Шифры замены и перестановки в Сефер Йецира
"2.3. Двадцать две буквы – Он вырезал их, высек их, взвесил их, (взаимо) заменял их, сложил их, и образовал посредством них душу всего созданного и душу всего, что должно быть создано в будущем".
Известно понятие имени. Пока любой объект или явление не названо (не имеет имени), оно не существует в сознании человека. Имя, как и душа, не материально. Но имя определяется словом, составленным из букв алфавита. Показано применение 22 букв алфавита для образования слов-понятий (имен).
"2.3. Каким образом? Он взвешивал их, (взаимо) заменял их: алеф со всеми ними и все с алефом, бет со всеми ними и все с бетом, и (всех их) переставлял по кругу.
Из этого следует: <они выходят> двумястами <тридцатью> одними <вратами>, из которых творится все".
Из комбинаторики известно понятие сочетаний. Показан процесс образования сочетаний двухбуквенных пар из 22 букв алфавита. Первые две буквы всех слов (существующих и будущих) еврейского языка содержатся в 231 паре двухбуквенных сочетаний. Важно отметить наличие точного числа таких сочетаний – 231. Ведь во время создания Сефер Йециры формулы расчета сочетаний не существовало! С другой стороны, слова "всякая речь и все созданное происход<я>т посредством одного Имени" опять указывают на алфавит, который один в каждом фонетическом языке.
"2:2. Двадцать две буквы {их} основания, установлен<ные> в (созвездии) Дракона (Тели) на колесе с двумястами <тридцатью> одними <вратами>; вращается (это) колесо вперед и назад. И вот знак: если к добру, (то) выше, чем наслаждение, если ко злу, (то) ниже, чем болезнь".
Шифрование использовалось при создании Библии [3]. Некоторые фрагменты библейских текстов зашифрованы с помощью шифра, который называется атбаш. Происхождение слова атбаш объясняется принципом замены букв. Это слово составлено из букв Алеф, Тав, Бет и Шин, то есть первой и последней, второй и предпоследней букв древнесемитского алфавита.
"В шифре замены (цит. по [1]), как видно из самого названия, осуществляется преобразование замены букв или других частей открытого текста на аналогичные части шифрованного текста. Классическим примером шифра замены является шифр римского императора Юлия Цезаря, получивший его имя. Алгоритм преобразования, применяемый в шифре Цезаря, заключается в том, что каждая буква открытого текста заменяется третьей после нее буквой в алфавите. При этом алфавит по умолчанию считается написанным по кругу. Это означает, что, например, в русскоязычном варианте после буквы "я" следует буква "а" и т. д. Для дешифрования криптограммы достаточно каждую букву зашифрованного текста заменить буквой, которая в алфавите расположена на третьей позиции перед ней. Ключом к рассмотренному шифру замены можно считать номер позиции буквы шифрованного текста по отношению к букве открытого текста. В приведенном примере ключом является число три. Однако можно использовать и другие значения ключей. С целью повышения сложности применяется биграммный шифр ̶ замена пар букв. Таким образом, в самом простом случае алгоритм или правило шифрования открытого текста с помощью шифра замены предусматривает использование двух алфавитов, состоящих из одинакового числа символов. При этом один алфавит предназначен для записи открытого текста, а другой ̶ для шифрограммы".
Образ колеса с 231 вратами (двухбуквенными сочетаниями) возвращает нас к шифру замены атбаш. Имеем два алфавита из 231 пар букв каждый. Первый алфавит – вращение колеса из начального положения вперед до пары букв, совпадающих в двумя первыми буквами кодируемого слова. Второй алфавит – вращение колеса из начального положения назад на угол, равный углу вращения вперед. Так определяется пара букв, которая заменит первые две буквы слова. И так далее, пока не будет зашифрован весь текст.
"2:6. Он созерцает и (из)меняет, делает все созидаемое и все изреченное: одно
Имя. И знак для этого дела: двадцать <два> предмета <в> од<ном> теле".
