de tal forma que la igualdad sea verdadera. Justifica tu respuesta.

3. Ecuaciones e inecuaciones lineales

3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Concepto de ecuación

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas en las que hay uno o más términos desconocidos (incógnitas). Por ejemplo, las siguientes expresiones son ecuaciones:

• 3x + 2 = 17

• 9x² – y² + 18x + 6y = 0

• 2^x = 8

Los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad se llaman soluciones o raíces.

Se llaman miembros de una ecuación las expresiones algebraicas que están a distinto lado del signo igual (=).

Actividad resuelta

Analiza la ecuación 3a = 2 + a e identifica los miembros de la ecuación, un valor para el cual la ecuación no se cumple y por inspección determina su conjunto solución.

• En la ecuación, 3a es el miembro de la izquierda y la expresión (2 + a) es el miembro de la derecha.

• En este caso, la igualdad no se cumple para a = 5, ya que 3 • 5 ≠ 2 + 5. Sin embargo, para a = 1 la igualdad es verdadera, ya que 3 • 1 = 2 + 1. Por lo tanto, a = 1 es una solución de la ecuación.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

El proceso para calcular las soluciones se llama resolución de la ecuación. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita es aquella que puede reducirse a la forma:

ax + b = 0, con a, b , a ≠ 0 y x es la incógnita.

Para resolver una ecuación se pueden utilizar las siguientes propiedades de la igualdad.

• Al sumar una misma expresión a ambos miembros de una igualdad, esta se mantiene.

A = B ⇔ A + c = B + c, con A, B y c expresiones algebraicas.

• Al multiplicar por una misma expresión (distinta de cero) ambos miembros de una igualdad, esta se mantiene.

A = B ⇔ Ac = Bc, con A, B y c expresiones algebraicas, y c ≠ 0.

Actividad resuelta

Resuelve las siguientes ecuaciones.

Actividades

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

2. Lee y resuelve.

a) La tercera parte de un número más su triple es igual a 20. ¿Cuál es el número?

b) El largo de un rectángulo es el doble de su ancho. Si su perímetro es de 60 cm, determina sus dimensiones.

c) Encuentra la medida de los lados de un rombo si su perímetro es 1.254 cm.

d) Calcula la edad de María y la de Luisa si juntas suman 68 años y la edad de María es tres veces la de Luisa.

3.2 Ecuaciones literales

Una ecuación literal es aquella en la que hay una incógnita y coeficientes literales (letras).

Para resolver este tipo de ecuaciones es importante reconocer la incógnita para poder despejarla. La expresión que se obtenga será la solución de la ecuación.

Actividad resuelta

Resuelve la ecuación para la incógnita x.

3.3 Ecuaciones racionales

Algunas ecuaciones contienen una o más fracciones algebraicas. En ellas, la incógnita puede estar tanto en el denominador como en el numerador. Este tipo de ecuaciones se conocen como ecuaciones racionales.

Para resolver una ecuación racional se puede considerar lo siguiente:

• Se calcula el m.c.m. de los denominadores de la ecuación.

• Se multiplican los miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores, con las restricciones para la incógnita cuando corresponda.

• Se simplifican las expresiones algebraicas correspondientes.

• Finalmente, se despeja la incógnita.

Actividad resuelta

Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.

Actividades

1. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales con coeficientes literales para la incógnita correspondiente.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones con fracciones algebraicas.

3. Resuelve las siguientes ecuaciones de fracciones algebraicas con coeficientes literales.

3.4 Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una expresión de la forma:

ax + by = c

donde x e y son las incógnitas y a, b, c , a ≠ 0 y b ≠ 0.

Estas ecuaciones se pueden representar como:

y = mx + n

con m, n y m ≠ 0. Su representación gráfica es una recta y cada par de valores de x e y corresponden a una solución de la ecuación. Por lo tanto, estas ecuaciones tienen infinitas soluciones.

Ejemplo:

En la ecuación 2x + y = 3 al despejar la incógnita y se obtiene:

2x + y = 3 / + (–2x)

y = –2x + 3

Actividad resuelta

Representa gráficamente tres soluciones de la ecuación 3x – 3y = 15.

Si se despeja la incógnita y en la ecuación y se registran en una tabla los diferentes valores, se tiene que:

Según los valores obtenidos en la tabla, los puntos (–1, –6), (0, –5) y (5, 0) son algunas de las soluciones de la ecuación.

Se puede verificar gráficamente que todos los puntos que pertenecen a la recta son solución de la ecuación, es decir, la ecuación tiene infinitas soluciones.

3.5 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales que se satisfacen simultáneamente para el o los valor(es) de las incógnitas, y se pueden representar como:

En este caso, x e y son las incógnitas y a, b, c, d, e, f .

Los sistemas de ecuaciones permiten representar situaciones en las que se involucren dos incógnitas y más de una condición.

Una solución de un sistema de ecuaciones corresponde a un valor para cada incógnita, de modo que al sustituirlos en las ecuaciones, estas se satisfacen. Generalmente, la solución de un sistema de ecuaciones de dos incógnitas se expresa como un par ordenado (x, y).

Ejemplo: el sistema está formado por las ecuaciones: 4x + 2y = 14 y x – y = –1.

Además, el sistema tiene como solución el par ordenado (2, 3), ya que al remplazar en ambas ecuaciones x = 2 e y = 3 estas se satisfacen.

Actividad resuelta

Determina los valores de a y b si el par ordenado (–2, –3) es solución del sistema .

Se remplaza x = –2 e y = –3 en las ecuaciones del sistema, ya que al ser solución se verifican las igualdades. Luego, se resuelven las ecuaciones resultantes.

Por lo tanto, a = 5 y b = 2.

Actividades

1. Representa gráficamente las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) 2x + y = 6

b) 7x – y = 11

c) x – y = 7

d) x + y = 7

e) x – 5y = 3

2. Si la solución del sistema es (–3, –1),

¿cuál es el valor de a² + 2b?

3. Para cada situación plantea una ecuación con dos incógnitas que la modelen y determina dos posibles soluciones en cada caso.

a) La suma de dos números es 30. ¿Cuáles son los números?

b) Un número excede a otro en 5 unidades. ¿Cuáles son los números?

c) El perímetro de un rectángulo es 40 cm. ¿Cuánto miden sus lados?

3.6 Representación de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se representa en el plano cartesiano como dos rectas.

La solución del sistema, cuando existe y es única, es el punto de intersección de ambas rectas.

Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se encuentra el punto (x, y) donde se corten dichas rectas.

Al graficar las ecuaciones lineales con dos incógnitas que componen el sistema, se pueden observar tres casos dependiendo de la posición relativa entre las rectas representadas.

Caso 1: un sistema tiene una única solución si y solo si su representación en el plano cartesiano son dos rectas secantes. En este caso, se dice que el sistema es compatible.

Caso 2: un sistema tiene infinitas soluciones si su representación corresponde a una única recta, es decir, las rectas son coincidentes. En este caso, se dice que el sistema es compatible indeterminado.

Caso 3: un sistema no tiene solución si su representación corresponde a dos rectas paralelas. En este caso, se dice que el sistema es incompatible.

Actividades resueltas

1. Representa el siguiente sistema de ecuaciones en el plano cartesiano.