Опять образно показан алфавит с двадцатью двумя буквами.
В переводе [27] также содержится текст:
"1:13 Выбрал три буквы из простых в тайне трех матерей: Алеф, Мем, Шин и установил их в Имени Своем Великом, и запечатал ими шесть пределов.
Пятая: верх, и [поднял] лицо вверх, и запечатал его [именем] Йод, Ге, Вав.
Шестая: запечатал низ, и [обратил] лицо вниз, и запечатал его [именем] Ге, Йод, Вав.
Седьмая: запечатал восток, и [обратил] лицо вперед, и запечатал его [именем] Вав, Йод, Ге.
Восьмая: запечатал запад, и [обратил] лицо назад, и запечатал его [именем] Вав, Ге, Йод.
Девятая: запечатал юг, и [обратил] лицо направо, и запечатал его [именем] Йод, Вав, Ге.
Десятая: запечатал север, и [обратил] лицо налево, и запечатал его [именем] Ге, Вав, Йод".
Видно, что три буквы Йод, Ге, Вав образуют шесть имен посредством перестановок друг с другом.
Как описано в [1]: − "в классическом варианте шифр перестановки представляет собой шифр, при использовании которого все буквы открытого текста остаются без изменений, но перемещаются с занимаемой ими позиции на несколько позиций в одну или другую сторону. Другими словами, в шифрах перестановки преобразование открытого текста в шифрованный заключается в определенной перестановке букв открытого текста. Шифр перестановки имеет и другое название – анаграмма. Алгоритм шифрования заключается в следующем. Сначала открытый текст разбивается на группы букв определенной длины, а затем в каждой группе буквы меняют местами слева направо или справа налево. При дешифровании текст криптограммы также разбивают на группы букв определенной, заранее известной длины, после чего переставляют буквы в группах в указанном порядке. Ключом к шифру перестановки можно считать количество букв в группах, на которые разбивается текст сообщения.
Чем больше количество букв в группе, тем больше вариантов перестановок образуется. Согласно комбинаторике, число вариантов перестановок из n различных символов прямо пропорционально факториалу n! их количества".
"4:4. (Вот) каким образом Он сложил их: два камня строят два дома;
три (камня) строят шесть домов; четыре (камня) строят двадцать четыре дома;
пять (камней) строят сто двадцать домов; шесть (камней) строят семьсот
двадцать домов; семь (камней) строят пять тысяч сорок (домов).
Отсюда и далее исходи и сосчитай то, что рот не может вымолвить, и то, что
ухо не может услышать".
В этом фрагменте перечислены факториалы чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7 натурального ряда. Что это может означать?
Известна факториальная система счисления, в которой числа представляются в виде суммы факториалов n первых натуральных чисел:
a n·a n-1·a n-2·…·a 2·a 1 = a n·n! + a n-1·(n-1)! + a n-2·(n-2)! + … + a 2·2! + a 1·1!
Еще в 80-е годы XX-го века считалось, что "существенных практических применений этой системы нет" [28]. Но в настоящее время выяснилось, что факториальная система кодирования чисел позволяет интерпретировать перестановки применительно к различным конечным множествам элементов. На ее основе интенсивно разрабатываются криптографические системы с применением факториального сжатия информации.
Отталкиваясь от факта, что если нет понятия об объекте, то нет и слова, его определяющего, слова ̶ "Отсюда и далее исходи и сосчитай то, что рот не может вымолвить, и то, что ухо не может услышать" ̶ указывают на отсутствие во время написания Сефер Йециры названия понятия о факториальной системе счисления.
Семеричная система счисления
В переводе [27] содержится отсутствующий в [19] текст:
"4:5 Семь двойных: … Семь, а не шесть, семь, а не восемь, наблюдай их и исследуй их, и установи Слово на свойственное ему [место], и возврати Формирующего на Его основание".
С учетом ранее рассмотренного описания цифр алфавита десятичной системы счисления, по аналогии, этот фрагмент можно трактовать как указание на семеричную систему счисления с алфавитом 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Семиотика счета
В книге (цит. по:[37]) рассмотрена процедура счета предметов в двух системах.
В качестве иллюстрации взята обычная сантиметровой линейка, по верху которой (ряд "а") зарубки обозначены в ретроспективной системе, она же − обычная современная система с нулем, а по низу (ряд "б") − те же зарубки обозначены в проспективной системе, она же − натуральный ряд чисел (без нуля):
Десятый отрезок по своему значению в счетном ряду вполне однозначен – это именно десятый член последовательности, последний член первого десятка. Однако, если попытаться свести его к точке, "зарубке" (обозначить через "зарубку"), то его отношение к точкам будет двусмысленно. Точка, соответствующая его левому концу, символизирует конец первого десятка, а точка, соответствующая его правому концу, − начало второго десятка. До некоторой степени двусмыслен и знак числа "десять", взятый в тех же двух отношениях.
Теперь мы можем семиотически понять следующий факт: "исчезновение" (невыраженность "значения") последней точки каждого разряда во всех современных системах счисления.
Знак 10 в десятичной системе счисления, т.е. системе с нулем, многозначен. Он означает:
1.число (количество) единиц в разряде системы счисления:
2.отсутствие единиц в первом разряде и один полный второй разряд;
3.одиннадцатую (а не десятую) зарубку на сантиметровой линейке (что по принятой
нами терминологии означает ретроспективную систему счета).
Нас будет особенно интересовать сейчас то значение этого знака, которое мы выделили как второе. В соответствии с буквальным чтением этот знак гласит "нуль (отсутствие) единиц первого разряда". Между тем в действительности знак означает также и "последнюю, десятую единицу первого разряда". Но это значение в форме знака остается не выраженным. Иными словами, как мы уже сказали выше, это равносильно тому, что в системе с нулем "второе" значение знака 10 (или десятой "зарубки" по проспективной системе) остается невыраженным, "исчезает".
Это же положение дел можно выразить иначе; в десятичной системе с нулем первые девять единиц первого разряда обозначаются особыми, каждая своим, знаками: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Но десятая единица своего знака не имеет и обозначается как "первая единица второго разряда" − комбинированным знаком 10 (см. выше "внедрен их конец в их начало, <а их начало − в их конец>, подобно тому, как пламя связано с (пылающим) углем" – ВК).
Такой способ обозначения последней единицы каждого разряда существует во всех современных системах счисления. Процитируем в этой связи характерное рассуждение математика: − "…можно было бы с таким же успехом (как в десятичной системе) представить каждое число в виде комбинации степеней не числа 10, а какого-либо другого числа (кроме 1), например, числа 7. В этой системе, называемой "семеричной системой счисления" или "системой счисления с основанием 7" мы вели бы счет от 0 до 6 обычным образом, а число 7 приняли бы за единицу следующего разряда. Его естественно обозначить в нашей новой семеричной системе символом 10 (единица второго разряда)".
К этому рассуждению нужно сделать примечание. Для семиотических задач нужно различать количество чисел в разряде системы счисления и количество единиц в разряде. Ноль есть число, входящее в разряд, но это число обозначает отсутствие единиц. Таким образом, знак 0 тоже многозначен. Он обозначает: 1) первое число в системе счета; 2) первую "зарубку"; 3) отсутствие единиц в разряде.
Сосуществование второго и третьего значений в форме одного знака говорит, скорее всего, о том, что этот знак не мог возникнуть как абстракция примитивной "проспективной" системы счета, в которой "зарубка" есть одновременно и "единица" считаемых предметов. Если вернуться к иллюстрации с линейкой, то дело можно представить себе таким образом, что к "примитивной, архаичной" линейке, на которой первая зарубка обозначалась как число "1", был представлен слева еще один отрезок, первоначально никак не обозначенный, "затактовый", если воспользоваться сравнением со стихосложением.
Вполне ожидаемым следствием в области алфавитов будет то, что знак числа, служащего основанием системы счисления, будет означать и последнюю единицу первого разряда, и весь этот разряд как целое (ср. "десять" – "десяток"), и первую единицу следующего, второго разряда. Речь идет при этом о системах, не знающих нуля, или, что то же самое, о системах счета длин по первым "зарубкам" каждого отрезка, – о проспективных системах.
Его центральным пунктом является общая семиотическая закономерность – два способа обозначить при счете высший разряд, когда закончен низший, предыдущий. Мы уже цитировали мнение математика на примере семеричной системы: просчитав от 0 до 6, т.е. закончив первый разряд, "естественно обозначить число 7 как единицу второго разряда, т.е. символом 10", который означает отсутствие единиц в первом разряде (т.е. "нуль" единиц) и наличие одного целого, а именно второго, разряда (один второй разряд − 1). В самом деле − и к этому рассуждению присоединится любой лингвист и семиотик − естественно обозначить число, соответствующее переходу в новый разряд, каким-либо новым символом, отличным от предыдущих. (Это, в частности, сделано в семитском и греческом алфавитах путем использования особых букв для чисел "7", "10", "20", благодаря чему эти алфавиты можно применять к любой системе счисления, хотя обычно они применялись только к десятичной системе). Но вовсе не представляется заведомо естественным обозначить седьмую единицу счета − в приведенном примере − составным символом (т.е. так, как это сделано в современном алфавите математики, где для этой цели использован символ 10).
Указанное различие двух способов обозначения − простым или составным символом − можно обобщить в такой формулировке: в современном алфавите математики (арифметики) в любой системе счисления число, служащее основанием счисления, не имеет собственного (простого) символа и обозначается составным символом − комбинацией 0 и 1, т.е. символом 10. Это обстоятельство очевидным образом связано с наличием нуля в алфавите арифметики.
С семиотической точки зрения, эта особенность является абстрактным отражением конкретного свойства – "ретроспективного" способа счета. При таком способе счета каждая "точка счета" (на линейке "зарубка"), начиная со второй, из двух своих "значений": 1) "конец предыдущего отрезка или разряда"; 2) "начало следующего отрезка или разряда" − имеет только второе значение, означая начало следующего отрезка или разряда. Первое значение каждой "точки счета" ("зарубки") в этой системе не выражается, специальным символом не фиксируется и является лишь сопутствующим значением ("коннотацией") второго значения.
Заключение
В заключение можно отметить, что с позиций современного научного знания в тексте Сефер Йецира раскрыты понятия:
– "десять сефирот" – алфавит десятичной системы счисления;
– " Глас, и Дыхание (или "Ветер"), и Слово − и это есть Дух Святой" – показано, что 0 (Глас) и 1 (Дыхание) в понятии "Слово" указывают на двоичную систему счисления (кодирование);
– "двадцать две буквы вырезанные Голосом, высеченные Ветром (или "Дыханием") – фонетические и порядковые значения букв еврейского алфавита и их применение в написании слов-понятий;
– "колесо с 231 вратами" − способ биграммного кодирования замены по аналогии с шифром атбаш;
– "запечатал шесть пределов" − шифр перестановки;
– "Семь двойных: … Семь, а не шесть, семь, а не восемь " – семеричная система счисления;
– " два камня строят два дома…" − факториальная система счисления.
Во время написания Сефер Йецира (между III и VI веками) научных знаний для вышеуказанных понятий у человечества не существовало. Но эти понятия образно выражены посредством метафор и, как предполагается, предназначены потомкам, достигшим необходимого уровня научных знаний.
Каббалисты, не обладая соответствующими знаниями, сформировали свое учение с позиций мистики. Поскольку понятие "десять сефирот" из Сефер Йецира лежит в основе их учения, можно утверждать об ошибочности всей концепции учения каббалы.